Основные понятия и законы теории электрических цепей. Учебное пособие

Энергия емкости определяется ее напряжением wС = СuС2 2 (рис. 5.13, г), поэтому при 0 ≤t ≤t1 она имеет вид квадратичной параболы wС (t) ~ t2, а при t > t1 wC = W1 = СU12 / 2 = const .

Рис. 5.13. Временные диаграммы к примеру 5

Пример 6. По заданной зависимости от времени тока емкости iC (рис. 5.14, а) построим качественно зависимости от времени напряжения uC, мгновенной мощности pC и энергии wC.

−∞

напряжение uC имеет вид квадратичной параболы, которая будет

ника, ограничиваемого функцией iC (t) и осью абсцисс. Мгновенная мощность определяется путем графического пере-

множения функций iC (t) и uC (t), поэтому при t ≤ 0 и t ≥ t1 pC (t) = 0 . На интервале 0 < t < t1 мгновенная мощность положительная и имеет

71

Пример 7. По заданной зависимости от времени тока индуктивности iL (рис. 5.15, а) построим качественно зависимости от времени напряжения uL, мгновенной мощности pL и энергии wL.

Напряжение на индуктивности определяется производной тока по времени: uL = L diL dt (рис. 5.15, б).

При 0 ≤t < t1 ток индуктивности iL является линейно возрастающей функцией, поэтому его производная равна положительной константе, таким образом uL = U1 = const > 0 . Значение U1 опреде-

ляется тангенсом угла наклона функции iL(t) к оси абсцисс:

U1 = LI1 t1 .

При t1 ≤t < t3 ток индуктивности iL является линейно убывающей функцией, поэтому его производная равна отрицательной константе, которая определяется тангенсом угла наклона функции iL(t) к оси абсцисс. Таким образом, если положить t2 = 2t1, t3 = 3t1, полу-

чим uL = − L[I1 − (−I1 )](t3 − t1 ) = −2LI1 / 2t1 = −U1 . 72

При t ≥t3 iL = const, поэтому uL = 0 .

Рис. 5.15. Временные диаграммы к примеру 7

Мгновенная мощность определяется как произведение мгновенных значений напряжения и тока: pL = u L iL .

При 0 ≤t < t1 мгновенная мощность pL (t) совпадает по форме с током iL (рис. 5.15, в), так как в этом случае uL = const > 0 . Значение

дет пропорциональна − iL и представляет собой линейную убывающую функцию.

При t ≥t3 pL = 0, так как uL = 0 .

Энергия индуктивности определяется ее током: wL = LiL2 2 (рис. 5.15, г), поэтому при 0 ≤t < t3 функция wL(t) имеет вид отрезков квадратичной параболы, а при t ≥t3 wL = W1 = LI12 / 2 = const .

73

i1 = u / R1 = 160 / 2000 = 80 мА; i2 = u / R2 = 160 / 4000 = 40 мА.

Данную задачу, также как и предыдущую, можно решить с помощью ОСУ, составленной для заданной цепи:

Пример 10. Для цепи, схема которой приведена на рис. 4.18, построим расширенный граф и соответствующее ему дерево, обозначим главные ветви и главные контуры. Составим основную систему уравнений электрического равновесия заданной цепи в случае расширенного топологического описания.

Рис. 5.18. Схема цепи к примерам 10 и 11

75

Перед составлением расширенного графа необходимо указать на схеме цепи токи ветвей и узлы в соответствии с расширенным топологическим описанием (рис. 5.19, а). Ветви и узлы расширенного графа цепи (рис. 5.19, б) полностью соответствуют ветвям и узлам цепи, схема которой приведена на рис. 5.19, а. На рис. 5.19, в сплошными линиями показаны ветви дерева для заданной цепи. На этом же рисунке показаны главные ветви (штриховые линии) и главные контуры. Следует отметить, что заданной цепи соответствуют несколько деревьев, например, дерево графа может быть также образовано ветвями 1 и 2; 1 и 4; 2 и 3; 2 и 4.

Рис. 5.19. Схема цепи (а), граф цепи (б), ветви дерева и главные ветви (в) при расширенном топологическом описании

Из рис. 5.19 видно, что в рассматриваемой цепи общее число узлов q = 3, общее число ветвей p = 4, тогда число независимых узлов m = q – 1 = 2, число независимых контуров n = p – q + 1 = 2.

Общее число уравнений, входящих в ОСУ заданной цепи при расширенном топологическом описании, равно

NОСУ = 2 p − pит − pин = 2 2 − 0 −1 = 7 ,

где pит = 0 – число ветвей, содержащих источники тока, pин = 1 – число ветвей, состоящих только из источников напряжения.

