Основные понятия и законы теории электрических цепей. Учебное пособие

как минимум, от одной координаты в пространстве. В этом случае размеры цепи сравнимы или превышают длину волны электромагнитных колебаний в ней.

Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями. Такие цепи содержат только линейные элементы и независимые источники. Нелинейные цепи описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В состав нелинейной цепи должен входить хотя бы один нелинейный элемент.

Следует отметить, что в частных случаях электрические цепи могут описываться системами алгебраических уравнений. Такие цепи называют резистивными, так как они содержат только сопротивления и независимые источники.

Параметры электрических цепей, как правило, являются постоянными, но также могут изменяться во времени. Линейные цепи, состоящие только из элементов с постоянными параметрами, назы-

вают линейными цепями с постоянными параметрами или линей- ными цепями, инвариантными во времени. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Линейные цепи, содержащие элементы с переменными пара-

метрами, называются линейными параметрическими цепями. Про-

цессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами [10, 11].

41

4. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

4.1. Общие сведения об эквивалентных преобразованиях

При анализе электрических цепей часто используют различные преобразования их участков, в результате чего схема цепи может быть существенно упрощена. Два участка цепи называются экви- валентными, если при замене одного участка другим токи и напряжения остальной цепи не изменятся.

Участки цепи могут быть эквивалентны полностью и частично. Участки цепи являются полностью эквивалентными, если их эквивалентность выполняется при любых параметрах внешнего воздействия. Участки цепи являются частично эквивалентными, если их эквивалентность соблюдается только при определенных параметрах внешнего воздействия, например при некоторой заданной частоте внешнего воздействия.

Уравнения электрического равновесия эквивалентных участков цепей также являются эквивалентными (равносильными). Каждое эквивалентное преобразование системы уравнений электрического равновесия цепи приводит к эквивалентному преобразованию схемы цепи.

Простейшими эквивалентными преобразованиями являются преобразования участков цепей с последовательным и параллель- ным соединением элементов, которые будут рассмотрены ниже. Данные правила можно применять для преобразования участков цепей со смешанным соединением элементов, которые представля-

ют собой сочетание групп последовательно и параллельно включенных элементов.

Следует отметить, что для участков цепи, которые представляют собой соединение элементов треугольником и звездой (см. рис. 3.2), также можно сформулировать условия эквивалентности, которые заключаются в том, что токи и напряжения на внешних зажимах данных участков должны быть одинаковы. Для получения соотношений между параметрами элементов, образующих треугольник и звезду, необходимо составить уравнения электрического равновесия каждого из этих участков и приравнять напряжения между соответствующими внешними выводами. Применение преобра-

зований треугольник-звезда и звезда-треугольник в ряде случаев

42

позволяет существенно упростить схему цепи, в частности с помощью этих преобразований удается приводить сложные участки цепи к более простым, представляющим собой параллельное, последовательное или смешанное соединение элементов.

4.2. Последовательное соединение элементов

Участки цепей, состоящие из N последовательно соединенных элементов, приведены на рис. 4.1. Напряжение между зажимами каждого из таких участков цепи согласно второму закону Кирхгофа равно

k =1

а

б

в

г

Рис. 4.1. Участки цепей с последовательным соединением элементов

43

По определению, через последовательно соединенные элементы протекает один и тот же ток i, тогда для последовательного соединения резистивных элементов (рис. 4.1, а) с учетом (2.4) получаем

k =1

Из выражения (4.3) следует, что эквивалентное сопротивление последовательно соединенных резистивных элементов равно сумме

сопротивлений каждого из этих элементов.

Для последовательного соединения индуктивных элементов (рис. 4.1, б) с учетом (2.14) будем иметь

k =1

Из выражения (4.5) следует, что эквивалентная индуктивность последовательно соединенных индуктивных элементов равна сумме

индуктивностей каждого из этих элементов.

