Основные понятия и законы теории электрических цепей. Учебное пособие

В большинстве случаев схема замещения конденсаторов, ис-

пользующихся в радиотехнических цепях, совпадает со схемой замещения резистора, но основным ее параметром является емкость С, а паразитным – сопротивление утечки Rу (рис. 2.7, б). В области высоких частот для конденсаторов приходится учитывать последовательно включенные паразитные сопротивление и индуктивность выводов (рис. 2.7, д).

Рис. 2.7. Схемы замещения резистора, конденсатора и катушки индуктивности в области низких частот (а), (б), (в) и в области высоких частот (г),

(д), (е)

В зависимости от выбранного диапазона частот схема замеще- ния катушки индуктивности может быть представлена следующим образом. При низких частотах – как индуктивность L с последовательно включенным сопротивлением Rп, учитывающим потери

21

энергии в проводнике (рис. 2.7, в), а при высоких частотах – как индуктивность L и сопротивление Rп, соединенные параллельно с паразитной емкостью катушки Сп (рис. 2.7, е).

Вид схемы замещения и параметры входящих в нее идеализированных элементов также существенно зависят от конструкции реального элемента, технологии его изготовления и применяемых материалов. При исследовании цепей, как правило, используют схемы замещения, содержащие минимальное число элементов, которое позволяет обеспечить требуемую точность модели реального элемента.

2.2. Идеализированные активные элементы

Идеальный источник напряжения (источник напряжения

или источник ЭДС) – это идеализированный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего через него тока. Напряжение u на зажимах источника напряжения при любом токе равно ЭДС источника:

В общем случае ЭДС источника напряжения может быть произвольной функцией времени e = e(t) и при этом источник является

источником переменного напряжения. В частном случае e = E_ = const, и тогда источник называют источником постоянного

напряжения.

Условное графическое изображение источника напряжения приведено на рис. 2.8, а. Стрелка внутри кружка на рис. 2.8, а показывает направление ЭДС источника, т.е. направление сторонних сил, затрачиваемых на перемещение положительных зарядов от зажима с более низким потенциалом к зажиму с более высоким потенциалом. Положительное направление тока источника ie совпадает с направлением ЭДС и противоположно положительному направлению напряжения источника, поскольку напряжение источника направлено от зажима с более высоким потенциалом к зажиму с более низким потенциалом (эти зажимы часто обозначают знаками «+» и «−» соответственно).

Идеальный источник напряжения физически нереализуем, поскольку он является источником бесконечной мощности. Действительно, если подключить к внешним зажимам источника напряже-

22

ния нагрузку, сопротивление которой Rн →0, ток источника ie = e / Rн →∞ и его мгновенная мощность p = e ie →∞.

Идеальный источник тока (источник тока) – это идеализи-

рованный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его

Мгновенное значение тока j = j(t) в общем случае является произвольной функцией времени (для источника переменного тока), а

в частном случае j = J_ = const (для источника постоянного тока).

Условное графическое изображение источника тока приведено на рис. 2.8, б. Двойная стрелка показывает направление тока источника, которое совпадает с направлением сторонних сил, затрачиваемых на перемещение положительных зарядов от зажима с низким потенциалом к зажиму с более высоким потенциалом. Положительное направление напряжения источника тока uj противоположно направлению тока j.

Источник тока, так же как источник напряжения, является источником бесконечной мощности и физически нереализуем. Действительно, если подключить к внешним зажимам источника тока нагрузку, сопротивление которой Rн →∞, то напряжение источника uj = j Rн →∞ и его мгновенная мощность p = uj j →∞.

Рис. 2.8. Условные графические изображения источника напряжения (а), источника тока (б) и их внешние характеристики (в)

23

Внешняя характеристика источника энергии – это зависимость напряжения на зажимах источника от тока источника. Внешняя характеристика источника постоянного напряжения – прямая, параллельная оси токов, а внешняя характеристика источника постоянного тока – прямая, параллельная оси напряжений (рис. 2.8, в).