В ОСУ будут входить m = 2 независимых уравнений баланса токов, которые составляют по первому закону Кирхгофа для всех узлов кроме нулевого, n = 2 независимых уравнений баланса напряжений, которые составляют по второму закону Кирхгофа для главных контуров. Кроме того, ОСУ будет содержать три компонентных уравнения, которые составляют для ветвей, содержащих пассивные элементы. Таким образом, при расширенном топологическом описании ОСУ заданной цепи имеет вид [9]

76

−i1 + i2 = 0;

−i2 + i3 + i4 = 0; uL + uR = e;

−uR + uС = 0;

uL = L di2 ; dt

uR = Ri3 ;

Пример 11. Для цепи, схема которой приведена на рис. 5.18, построим сокращенный граф и соответствующее ему дерево, обозначим главные ветви и главные контуры. Составим основную систему уравнений электрического равновесия заданной цепи в случае сокращенного топологического описания.

Схема заданной цепи, соответствующая сокращенному топологическому описанию, приведена на рис. 5.20, а. Сокращенный граф цепи показан на рис. 5.20, б. Дерево графа заданной цепи будет содержать только одну ветвь, в качестве которой может быть выбрана любая ветвь графа. В рассматриваемом случае в качестве ветви дерева была выбрана ветвь 2. На рис. 5.20, в показаны ветвь дерева заданной цепи (сплошная линия), главные ветви (штриховые линии) и главные контуры.

а б в

Рис. 5.20. Схема цепи (а), граф цепи (б), ветвь дерева и главные ветви (в) при сокращенном топологическом описании

Из рис. 5.20 видно, что в рассматриваемой цепи q = 2, p = 3, при этом число независимых узлов m = q – 1 = 1 оказывается мень-

77

ше, чем при расширенном топологическом описании (см. рис. 5.19), а число независимых контуров n =p – q + 1 = 2 остается таким же, как при расширенном топологическом описании. Поскольку для цепи, схема которой приведена на рис. 5.20, pит = pин = 0, получаем что количество уравнений, входящих в ОСУ в этом случае, равно

N ОСУ = 2 p − pит − pин = 6.

При сокращенном топологическом описании в ОСУ будут входить одно независимое уравнение баланса токов для узла (1), два независимых уравнений баланса напряжений для главных контуров

итри компонентных уравнения для всех ветвей цепи:

−i1 + i2 + i3 = 0;

u1 + u2 = 0;

− u2 + u3 = 0;

u1 = L di1 − e; dt

u2 = Ri2 ;

Пример 12. Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи, схема которой приведена на рис. 5.21.

Из рис. 5.21 видно, что схема заданной цепи содержит три независимых узла (узлы (1) – (3)) и четыре независимых контура (контуры 1 – 4). Таким образом, в ОСУ заданной цепи будут входить три независимых уравнения баланса токов и четыре независимых уравнения баланса напряжений. Кроме того, ОСУ будет содержать три компонентных уравнения, связывающих токи и напряжения пассивных элементов цепи.

Общее число уравнений, входящих в ОСУ, равно 10. ОСУ позволяет определить все неизвестные токи и напряжения заданной цепи, а именно:

-неизвестные токи ветвей: i1, i2, i3, i4, i5;

-неизвестные напряжения на пассивных элементах и источниках тока: uR, uC, uL, uj1, uj2.

78

Рис. 5.21. Схема цепи к примеру 12

ОСУ заданной цепи имеет вид

i1 + i2 + i3 + j1 = 0;

−i1 − i4 + j2 = 0;

−i3 + i5 − j1 − j2 = 0;

−uR − uL = e1 − e2 ; uR − u j 2 = e2 + e3 ;

uL − uC = −e3 ; uC + u j1 = −e3 ; uR = Ri4 ;

uL = L di2 . dt

79

Пример 13. Рассмотрим эквивалентное преобразование участка цепи со смешанным соединением резистивных элементов (рис. 5.22, а), содержащего последовательно соединенные элементы (R1, R4) и параллельно соединенные элементы (R2, R3).

а б в

Рис. 5.22. Преобразование участка цепи со смешанным соединением резистивных элементов

Вначале заменим параллельно соединенные элементы R2 и R3 одним элементом, сопротивление которого равно

Далее получим цепь, показанную на рис. 5.22, б и состоящую из трех последовательно соединенных сопротивлений (R1, Rэк1, R4), которую, в свою очередь, можно заменить одним сопротивлением

(рис. 5.22, в):

схема которой приведена на рис. 5.23, а. Параметры элементов заданной цепи: L1 = L2 = L3 = L4 = 300 мГн.

а б в

Рис. 5.23. Преобразование участка цепи со смешанным соединением индуктивных элементов

80