Основные понятия и законы теории электрических цепей. Учебное пособие

Ток и напряжение могут быть переменными (изменяющимися в зависимости от времени): i = i(t) и u = u(t) или постоянными (неизменными во времени): i = I_ = const и u = U_ = const.

Мгновенная мощность участка цепи определяется как ско-

рость поступления энергии в этот участок цепи и равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

Единица измерения мгновенной мощности p – ватт (Вт).

Из выражения (1.3) следует, что энергия, поступившая в участок цепи к моменту времени t, равна

0

где w(0) = ∫ pdt – значение энергии в момент времени t = 0.

− ∞

Схема электрической цепи – это условное графическое изображение цепи. В радиоэлектронике встречаются различные типы схем: структурные, принципиальные и схемы замещения [1, 2].

Структурная схема электрической цепи – это условное графическое изображение цепи в виде совокупности основных функциональных частей цепи и связей между ними. В качестве примера на рис. 1.1 приведена структурная схема детекторного приемника, состоящего из следующих функциональных частей – антенна (А), усилитель высокой частоты (УВЧ), детектор (Д), усилитель низкой частоты (УНЧ), громкоговоритель (телефон – Т).

Рис. 1.1. Структурная схема детекторного приемника

Принципиальная схема электрической цепи – это условное графическое изображение реальной цепи, на котором показаны все элементы цепи и соединения между ними. Изображения и обозначения элементов на принципиальной схеме должны соответствовать

11

стандартам единой системы конструкторской документации (ЕСКД). На рис. 1.2, a приведена принципиальная схема УНЧ, который содержит резисторы R1, R2 и R3, конденсатор С1 и полевой транзистор с изолированным затвором VT1 (транзистор, имеющий структуру металл-окисел-полупроводник, – МОП-транзистор). На принципиальной схеме также обозначено напряжение источника питания Eп и номера зажимов (1 – 1' и 2 – 2').

Схема замещения (эквивалентная схема) электрической це-

пи – это условное графическое изображение идеализированной цепи. На рис. 1.2, б приведена схема замещения УНЧ по переменному току. Схема замещения цепи может быть получена из принципиальной схемы путем замены каждого изображенного на ней реального элемента его схемой замещения.

Схема замещения реального элемента – это условное графи-

ческое изображение цепи, моделирующей данный элемент. Например, на рис. 1.2, б штриховой линией выделена схема замещения (модель) полевого транзистора по переменному току. Модель полевого транзистора содержит пять элементов – три емкости Сзи, Сзс, Сси, сопротивление Ri и управляемый источник тока j.

а б

Рис. 1.2. Принципиальная схема (а) и схема замещения (б) УНЧ

Вид схемы замещения элемента зависит от диапазона частот и значений токов и напряжений на зажимах элемента. Следует отметить, что для компактности изложения в литературе часто не делают различий между моделирующей цепью и схемой замещения.

12

2. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

2.1. Идеализированные пассивные элементы

Сопротивление (резистивный элемент или идеальный рези-

стор) – это идеализированный элемент, необратимо преобразующий электрическую энергию в другие виды энергии. Условное графическое изображение сопротивления приведено на рис. 2.1.

Направления напряжений и токов при анализе цепи выбираются произвольно и указываются стрелками. Для сопротивления и других пассивных элементов положительные направления напряжения и тока совпадают (рис. 2.1). Положительное направление тока показывает направление перемещения положительно заряженных частиц, а положительное направление напряжения выбирается от зажима с более высоким потенциалом к зажиму с более низким потенциалом. Указанное на схеме цепи направление тока или напряжения является условным и определяет их знак. Например, если в результате

расчетов ток (напряжение) получается со знаком плюс, то выбранное направление тока (напряжения) совпадает с положительным направлением. В противном случае, когда полученный ток (напряжение) имеет знак минус, выбранное направление противоположно положительному.

Следует отметить, что термин «сопротивление», а также используемые далее термины «емкость» и «индуктивность» применяются как для обозначения идеализированных элементов, так и для количественной оценки их характеристик.