Идеальные источники напряжения и тока являются упрощенными моделями реальных источников энергии. Например, при определенных условиях гальванический элемент близок по своим свойствам к источнику напряжения, а выходной каскад на транзисторе можно рассматривать в качестве источника тока. Такое допущение можно принять, только в некотором ограниченном диапазоне напряжений и токов. В общем случае напряжение u на внешних зажимах реального источника будет зависеть от его тока i, пример такой зависимости – штриховая кривая на рис. 2.9, а.

На практике для описания внешней характеристики реального источника энергии часто используют линейную функцию (сплошная линия на рис. 2.9, a). На рис. 2.9, а обозначены напряжение хо-

лостого хода uх и ток короткого замыкания iк. В режиме холостого хода ток между внешними зажимами источника равен нулю iх = 0, т.е. зажимы разомкнуты. В режиме короткого замыкания напряжение между внешними зажимами источника равно нулю uк = 0. При коротком замыкании между зажимами включен проводник с бесконечно малым сопротивлением («перемычка»).

Реальный источник энергии, внешняя характеристика которого описывается линейной функцией, также называют линеаризованным источником энергии. Нетрудно показать, что внешняя характеристика линеаризованного источника может быть описана одним из следующих уравнений:

где e = uх, Ri = uх / iк; j = iк, Gi = iк / uх.

Параметр Ri называют внутренним сопротивлением источника, а параметр Gi – внутренней проводимостью источника. Уравнению

(2.20) соответствует последовательная схема замещения реаль-

ного источника, состоящая из источника напряжения, ЭДС которого равно e, и сопротивления Ri. (рис. 2.9, б). Уравнению (2.21) соот-

24

ветствует параллельная схема замещения реального источника,

состоящая из источника тока j и проводимости Gi (рис. 2.9, в).

Рис. 2.9. Внешняя характеристика (а), последовательная (б) и параллельная (в) схемы замещения реальных источников энергии

Поскольку последовательной и параллельной схемам замещения реального источника соответствует одна и та же внешняя характеристика, то эти схемы эквивалентны, т.е. при построении схемы замещения реальной цепи вместо источника энергии можно использовать как последовательную, так и параллельную схему замещения.

Используя приведенные выше выражения для параметров последовательной и параллельной схем замещения, можно получить формулы перехода от одной схемы замещения к другой:

Источники напряжения и тока могут быть независимыми и за-

висимыми. Независимый (неуправляемый) источник – это идеа-

лизированный активный двухполюсник, параметр которого (ток или напряжение) не зависит ни от каких других токов и напряжений.

Зависимый (управляемый) источник – это идеализированный активный элемент, параметр которого является функцией от некоторого тока или напряжения. В общем случае, управляемый источник имеет две пары внешних зажимов. Различают следующие виды управляемых источников (рис. 2.10):

1) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) –

это активный элемент, напряжение которого является функцией от управляющего напряжения uупр;

25

2)источник напряжения, управляемый током (ИНУT) – это ак-

тивный элемент, напряжение которого является функцией от управляющего тока iупр;

3)источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) – это ак-

тивный элемент, ток которого является функцией от управляющего

напряжения uупр;

4) источник тока, управляемый током (ИТУT) – это активный элемент, ток которого является функцией от управляющего тока

iупр.

Рис. 2.10. Условные графические изображения управляемых источников:

а– ИНУН; б – ИНУТ; в – ИТУН; г – ИТУТ

Вобщем случае зависимость между управляемым параметром источника и управляющим воздействием является нелинейной. В инженерной практике часто используются линейно управляемые источники, параметр которых s является линейной функцией от управляющего воздействия x:

s = Kупр x,

где Kупр – коэффициент управления.

Коэффициент управления – это коэффициент пропорциональности между управляемым током или напряжением источника и

26

управляющим воздействием [1]. Коэффициент управления в зависимости от типа источника может иметь различную размерность:

-размерность сопротивления для источника напряжения, управляемого током;

-размерность проводимости для источника тока, управляемого напряжением;

-безразмерным для источника напряжения, управляемого напряжением, и источника тока, управляемого током.

Управляемые источники используются при построении схем замещения различных полупроводниковых приборов, например, транзисторов и операционных усилителей. В частности, в схему

данном случае является коэффициентом управления и имеет размерность проводимости (в большинстве отечественных источников в качестве единицы измерения крутизны используют А/В вместо См).