Для последовательного соединения емкостных элементов (рис. 4.1, в) с учетом (2.8) получаем

лентной емкости последовательно соединенных емкостных эле-

ментов, равна сумме величин, обратных емкости каждого из этих элементов. В случае последовательного соединения двух емкостей

(N = 2): Cэк = C1C2 /(C1 + C2 ) .

44

При последовательном соединении источников напряжения (рис. 4.1, г) с учетом (2.18) получаем, что значение ЭДС эквива-

лентного источника равно алгебраической сумме ЭДС каждого из последовательно соединенных источников:

k =1

В выражении (4.8) значения ek берутся со знаком «плюс», если направления ЭДС соответствующих источников совпадают с направлением ЭДС эквивалентного источника, в противном случае ek берутся со знаком «минус».

Таким образом, участок цепи, состоящий из последовательно соединенных элементов определенного типа можно заменить одним элементом того же типа, параметр которого определяется формулами (4.3), (4.5), (4.7), (4.8). Необходимо отметить, что последовательное соединение источников тока в теории цепей не рассматривается, так как при последовательном соединении через разные источники тока должен замыкаться один и тот же ток, что является некорректным.

Преобразование последовательной схемы замещения реального источника энергии к параллельной схеме замещения, рассмотренное в подразд. 1.2 также является эквивалентным преобразованием.

4.3. Параллельное соединение элементов

Участки цепей, состоящие из N параллельно соединенных элементов, приведены на рис. 4.2. Ток на зажимах каждого из таких участков цепи согласно первому закону Кирхгофа равен

k =1

По определению, параллельно соединенные элементы находятся под одним и тем же напряжением u, тогда для параллельного соединения резистивных элементов (рис. 4.2, а) с учетом (2.3) получаем

где

45

Из выражения (4.11) следует, что величина, обратная эквива- лентному сопротивлению параллельно соединенных резистивных

элементов, равна сумме величин, обратных сопротивлению каждо-

го из этих элементов. В случае параллельного соединения двух резистивных элементов (N = 2): Rэк = R1R2 /(R1 + R2 ) .

а

б

в

г

Рис. 4.2. Участки цепей с параллельным соединением элементов

46

Поскольку величина, обратная сопротивлению, – это проводимость, выражение (4.7) можно сформулировать следующим образом:

k =1

Следовательно, эквивалентная проводимость параллельно со- единенных резистивных элементов равна сумме проводимостей

каждого из этих элементов.

Необходимо отметить, что цепи, состоящие из последовательно соединенных сопротивлений и параллельно соединенных проводимостей, являются дуальными, поскольку закон изменения тока в параллельной цепи можно выразить из закона изменения напряжения в последовательной цепи путем замены i на u и Rk на Gk (см. форму-

лы (4.2) и (4.10)).

Для параллельного соединения индуктивных элементов (рис. 4.2, б) с учетом (2.15) будем иметь

Из выражения (4.13) следует, что величина, обратная эквива- лентной индуктивности параллельно соединенных индуктивных

элементов, равна сумме величин, обратных индуктивности каждо-

го из этих элементов. В случае параллельного соединения двух ин-

дуктивных элементов (N = 2): Lэк = L1L2 /(L1 + L2 ) .

Цепь, состоящая из параллельно соединенных индуктивностей, является дуальной для цепи, состоящей из последовательно соединенных емкостей, поскольку закон изменения тока в параллельной индуктивной цепи (рис. 4.2, б) можно выразить из закона изменения напряжения в последовательной емкостной цепи (см. рис. 4.1, в) путем замены i на u и Сk на Lk (см. формулы (4.6) и (4.13)).

Для параллельного соединения емкостных элементов (рис. 4.2, в) с учетом (2.8) получаем

47

k =1

Из выражения (4.16) следует, что эквивалентная емкость Сэк

параллельно соединенных емкостных элементов равна сумме емко-

стей каждого из этих элементов.

