Обучение младших школьников математике по учебно-методическому комплекту «Перспективная начальная школа». Монография

для другой задачи. Для достижения этого необходимо научиться анализировать формулировку задачи в комплексе, то есть учитывать сразу и условие, и требование. Традиционно принятый в методике анализ от требования или от условия, на наш взгляд, имеет целый ряд существенных недостатков. Дело в том, что такой путь анализа не позволяет видеть конечную цель, а, значит, может завести в тупик, так как даже в самых несложных ситуациях существуют различные пути логического продвижения от имеющихся предпосылок, которые приводят к различным выводам. Например, при поиске решения задачи с требованием «Установить число карандашей в двух коробках» вполне логично возникает вывод о том, что для этого нужно знать число карандашей в каждой коробке, но такой вывод только усложнит ситуацию, если условие в задаче сформулировано следующим образом: «В первой коробке 6 карандашей, а в двух – в 5 раз больше, чем в первой».

Подводя итог вышесказанному, еще раз подчеркнем, что для обучения решению составных задач используется совсем другой подход по сравнению с тем, что применялся при обучении решению простых задач. В случае составной задачи нам важно научить учащихся анализировать формулировку задачи с позиции восстановления недостающих логических звеньев, которые должны соединить условие и требование задачи. В нашей трактовке такими логическими звеньями будут являться дополнительные промежуточные требования, последовательное выполнение которых должно привести к получению информации, позволяющей ответить на основное требование задачи. Для нахождения этих дополнительных условий целесообразно осуществлять логическое продвижение не в одном направлении (от требования к условию или от условия к требованию) как это принято в традиционной методике, а двигаться навстречу от требования и условия поочередно. Например, после того, как определены те данные, которые позволят ответить на требование задачи, нужно обратиться к условию и установить, можно ли эти данные получить из условия как ответ на одно или несколько дополнительных промежуточных требований к задаче. Если ответ будет положительным, то эти дополнительные требования

81

вместе с основным требованием и определят последовательность и содержание шагов для решения данной задачи. Напоминаем, что каждый шаг в решении составной задачи состоит в решении соответствующей простой задачи, поэтому он может быть записан в виде выполнения одного арифметического действия. Если же ответ будет отрицательным, то следует опять обратиться к анализу основного требования и постараться определить другие данные, которые также дадут возможность ответить на это требование. Далее процедура перехода к анализу условия повторяется.

Покажем на примере, как это можно реализовать. Для этого рассмотрим следующую задачу: «В первой корзине лежало 20 яблок, во второй – на 3 больше, чем в первой,

ав третьей – на 5 меньше, чем во второй. Сколько яблок лежало в третьей корзине?» Начинаем работу с анализа требования. Единственной полезной информацией, которую мы можем извлечь из требования, является информация о том, что нас интересует число яблок в третьей корзине. Никаких разумных дополнительных требований по этой информации мы сформулировать не можем. Следовательно, нужно переходить к анализу условия, а точнее к той его части, где речь идет о третьей корзине. В условии сказано, что яблок в третьей корзине на 5 меньше, чем во второй. Это означает, что нам дополнительно нужно узнать, сколько яблок во второй корзине. Вот и определилось дополнительное промежуточное требование. Продолжая анализировать условие применительно к этому дополнительному требованию, мы устанавливаем, что ответ на это требование может быть получен в результате выполнения одного действия сложения, так как число яблок во второй корзине на 3 больше, чем в первой,

ав первой их число известно (20 яблок). Таким образом, достаточно ввести одно дополнительное промежуточное требование, чтобы с его помощью получить ответ на основное требование задачи. При этом решение задачи будет состоять из двух действий.

Втом случае, когда условие и требование нельзя соединить одним логическим звеном в виде дополнительного требования, а нужно найти несколько последовательных дополнительных требований (составная задача решается в три

82

иболее действий), переход от анализа требования к анализу условия и наоборот может осуществляться несколько раз с постепенным сближением новых полученных данных с новыми сформулированными требованиями. Более детальный разговор на эту тему нам еще предстоит, так как задачи в три

иболее действий будут предметом изучения в следующих классах. О малой эффективности проведения однонаправленного анализа в таких ситуациях было сказано выше. Мы лишь еще раз хотим подчеркнуть, что однонаправленный анализ имеет высокую степень вероятности завести ученика в «логический тупик». Тогда потребуется возвращаться на исходные позиции и начинать работу заново.

