Обучение младших школьников математике по учебно-методическому комплекту «Перспективная начальная школа». Монография

во вторых, ориентация учащихся на «алгоритмическое» мышление будет способствовать более успешному освоению ими основ информатики и новых информационных технологий. Само описание алгоритма решения задачи мы допускаем в трех видах: 1) по действиям (по шагам) с пояснениями; 2) в виде числового выражения, которое мы рассматриваем как свернутую форму описания по действиям, но без пояснений; 3) в виде буквенного выражения (формулы) с использованием стандартной символики. Последняя форма описания алгоритма решения задачи будет использоваться только после того, как учащимися достаточно хорошо будут усвоены зависимости между величинами.

Для формирования умения решать задачи учащиеся,

впервую очередь, должны научиться работать с текстом и иллюстрациями: определить, является ли предложенный текст задачей или понять, как по данному сюжету сформулировать задачу, установить связь между данными и искомым и последовательность шагов по установлению значения искомого. Другое направление работы с понятием «задача» связано с проведением различных преобразований имеющегося текста и наблюдениями за теми изменениями

вее решении, которые возникают в результате этих преобразований. К этим видам работы относятся: дополнение текстов, не являющихся задачами, до задачи; изменение любого из элементов задачи, представление одной той же задачи в разных формулировках; упрощение и усложнение исходной задачи; поиск особых случаев изменения исходных данных, приводящих к упрощению решения; установление задач, которые можно решить при помощи уже решенной задачи, что в дальнейшем становится основой классификации задач по сходству математических отношений, заложенных в них.

Более конкретную информацию по развитию данной содержательной линии во втором полугодии первого класса можно узнать из методических рекомендаций к соответствующим темам второй части учебника [77]. Особое внимание следует обратить на использование схем для иллюстрации формулировки задачи и, как следствие, для поиска ее решения.

61

2.2.5. Изучение величин

Во втором полугодии продолжается изучение величины «длина» (рассматриваются вопросы, связанные с измерением длины), величины «время» (доизмерительный период), а также в пропедевтическом плане затрагивается величина «масса» и величина «стоимость» [80].

Наибольшее внимание во втором полугодии из всех перечисленных вопросов мы уделяем вопросам, связанным с измерением длины. Сначала мы знакомим учащихся с процессом измерения с помощью произвольной мерки. После этого вводим стандартную единицу длины – сантиметр и рассматриваем задания на измерение с помощью измерительной линейки. Следующий этап работы состоит во введении новой единицы длины – дециметра и проведения измерений с помощью этой новой единицы. Завершающий этап изучения величины «длина» в первом классе посвящен вопросу сложения и вычитания длин.

Величина «время» изучается во втором полугодии на уровне понятия «продолжительность»: учащиеся знакомятся с этим понятием и со способами сравнения временных промежутков по продолжительности «на глаз» и на основе привлечения временных отношений «раньше-позже» и «старшемоложе».

С величиной «масса» учащиеся знакомятся в пропедевтическом плане на уровне понимания смысла отношения «тяжелее-легче».

Величина «стоимость» так же рассматривается в пропедевтическом плане на уровне понимания смысла отношения «дороже-дешевле», а кроме этого данная величина выступает в роли обобщающего фактора, позволяющего связать между собой разные величины (длину, массу, время). Подробнее об этом сказано в методических рекомендациях к соответствующей теме.

2.2.6.Работа с данными

Впервом классе работа с данными в привычном ее понимании (получение, хранение, обработка, передача и т. д. данных) в явном виде еще не проводится. Но в пропедевти-

62

ческом плане такая работа ведется. Так, при работе с текстовой задачей учащиеся постоянно сталкиваются с данными, которые фигурируют в условии задачи. Они учатся эти данные выделять, анализировать, подбирать по смыслу, выполнять над ними действия, получая, тем самым, новые данные. Завершающим этапом этой работы, которая продолжается в течение всего второго полугодия, можно считать подведение учащихся к записи данных в табличной форме, что мы рекомендуем сделать в процессе решения практического задания из темы «Разные задачи» (см. Задание 3) [80]. В методических рекомендациях к этому заданию подробно описано то, как это следует сделать [77].

