Основные понятия и законы теории электрических цепей. Учебное пособие

ском описании цепи в качестве ветви рассматривается участок цепи, состоящий из последовательно соединенных элементов (см. рис. 3.1, б), при этом в схеме цепи устранимые узлы отсутствуют.

Для описания топологии цепи применяют методы теории графов. В общем случае граф – это совокупность отрезков произвольной формы, называемых ветвями (ребрами), и точек их соедине-

ния, называемых узлами (вершинами).

Граф схемы электрической цепи (граф цепи) является направ-

ленным графом, поскольку каждая его ветвь имеет определенное направление, совпадающее с направлением соответствующего тока. Граф цепи строят по ее схеме замещения. Ветви и узлы графа однозначно соответствуют ветвям и узлам цепи. Расширенному топологическому описанию цепи (см. рис. 3.1, а) соответствует расширен- ный граф (рис. 3.3, а), сокращенному топологическому описанию

цепи (см. рис. 3.1, б) – сокращенный граф (рис. 3.3, б) [1].

а б

Рис. 3.3. Расширенный (а) и сокращенный (б) графы цепи

Контур графа – это замкнутый путь, у которого начальный и конечный узлы совпадают. Контур графа имеет тот же смысл, что и контур цепи. Внутренние области, ограниченные ветвями графа, называют ячейками графа. Контуры, образованные ячейками графа,

являются основными контурами цепи (контуры 1, 2, 3 на рис. 3.3, а).

Дерево графа – это часть графа, содержащая все его узлы, но не содержащая ни одного контура. Ветви, входящие в состав дерева, называют ветвями дерева. Ветви, не входящие в состав дерева, – это главные ветви (связи, хорды). Одному и тому же графу можно

31

поставить в соответствие различные деревья. Для графа, изображенного на рис. 3.3, б, некоторые из деревьев приведены на рис. 3.4. Ветви дерева изображаются сплошными линиями.

г д е

Рис. 3.4. Некоторые из деревьев графа, изображенного на рис. 3.3, б

На рис. 3.5 приведен граф цепи, на котором показаны ветви дерева (сплошные линии) и главные ветви (штриховые линии), а также главные контуры и главные сечения.

Главные контуры – это контуры, содержащие только одну главную ветвь (контуры 1, 2, 3 на рис. 3.5).

Сечение графа – это минимальная совокупность ветвей, при удалении которых граф распадается на две части, одна из которых может быть узлом. Главное сечение – это сечение, в которое входит только одна ветвь дерева. На рис. 3.5 главные сечения показаны линиями 1 – 1 и 2 – 2.

Число главных сечений m равно числу ветвей дерева, которое можно оценить по формуле

32

где q – общее число узлов в цепи.

Число главных контуров n равно числу главных ветвей

где p – общее число ветвей в цепи.

Соотношения (3.1) и (3.2) можно проверить на примере графа, приведенного на рис. 3.5, для которого общее число узлов q = 3, общее число ветвей p = 5, число ветвей дерева (главных сечений) m = q − 1 = 3 − 1 = 2 , число главных ветвей (главных контуров)

n = p − q + 1 = 5 − 3 + 1 = 3 , что полностью соответствует рис. 3.5.

Рис. 3.5. Изображение графа цепи с указанием ветвей дерева, главных ветвей, главных контуров и главных сечений

3.3. Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа устанавливают связь между токами и напряжениями различных ветвей цепи. Ниже сформулированы законы

Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма1 токов ветвей, подключенных к любому узлу электрической цепи, равна нулю:

1 Под термином «алгебраическая сумма» понимается сумма величин с учетом их знаков.

33

где ток ветви ik берется со знаком «плюс», если он направлен от узла, и со знаком «минус», если он направлен к узлу.

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, называют уравнениями баланса токов. Первый закон Кирхгофа следует из закона сохранения заряда (уравнение непрерывности), который заключается в том, что сумма зарядов, поступивших в узел, равна сумме зарядов, вышедших из узла. Если сгруппировать токи, направленные к узлу, в левой части уравнения (3.3), а токи, направленные от узла, − в правой, то можно записать другую формулиров-

ку первого закона Кирхгофа: сумма токов ветвей, направленных к

узлу, равна сумме токов ветвей, направленных от узла.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений ветвей, входящих в любой контур электрической цепи, равна нулю:

где напряжение ветви uk берется со знаком «плюс», если его направление совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «минус», если его направление противоположно направлению обхода контура.

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, назы-

вают уравнениями баланса напряжений. Второй закон Кирхгофа следует из закона сохранения энергии и отражает тот факт, что при перемещении заряда по замкнутому пути его энергия не должна изменяться.