3.2.5. Изучение величин

Во втором полугодии 2 класса изучается величина «время» [82]. При этом время рассматривается в двух аспектах: времядата и время-продолжительность. Из этих двух проявлений времени величиной в ее традиционном толковании является только время-продолжительность. Именно времяпродолжительность допускает возможность сравнения и возможность сложения с выполнением всех необходимых свойств этого отношения и этой операции. Время-дата хотя

идопускает возможность сравнения с опорой на отношение «раньше-позже», но возможность сложения для нее исключена: даты складывать бессмысленно. С другой стороны, время-дата допускает вычитание. При этом разность двух дат выражает соответствующую продолжительность: чтобы узнать продолжительность некоторого процесса (явления), нужно из даты конца процесса вычесть дату его начала.

Начинается изучение времени с рассмотрения временных промежутков и измерения их продолжительности с помощью солнечных и песочных часов, после чего осуществляется переход к определению времени по циферблатным часам и электронным табло. С помощью часов устанавливается связь между моментами времени (датами) и интервалами времени (продолжительностью по времени). Вводятся стандартные единицы времени (час, минута, сутки, неделя)

исоотношения между ними. Особое внимание уделяется

83

изменяющимся единицам времени (месяц, год), а также соотношениям между ними и постоянными единицами времени. Вводится самая большая изучаемая единица времени – век. Кроме этого рассматривается операция деления однородных величин, которая трактуется как измерение делимой величины в единицах величины-делителя.

В качестве сопутствующего материала к вопросам об определении времени по циферблатным часам изучаются римские цифры.

3.2.6. Работа с данными

Работа с данными, как уже отмечалось, должна проводиться в двух видах: во первых, в процессе выполнения заданий, которые в явном виде относятся к информационной содержательной линии, во вторых, в процессе выполнения заданий (в виде вспомогательной сопутствующей работы), относящихся к другим содержательным линиям. В первом случае мы включаем в перечень изучаемых тем такие, которые напрямую относятся к информационной содержательной линии, наполняя их заданиями по работе с данными в явном виде. Во втором случае наибольший объем работы с данными приходится на задания, связанные с обучением решению текстовых задач (алгоритмическая линия), и на задания, связанные с формированием вычислительных умений (арифметическая линия). Но эта работа носит уже, как правило, неявный (вспомогательный, сопутствующий) характер с точки зрения поставленных учебных задач.

Основными объектами по работе с данными во втором полугодии являются две таблицы: разрядная таблица и таблица умножения однозначных чисел, построенная на инструментальном принципе (в предложенном виде таблица представляет собой удобный инструмент для отыскания нужного значения произведения однозначных чисел). С ними проводятся такие виды работы, как чтение и заполнение строк и столбцов таблицы, представление информации в таб-лице и извлечение необходимой информации из таблицы, использование таблицы для формулировки за-

84

дания [82]. Кроме этого, учащиеся знакомятся со структурой формулировки текстовой задачи, в которую в обязательном порядке входят данные и искомое. Они также учатся включать имеющиеся данные в круговую схему простой текстовой задачи на сложение и вычитание.

3.2.7. Алгебраическая пропедевтика

Во втором полугодии 2 класса начинается систематическое изучение одного из основных алгебраических понятий – понятия «уравнения» [82]. Хотя в программу мы не включили специальные разделы по изучению алгебраического материала, но это не означает, что алгебраическим вопросам отводится второстепенная роль. Такое положение дел объясняется лишь тем, что объем алгебраического материала не очень большой и этот материал распределен по другим разделам программы, а его назначение, главным образом, носит пропедевтический характер.