Основная характеристика сопротивления – это вольт-амперная характеристика (ВАХ), т.е. зависимость тока от напряжения на его зажимах iR(uR) или uR(iR). На рис. 2.2 приведены примеры различных ВАХ. В зависимости от вида ВАХ различают нелинейное сопро- тивление, ВАХ которого имеет нелинейный характер (рис. 2.2, a), и линейное сопротивление, которое описывается линейной ВАХ

(рис. 2.2, б).

13

С помощью ВАХ можно определить статическое и дифференциальное сопротивления.

Рис. 2.2. ВАХ сопротивления: а – нелинейная, б – линейная

Статическое сопротивление – это отношение напряжения и тока на зажимах резистивного элемента:

ст

iR

Дифференциальное сопротивление – это первая производная напряжения на зажимах резистивного элемента по току:

диф

diR

Рассмотрим статическое и дифференциальное сопротивления в рабочей точке, т.е. в точке, для которой задана пара значений uр и ip на характеристике iR(uR) или uR(iR). Из рис. 2.2, а видно, что в рабочей точке Rст ~ tg α (α – угол между осью токов и прямой, проведенной из начала координат в рабочую точку), а Rдиф ~ tg β ( β – угол между осью токов и касательной к ВАХ в рабочей точке). Таким образом, для нелинейного сопротивления в общем случае Rст ≠Rдиф,

так как α≠β, причем значения Rст и Rдиф зависят от выбора рабочей точки.

Для линейного сопротивления Rст = Rдиф = R > 0 (cм. рис. 2.2, б) и зависимость между током и напряжением подчиняется закону Ома:

14

При решении некоторых задач часто используется величина, обратная сопротивлению, – проводимость G = 1 / R и идеализированный элемент с таким же названием, обозначаемый на схемах, так же как и сопротивление, в виде прямоугольника. Уравнения, связывающие ток и напряжение на зажимах проводимости, имеют вид

iG = GuG ; uG = iG . G

В системе СИ сопротивление R измеряют в омах (Ом), а проводимость G – в сименсах (См).

Мгновенная мощность сопротивления равна

выделившейся на сопротивлении к моменту времени t, и является одной из форм записи закона Джоуля – Ленца [5].

Из выражений (2.5) и (2.6) очевидно, что мгновенная мощность и энергия сопротивления не могут быть отрицательными. Это означает, что сопротивление может только потреблять электрическую энергию и не может отдавать ее. Наличие в цепи сопротивления приводит к потерям электрической энергии, поэтому сопротивление также называют диссипативным элементом (от латинского слова dissipare – рассеивать).

Емкость (емкостный элемент или идеальный конденсатор)

– это идеализированный элемент, запасающий энергию электрического поля. Условное графическое изображение емкости приведено на рис. 2.3. Основная характеристика емкости – это кулон-вольтная

15

характеристика (КВХ), т.е. зависимость заряда емкости от напряжения на ее зажимах qC (uC). На рис. 2.4 приведены примеры различных кулон-вольтных характеристик. Емкость, которой соответствует нелинейная КВХ (кривая 1 на рис. 2.4), называется нелиней- ной. Емкость, описывающаяся линейной КВХ (прямая 2 на рис. 2.4), называется линейной.

Рис. 2.3. Условное графическое изо- бражение емкости Рис. 2.4. КВХ емкости: 1 – нелинейная, 2 – линейная

Количественно зависимость накопленного емкостью заряда от напряжения оценивают значениями статической и дифференци-

альной емкостей: Сст = qC /uC и Сдиф = dqC /duC. В общем случае значения Сст и Сдиф зависят от выбора рабочей точки на зависимости

qC (uC). Для линейной емкости Сст = Сдиф = С, причем значение С не зависит от напряжения. В системе СИ емкость измеряют в фарадах

(Ф).

Зависимость между током и напряжением емкости можно найти из выражения для мгновенного значения тока (1.1) с учетом того, что заряд емкости является сложной функцией qC = qC[uC(t)]:

iC = dqC = dqC duC . dt duC dt

В случае линейной емкости C = dqC duC = qC uC , следовательно:

16

Из выражения (2.7) находим напряжение на емкости

Из выражения (2.9) следует, что мгновенная мощность емкости может быть как положительной, так и отрицательной. Действительно, pC > 0, если напряжение на емкости положительное (uC > 0) и возрастает (duC /dt > 0), т.е. когда емкость заряжается. С другой стороны pC < 0, если напряжение на емкости положительное (uC > 0) и убывает (duC /dt < 0), при этом емкость разряжается.