Поскольку в качестве ветви может рассматриваться каждый элемент цепи, а также с учетом того, что напряжение и ЭДС источника напряжения имеют противоположные направления, справедлива другая формулировка второго закона Кирхгофа: алгебраиче-

ская сумма напряжений на всех элементах контура, кроме источ- ников напряжения, равна алгебраической сумме ЭДС источников

где напряжения на элементах uκ и ЭДС источников eν берутся со знаком «плюс», если их направления совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «минус», если их направления противоположны направлению обхода контура.

34

Законы Кирхгофа являются важнейшими законами теории электрических цепей и выполняются в любых цепях независимо от характеристик входящих в них элементов.

Составим уравнения баланса токов для всех узлов и уравнения баланса напряжений для всех контуров цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, б:

узел (0): i1 − i2 − i4 − i5 = 0 ; узел (1): − i1 + i2 + i3 = 0 ; узел (2): − i3 + i4 + i5 = 0 ;

контур 1: uR1 + uR 2 + uL1 = e ; контур 2: − uL1 − uR 2 + uL 2 + uC = 0 ; контур 3: − uC + uR 3 = 0 ;

контур 4: uR1 + uL 2 + uR3 = e ; контур 5: uR1 + uL 2 + uC = e ; контур 6: − uL1 − uR 2 + uL 2 + uR3 = 0 .

Уравнения, связывающие токи и напряжения различных вет-

вей, называют топологическими уравнениями. Очевидно, что уравнения баланса токов и уравнения баланса напряжений, составленные по первому и второму законам Кирхгофа, являются топологическими уравнениями.

Наряду с топологическими уравнениями для электрических цепей составляют компонентные уравнения, связывающие токи и напряжения одних и тех же ветвей. В простейшем случае в качестве компонентного уравнения можно рассматривать уравнение, связывающее ток и напряжение идеализированного элемента.

Нетрудно показать, что топологические уравнения, составленные для всех узлов и контуров электрической цепи, являются ли- нейно-зависимыми. Например, для цепи, приведенной на рис. 3.1, б, уравнение баланса токов для узла (0) можно получить путем простейших линейных преобразований уравнений баланса токов для узлов (1) и (2), а уравнения баланса напряжений для контуров 4, 5, 6 можно получить с помощью линейных преобразований уравнений баланса напряжений для контуров 1, 2, 3. Напомним, что простейшими линейными преобразованиями являются сложение, вычитание и умножение на постоянную величину.

35

Таким образом, из указанных выше особенностей топологических уравнений можно сделать следующие выводы:

1. Число независимых уравнений баланса токов на единицу меньше общего числа узлов q и совпадает с числом главных сечений и ветвей дерева: m = q − 1 (см. формулу (3.1)). Независимые уз-

лы – это узлы, которым соответствуют независимые уравнения баланса токов. Как было показано выше, в качестве независимых узлов можно рассматривать все узлы кроме нулевого, который также называют базисным узлом.

2. Число независимых уравнений баланса напряжений равно числу основных контуров, которое, в свою очередь, совпадает с числом главных контуров и главных ветвей: n = p − m = p − q + 1

(см. формулу (3.2)). Независимые контуры – это контуры, которым соответствуют независимые уравнения баланса напряжений. Выше было показано, что независимыми контурами являются основные контуры цепи, кроме того можно показать, что независимыми являются главные контуры.

3.4. Уравнения электрического равновесия цепи

Уравнения электрического равновесия цепи (математиче-

ская модель цепи) – это система уравнений, решение которой позволяет определить некоторые неизвестные токи и напряжения электрической цепи.

Основная система уравнений электрического равновесия цепи (ОСУ) позволяет определить все неизвестные токи и напряжения цепи. Количество уравнений в ОСУ равно общему числу неизвестных токов и напряжений в цепи. В состав ОСУ должны входить независимые уравнения баланса токов и баланса напряжений, а также компонентные уравнения. Из предыдущего подраздела очевидны следующие правила составления топологических и компонентных уравнений цепи для получения ОСУ:

-независимые уравнения баланса токов составляют по первому закону Кирхгофа для всех узлов, кроме нулевого;

-независимые уравнения баланса напряжений составляют по второму закону Кирхгофа для главных или для основных контуров;

-компонентные уравнения связывают неизвестные токи и напряжения одних и тех же ветвей или элементов.

36

Таким образом, ОСУ цепи, приведенной на рис. 3.1, б:

−i1 + i2 + i3 = 0;

−i3 + i4 + i5 = 0;

uR1 + uR 2 + uL1 = e;

−uL1 − uR 2 + uL 2 + uC = 0;

−uC + uR3 = 0;

uR1 = R1i1;

uR 2 = R2i2 ;

(3.6)

uL1 = L1 di2 ; dt

uL 2 = L2 di3 ; dt

1 t

uC = C ∫i4 dt;

−∞

uR3 = R3i5 .