Прежде чем рассматривать понятие «уравнение», мы предлагаем учащимся познакомиться с понятием «неизвестное», трактуя это понятие, прежде всего, как неизвестное число. При этом мы хотим провести границу между неизвестным числом, которое может быть переведено в разряд известных с помощью счета или измерения, и неизвестным числом, для нахождения которого требуется выполнить некоторые вычисления. К неизвестному числу первого типа относится, например, число рыбок в аквариуме, который мы первый раз видим: для нас это число неизвестно, но при желании мы можем всех рыбок пересчитать. К неизвестному числу второго типа можно отнести число рыбок, которые уплыли в пруд после того, как ведро с уловом опрокинулось. Мы их сосчитать не можем, но можем вычислить это число, если будем знать, сколько рыбок было поймано и сколько рыбок осталось на берегу. Рассмотрением неизвестных второго типа мы и будем, главным образом, заниматься, так как именно такие неизвестные участвуют в составлении уравнений. Для обозначения неизвестного на данном этапе мы будем использовать пока только латинскую букву х.

85

Знакомство с уравнением мы будем проводить на основе сопоставления уравнения и верного числового равенства. Поэтому корень уравнения мы определяем как число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного получается верное числовое равенство.

После знакомства с простейшими видами уравнений, которые по структуре своей записи аналогичны записям действий сложения и вычитания, учащимся будут предложены правила, позволяющие решать уравнения такого вида. Вывод этих правил будет основан на использовании круговых схем, с которыми учащиеся хорошо знакомы в плане их применения для решения текстовых арифметических задач (речь идет о простых задачах на сложение и вычитание). Для того, чтобы использовать эти схемы при решении уравнений, в них нужно внести совсем небольшие изменения: заменить на схеме знак «?», с помощью которого обозначается искомое в задаче, на латинскую букву х, с помощью которой обозначается неизвестное в уравнении. Все остальные элементы схемы остаются без изменения. Научиться решать уравнения, хотя бы их некоторые виды, – задача совсем непростая и имеет самостоятельное значение. По этой причине мы уделяем данному вопросу достаточно большое внимание уже на первых этапах изучения уравнений. Более того, отдавая дань традиции в выборе способов решения уравнений, с которыми мы знакомим младших школьников (имеется в виду способ подбора и способ, основанный на связи компонентов и результата арифметического действия), мы уже во втором классе начинаем пропедевтическую работу по введению понятия «равносильные уравнения», на основе которого построены способы решения уравнений, изучаемые в средней школе. Пока термин «равносильные уравнения» не упоминается, но когда мы предлагаем учащимся составить уравнение, имеющее такой же корень, что и данное уравнение, мы, по существу, предлагаем им составить уравнение, равносильное данному.

В заключение хотим обратить внимание еще на один аспект изучения алгебраического материала. Имеется в виду вопрос об использовании уравнений для решения текстовых арифметических задач. Этот вопрос является точкой пересечения двух содержательных линий курса: алгебраической

86

иалгоритмической. В нашей трактовке уравнение, в котором находит отражение связь между данными и искомым рассматриваемой текстовой задачи, можно считать решением данной задачи (по аналогии с тем, как мы решением считали соответствующее числовое выражение). Такая постановка вопроса не противоречит тому, как в общем случае нами толковалось понятие «решение задачи». При записи решения задачи с помощью соответствующего уравнения мы фактически указываем алгоритм (речь идет об алгоритме решения данного уравнения), выполнение которого позволяет получить ответ задачи. Другими словами, когда составлено уравнение, то вопрос о решении задачи уже не стоит. Его заменяет вопрос о решении уравнения, а это не одно и то же. Так как для уравнений, которые изучаются в начальной школе

идаже в средней школе, существуют алгоритмы их решения (в начальной школе они представлены в виде соответствующих правил), то составленное с учетом условия и требования задачи уравнение мы с полным основанием можем считать одной из возможных форм записи решения этой задачи (наряду с записью по действиям, в виде одного числового выражения или в виде формулы).