Цепь, состоящая из параллельно соединенных емкостей, является дуальной для цепи, состоящей из последовательно соединенных индуктивностей (см. формулы (4.4) и (4.15)).

При параллельном соединении источников тока (рис. 4.2, г) с

учетом (2.19) получаем, что значение тока эквивалентного источ- ника равно алгебраической сумме токов каждого из параллельно соединенных источников:

k =1

В выражении (4.17) значения jk берутся со знаком «плюс», если направления токов соответствующих источников совпадают с направлением тока эквивалентного источника, в противном случае jk берутся со знаком «минус».

Таким образом, участок цепи, состоящий из параллельно соединенных элементов определенного типа, можно заменить одним элементом того же типа, параметр которого определяется формула-

ми (4.11), (4.14), (4.16), (4.17). Необходимо отметить, что парал-

лельное соединение источников напряжения в теории цепей не рассматривается, так как при параллельном соединении разные источники напряжения должны находиться под одним и тем же напряжением, что является некорректным.

48

5.ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

5.1.Контрольные вопросы

1.Чем отличается реальная электрическая цепь от идеализированной?

2.Чем отличаются первичные источники энергии от вторич-

ных?

3.К какому виду источников относится автомобильный аккумулятор?

4.Может ли аккумулятор служить приемником электрической энергии?

5.Какое минимальное количество полюсов может иметь элемент цепи?

6.В каких единицах измеряется ток, напряжение, мощность, энергия?

7.Почему направление тока в элементах электрической цепи при расчетах называют условным?

8.Как выбираются положительные направления тока и напря-

жения?

9.На каких участках электрической цепи направления напряжения и тока совпадают?

10.Может ли схема замещения цепи быть получена из принципиальной схемы той же цепи?

11.Какая из схем одной и той же цепи содержит больше элементов: принципиальная или схема замещения?

12.Что называется сопротивлением?

13.Что называется статическим и дифференциальным сопротивлением идеального резистивного элемента?

14.Может ли быть отрицательным статическое сопротивление резистивного элемента?

15.Может ли быть отрицательным дифференциальное сопротивление резистивного элемента?

16.Может ли быть отрицательной мгновенная мощность нелинейного резистивного элемента?

17.Как связаны между собой токи и напряжения идеализированных пассивных элементов цепи?

18.Что называется емкостью?

49

19.Может ли в реальном конденсаторе происходить преобразование электрической энергии в тепловую?

20.Что называется индуктивностью?

21.Чем объясняется большое количество схем замещения одного и того же реального элемента цепи?

22.Что называется внешней характеристикой источника электрической энергии?

23.Внешняя характеристика идеального источника напряжения параллельна оси токов или оси напряжений?

24.Может ли внешняя характеристика идеального источника напряжения совпадать с вольт-амперной характеристикой линейного резистивного элемента?

25.Может ли ток идеального источника тока не зависеть от времени?

26.Почему в теории цепей не рассматриваются параллельное соединение идеальных источников напряжения и последовательное соединение идеальных источников тока?

27.Какой источник энергии называют линеаризованным?

28.В чем заключается основное отличие внешних характеристик идеальных и реальных источников энергии?

29.На какие четыре типа разделяют управляемые источники?

30.Что такое узел?

31.Каков порядок нумерации узлов?

32.Что такое ветвь?

33.Как обозначаются токи ветвей на схеме цепи?

34.При каком топологическом описании – сокращенном или расширенном – схема цепи имеет меньше узлов?

35.Что называют контуром?

36.Что такое дерево графа?

37.Что такое главный контур?

38.Как изменяется число контуров при переходе от расширенного топологического описания к сокращенному?

39.Какие соединения элементов цепей называют последовательным, параллельным и смешанным?

40.Выполняются ли законы Кирхгофа в нелинейных цепях?

41.Что называют независимыми узлами и контурами цепи?

42.Что такое дерево графа?

50