Фактически в ОСУ (3.6) уравнения баланса токов соответствуют сокращенному топологическому описанию цепи, так как содержат токи ветвей, а уравнения баланса напряжений соответствуют расширенному топологическому описанию, так как содержат напряжения на всех элементах. Такой подход удобен при «ручном» составлении уравнений цепи (без применения программ автоматизированного анализа), поскольку в этом случае получаются достаточно простые компонентные уравнения при минимальном числе топологических уравнений (число уравнений баланса токов наименьшее при сокращенном топологическом описании, а число уравнений баланса напряжений не зависит от способа топологического описания цепи).

Далее рассмотрим ОСУ, составленные отдельно для случаев расширенного и сокращенного топологического описаний, на примере цепи, схема которой приведена на рис. 3.6.

Каждой ветви соответствует один ток и одно напряжение, поэтому общее число токов и напряжений в любой цепи в два раза больше общего числа ветвей и равно 2p. Поскольку токи ветвей,

37

содержащих источники тока, и напряжения ветвей, состоящих только из источников напряжения, известны, то число неизвестных токов и напряжений в цепи, равное числу уравнений, входящих в ОСУ, можно определить с помощью следующего выражения:

где pит – число ветвей, содержащих источники тока; pин – число ветвей, состоящих только из источников напряжения.

а

б

Рис. 3.6. Пример схемы электрической цепи для случаев расширенного (а) и сокращенного (б) топологического описания

При расширенном топологическом описании (рис. 3.6, а) общее число узлов в цепи q = 4; общее число ветвей p = 6; число ветвей, содержащих источники тока, pит = 1; число ветвей, состоящих только из источников напряжения, pин = 1. Таким образом, в этом случае необходимо составить m = q – 1 = 3 независимых уравнения баланса

38

токов и n = p – q + 1 = 3 независимых уравнения баланса напряжений.

Число уравнений, входящих в ОСУ: NОСУ = 2p – pит – pин = 10. Число топологических уравнений m + n = p = 6; тогда число компонентных

уравнений NОСУ − p = p − pит − pин = 4. Очевидно, что компонентные уравнения необходимо составлять для всех ветвей, содержащих

идеализированные пассивные элементы.

С учетом представленных выше обоснований, ОСУ цепи при расширенном топологическом описании (рис. 3.6, а) будет иметь следующий вид (направления и номера напряжений ветвей совпадают с направлениями и номерами соответствующих токов):

−i1 + i2 = 0;

−i2 + i3 + i5 − j = 0;

−i3 + i4 = 0;

u2 + u3 + u4 = e;

−u3 − u4 + u5 = 0;

−∞

При сокращенном топологическом описании (рис. 3.6, б) полу-

чаем, что q = 2, p = 4, pит = 1, pин = 0, таким образом, в этом случае число независимых уравнений баланса токов m = q – 1 = 1; число не-

зависимых уравнений баланса напряжений n = p − q + 1 = 3; число топологических уравнений m + n = p = 4; число компонентных урав-

нений p − pит − pин = 3; NОСУ = 2p – pит – pин = 7. В этом случае, как и в случае, рассмотренном выше, компонентные уравнения необходимо

составлять для всех ветвей, содержащих идеализированные пассивные элементы. Таким образом, ОСУ цепи при сокращенном топологическом описании будет иметь следующий вид (направления и но-

39

мера напряжений ветвей совпадают с направлениями и номерами соответствующих токов):

−i1 + i2 + i3 − j = 0; u1 + u2 = 0;

−u2 + u3 = 0;

−∞

Из систем (3.8) и (3.9) следует, что число уравнений в ОСУ при сокращенном топологическом описании уменьшается по сравнению с расширенным топологическим описанием, однако при сокращенном топологическом описании усложняются компонентные уравнения.

ОСУ в общем случае представляет собой систему интегро-

дифференциальных уравнений. ОСУ, как правило, можно преобразовать к одному дифференциальному уравнению цепи относительно-

го некоторого отклика (неизвестного тока или напряжения).

В зависимости от вида системы уравнений электрического равновесия можно провести классификацию цепей.

Цепи, которые можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют цепями с сосредоточенными па- раметрами. Токи и напряжения в таких цепях являются функциями от одной переменной – от времени t и не зависят от пространственных координат. В этом случае можно сказать, что токи и напряжения локализованы в пространстве. Данное условие будет выполняться если размеры цепи значительно меньше длины волны электромагнитных колебаний в ней, т.е. на сравнительно низких частотах.

Цепи, описывающиеся дифференциальными уравнениями в ча-

стных производных, называют цепями с распределенными пара-

метрами. Токи и напряжения в таких цепях зависят от времени t и,

40