3.3. Ожидаемые результаты к концу второго года обучения

Учащиеся научатся:

••вести счет десятками и сотнями;

••различать термины «число» и «цифра»;

••распознавать числа (от 1 до 12), записанные римскими цифрами;

••читать и записывать все однозначные, двузначные и трехзначные числа;

••записывать число в виде суммы разрядных слагаемых; использовать «круглые» числа в роли разрядных слагаемых;

••сравнивать изученные числа на основе их десятичной записи и записывать результат сравнения с помощью знаков (>, <, =);

••изображать числа на числовом луче;

87

••использовать термины «натуральный ряд» и «натуральное число»;

••находить первые несколько чисел числовых последовательностей, составленных по заданному правилу;

••воспроизводить и применять таблицу сложения однозначных чисел;

••применять правила прибавления числа к сумме и суммы к числу;

••воспроизводить и применять переместительное свойство сложения и умножения;

••применять правило вычитания суммы из суммы;

••воспроизводить и применять правила сложения и вычитания с нулем, умножения с нулем и единицей;

••выполнять письменное сложение и вычитание чисел в пределах трех разрядов;

••находить неизвестные компоненты действий сложения и вычитания;

••записывать действия умножения и деления, используя соответствующие знаки (×, :);

••употреблять термины, связанные с действиями умножения и деления (произведение, множители, значение произведения; частное, делимое, делитель, значение частного);

••воспроизводить и применять таблицу умножения однозначных чисел;

••выполнять деление на основе предметных действий и на основе вычитания;

••применять правило порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без скобок, содержащих действия одной или разных ступеней;

••чертить с помощью линейки прямые, отрезки, ломаные, многоугольники;

••определять длину предметов и расстояния (в метрах, дециметрах и сантиметрах) при помощи измерительных приборов;

••строить отрезки заданной длины при помощи измерительной линейки;

••находить значения сумм и разностей отрезков данной длины при помощи измерительной линейки и с помощью вычислений;

88

••выражать длину отрезка, используя разные единицы длины (например, 1 м 6 дм и 16 дм или 160 см);

••использовать соотношения между изученными единицами длины (сантиметр, дециметр, метр) для выражения длины

вразных единицах;

••распознавать на чертеже и изображать прямую, луч, угол (прямой, острый, тупой); прямоугольник, квадрат, окружность, круг, элементы окружности (круга): центр, радиус, диаметр; употреблять соответствующие термины;

••измерять и выражать массу, используя изученные единицы массы (килограмм, центнер);

••измерять и выражать продолжительность, используя единицы времени (минута, час, сутки, неделя, месяц, год, век); переходить от одних единиц времени к другим;

••устанавливать связь между началом и концом события

иего продолжительностью; устанавливать момент времени по часам;

••распознавать и формулировать простые и составные задачи; пользоваться терминами, связанными с понятием «задача» (условие, требование, решение, ответ, данные, искомое);

••строить графическую модель арифметической сюжетной задачи; решать задачу на основе построенной модели;

••решать простые и составные задачи, содержащие отношения «больше на (в) …», «меньше на (в) …»;

••разбивать составную задачу на простые и использовать две формы записи решения (по действиям и в виде одного выражения);

••формулировать обратную задачу и использовать ее для проверки решения данной;

••читать и заполнять строки и столбцы таблицы.

Учащиеся дополнительно получат возможность научиться:

••понимать позиционный принцип записи чисел в десятичной системе;

••пользоваться римскими цифрами для записи чисел первого и второго десятков;

••понимать и использовать термины «натуральный ряд»

и«натуральное число»;

••понимать и использовать термин «числовая последовательность»;

89

••воспроизводить и применять правило вычитания суммы из суммы;

••понимать количественный смысл действий (операций) умножения и деления над целыми неотрицательными числами;

••понимать связь между компонентами и результатом действия (для сложения и вычитания);

••записывать действия с неизвестным компонентом в виде уравнения;

••понимать бесконечность прямой и луча;

••понимать характеристическое свойство точек окружности

икруга;

••использовать римские цифры для записи различных дат

ивеков;

••оперировать с изменяющимися единицами времени (месяц, год) на основе их соотношения с сутками; использовать термин «високосный год»;

••понимать связь между временем-датой и временемпродолжительностью;

••рассматривать арифметическую текстовую (сюжетную) задачу как особый вид математического задания: распознавать и формулировать арифметические сюжетные задачи, отличать их от других задач (логических, геометрических, комбинаторных);

••моделировать арифметические сюжетные задачи, используя различные графические модели и уравнения;

••использовать табличную форму формулировки задания.

90