27

3. ТОПОЛОГИЯ ЦЕПЕЙ. ЗАКОНЫ КИРХГОФА

3.1. Схема электрической цепи

Схема электрической цепи – это условное графическое изображение этой цепи. В теории цепей исследуются исключительно схемы замещения электрических цепей, определяющие вид идеализированных цепей. Далее под термином «схема» будет пониматься именно схема замещения электрической цепи. На рис. 3.1, а приведен пример схемы электрической цепи.

а

б

Рис. 3.1. Примеры изображений схемы электрической цепи

На схеме цепи указывают направления токов и напряжений и их обозначения. Индексы в обозначениях токов и напряжений мо-

28

гут быть как буквенными, так и числовыми. На схеме, изображенной на рис. 3.1, а, также показаны все узлы (0) – (4) и контуры 1 – 6 соответствующей цепи. Определения для узлов и контуров приведены в конце данного подраздела.

Следует отметить, что схема одной и той же цепи может изображаться по-разному. Например, схемы, приведенные на рис. 3.1, а и рис. 3.1, б, соответствуют одной и той же цепи и являются равноценными. В схеме на рис. 3.1, б участок цепи, не содержащий элементов, объединен в одну точку – узел (0), кроме того, на этой схеме изменена нумерация токов и узлов, нумерация контуров осталась неизменной. Направления напряжений элементов на схемах часто не указывают, так как общепринято, что для пассивных элементов направления напряжений и токов совпадают, а для активных элементов – противоположны.

Рассмотрим способы соединения двухполюсных элементов

электрических цепей.

Соединение, при котором через элементы протекает один и тот же ток, называется последовательным соединением. В цепи, схе-

ма которой приведена на рис. 3.1, а, последовательно соединены

элементы e и R1 (i1 = i2), а также элементы R2 и L1 (i3 = i4). Соединение, при котором элементы находятся под одним и тем

же напряжением, называется параллельным соединением. В цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, а, параллельно соединены элементы С и R3 (uC = uR3). Также можно рассматривать параллельное соединение участков цепи. В цепи на рис. 3.1, а параллельно соединены участки {e; R1} и {R2; L1}.

Смешанное соединение элементов представляет собой комбинацию последовательного и параллельного соединений. Очевидно, что в схемах, приведенных на рис. 3.1, имеет место смешанное соединение элементов.

Существуют также специфические виды соединений элементов, которые нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному, ни к смешанному соединению. Примерами таких соединений являются соединения треугольником и звездой, показанные на рис. 3.2.

Характер соединений между элементами цепи определяет ее

топологические (структурные) свойства. Основными топологиче-

скими элементами цепи являются ветвь, узел и контур. 29

а б

Рис. 3.2. Соединение элементов треугольником (а) и звездой (б)

Ветвь – это участок цепи, через который протекает один и тот же ток. Ветвь может состоять как из одного двухполюсного элемента, так и из нескольких последовательно соединенных двухполюсных элементов. Нумерация ветвей, как правило, совпадает с нумерацией токов в цепи.

Узел – это место соединения ветвей. Место соединения двух ветвей называют устранимым узлом. Нумерация узлов начинается с нуля, номера узлов записывают в круглых скобках. Нумерация узлов осуществляется произвольно, но, как правило, номер «0» присваивается заземленному узлу (см. рис. 3.1). В схеме на рис. 3.1, а узлы (1) и (3) являются устранимыми, а в схеме на рис. 3.1, б устранимых узлов нет.

Контур – это замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов, так что ни одна ветвь и ни один узел не встречаются дважды. Контур обозначается изогнутой линией со стрелкой, которая характеризует направление обхода контура. В схеме, изображенной на рис. 3.1, б, можно выделить 6 контуров: контур 1 образован ветвями {1, 2}; контур 2 – {2, 3, 4}; контур 3 – {4, 5}; контур 4 –

{1, 3, 5}; контур 5 – {1, 3, 4}; контур 6 – {2, 3, 5}.

3.2. Граф схемы электрической цепи

Топология цепи отражает геометрическую структуру цепи и не содержит информации об элементах цепи. При расширенном то- пологическом описании цепи каждому ее элементу соответствует отдельная ветвь (см. рис. 3.1, а). При сокращенном топологиче-

30