Энергия, запасенная емкостью, определяется по формуле

Таким образом, энергия емкости не может быть отрицательной. При этом емкость является пассивным элементом, который может как запасать, так и отдавать энергию. Запасание энергии имеет место, если емкость заряжается (pC > 0). Емкость разряжается в том случае, когда она отдает энергию во внешнюю цепь (pC < 0).

Индуктивность (индуктивный элемент или идеальная ка-

тушка индуктивности) – это идеализированный элемент, запасающий энергию магнитного поля. Условное графическое изображение индуктивности приведено на рис. 2.5. Основной характеристикой индуктивности является вебер-амперная характеристика ΨL(iL) – зависимость потокосцепления самоиндукции от тока в катушке. На рис. 2.6 показаны нелинейная и линейная веберамперные характеристики, которые описывают нелинейную и ли- нейную индуктивности соответственно.

Потокосцепление самоиндукции ΨL равно сумме магнитных потоков самоиндукции ΦLk, пронизывающих каждый виток катушки

17

k =1

где N – число витков катушки.

Магнитный поток самоиндукции вызван током, протекающим в рассматриваемом индуктивном элементе. Если все витки катушки пронизываются одним и тем же магнитным потоком самоиндукции

(ΦL1 = ΦL2 = … = ΦLN = ΦL), то ΨL = NΦL.

Количественно зависимость потокосцепления самоиндукции от тока определяется статической и дифференциальной индуктив-

ностями: Lст = ΨL /iL и Lдиф = dΨL /diL. В общем случае значения Lст и Lдиф зависят от выбора рабочей точки на зависимости ΨL(iL). При

линейной вебер-амперной характеристике Lст = Lдиф = L, причем значение L не зависит от выбора рабочей точки.

В системе СИ потокосцепление и магнитный поток измеряют в веберах (Вб), индуктивность – в генри (Гн).

Из закона электромагнитной индукции следует, что при изме-

нении магнитного потока катушки в ней наводится электродвижущая сила (ЭДС) e, пропорциональная скорости изменения потокосцепления Ψ и препятствующая этому изменению [5]:

Если на индуктивный элемент не действуют внешние магнитные поля, то его потокосцепление равно потокосцеплению самоин-

18

Необходимо отметить, что полученные ранее уравнения, связывающие токи и напряжения сопротивления и проводимости, а также токи и напряжения емкости и индуктивности, имеют подобную структуру. Два элемента называются дуальными, если уравнение для напряжения одного из них можно выразить через уравнение для тока другого. Например, дуальными элементами являются сопротивление и проводимость, емкость и индуктивность.

Кроме идеализированных пассивных элементов свойством дуальности могут обладать идеализированные активные элементы и электрические цепи. Условие дуальности цепей заключается в том, что закон изменения токов в одной цепи подобен закону изменения напряжений в другой. Свойство дуальности можно использовать при анализе цепей. Например, если известны соотношения, описывающие процессы в некоторой цепи, то аналогичные соотношения для дуальной цепи можно записать без вывода, используя свойство дуальности [6].

Очевидно, что идеализированные пассивные элементы – сопротивление, емкость и индуктивность – являются простейшими моделями реальных элементов (их также называют радиоэлектронными компонентами) – резистора, конденсатора и катушки индуктивности соответственно. Таким образом, при построении схемы замещения (модели) цепи реальный элемент часто заменяют одним соответствующим ему идеализированным элементом. В то же время в каждом реальном элементе наряду с основным процессом имеют место и другие, так называемые паразитные процессы. Вследствие этого схемы замещения реальных элементов в общем случае со-

держатнесколькоидеализированных элементовразличных видов. Например, в паспортных данных резистора указывается не

только его сопротивление R, но и паразитная (малая) емкость между выводами Cв. Таким образом, схема замещения резистора имеет вид параллельной RC-цепи (рис 2.7, а).

Вид схемы замещения одного и того же элемента существенно зависит от диапазона частот. В частности, в области высоких частот в схему замещения резистора вводят последовательно включенную паразитную индуктивность выводов Lв (выводы длиной 1 см обладают индуктивностью около 1 нГн). Полученная при этом схема замещения резистора показана на рис. 2.7, г.

20