2.3. Ожидаемые результаты к концу первого года обучения

Учащиеся научатся:

••читать и записывать все однозначные числа и числа второго десятка, включая число 20;

••вести счет как в прямом, так и в обратном порядке (от 0 до 20);

••сравнивать изученные числа и записывать результат сравнения с помощью знаков (>, <, =);

••записывать действия сложения и вычитания, используя соответствующие знаки (+, –);

••употреблять термины, связанные с действиями сложения

ивычитания (плюс, сумма, слагаемые, значение суммы; минус, разность, уменьшаемое, вычитаемое, значение разности);

••пользоваться справочной таблицей сложения однозначных чисел;

••воспроизводить и применять табличные случаи сложения

ивычитания;

••применять переместительное свойство сложения;

••применять правила прибавления числа к сумме и суммы к числу;

••выполнять сложение на основе способа прибавления по частям;

63

••применять правила вычитания числа из суммы и суммы из числа;

••выполнять вычитание на основе способа вычитания по частям;

••применять правила сложения и вычитания с нулем;

••понимать и использовать взаимосвязь сложения и вычитания;

••выполнять сложение и вычитание однозначных чисел без перехода через десяток;

••выполнять сложение однозначных чисел с переходом через десяток и вычитание в пределах таблицы сложения, используя данную таблицу в качестве справочника;

••распознавать на чертеже и изображать точку, прямую, отрезок,ломаную,кривуюлинию,дугу,замкнутуюинезамкнутую линии; употреблять соответствующие термины; употреблять термин «точка пересечения»;

••распознавать в окружающих предметах или их частях плоские геометрические фигуры (треугольник, четырехугольник, прямоугольник, многоугольник, круг);

••чертить с помощью линейки прямые, отрезки, ломаные, многоугольники;

••определять длину данного отрезка (в сантиметрах) при помощи измерительной линейки;

••строить отрезки заданной длины при помощи измерительной линейки;

••находить значения сумм и разностей отрезков данной длины при помощи измерительной линейки и с помощью вычислений;

••выражать длину отрезка, используя разные единицы длины (например, 1 дм 6 см и 16 см);

••распознавать симметричные фигуры и изображения;

••распознавать и формулировать простые задачи;

••употреблять термины, связанные с понятием «задача» (формулировка, условие, требование (вопрос), решение, ответ);

••составлять задачи по рисунку и делать иллюстрации (схематические) к тексту задачи;

••выявлять признаки предметов и событий, которые могут быть описаны терминами, относящимися к соответствую-

64

щим величинам (длиннее-короче, дальше-ближе, тяжелеелегче, раньше-позже, дороже-дешевле);

••использовать названия частей суток, дней недели, месяцев, времен года.

Учащиеся дополнительно получат возможность научиться:

••понимать количественный и порядковый смысл числа;

••понимать и распознавать количественный смысл сложения и вычитания;

••воспроизводить переместительное свойство сложения;

••воспроизводить правила прибавления числа к сумме и суммы к числу;

••воспроизводить правила вычитания числа из суммы и суммы из числа;

••воспроизводить правила сложения и вычитания с нулем;

••использовать «инструментальную» таблицу сложения для выполнения сложения однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания;

••различать внутреннюю и внешнюю области по отношению к замкнутой линии (границе);

••устанавливать взаимное расположение прямых, кривых линий, прямой и кривой линии на плоскости;

••понимать и использовать термин «точка пересечения»;

••строить (достраивать) симметричные изображения, используя клетчатую бумагу;

••описывать упорядоченные множества с помощью соответствующих терминов (первый, последний, следующий, предшествующий);

••понимать суточную и годовую цикличность;

••представлять информацию в таблице.

65

ГЛАВА III.

ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ ВО 2 КЛАССЕ

3.1. Особенности развития основных содержательных линий курса

первого полугодия

3.1.1. Изучение чисел

Числа второго десятка и все остальные натуральные числа изучаются на основе принципов нумерации (письменной

иустной) десятичной системы счисления. В программу второго класса мы включили изучение двузначных и трехзначных чисел. В первом учебном полугодии изучаются, главным образом, двузначные числа [81]. При этом не следует забывать, что учащиеся уже в первом классе познакомились с понятием двузначного числа, изучили числа второго десятка

иразрядный принцип нумерации (на примере разряда единиц и разряда десятков).

Изучение двузначных чисел, больших 20, осуществляется в следующей последовательности. Сначала на основе счета десятками мы предлагаем познакомить учащихся

с«круглыми» двузначными числами. Два таких числа (числа 10 и 20) учащиеся уже хорошо знают. Поэтому продолжить эту последовательность в плане письменной нумерации для них не составит особого труда: запись чисел 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 возникает по аналогии. Сложнее дело обстоит с устной нумерацией. Если образование числительных «тридцать», «пятьдесят», «шестьдесят», «семьдесят», «восемьдесят» можно объяснить с опорой на смысловой состав этих слов, что мы попытались сделать с помощью цветового деления слова на две соответствующие части, то для числительных «сорок» и «девяносто» такой подход

66

не приемлем. Эти числительные следует запомнить, не пытаясь вникнуть в их смысловую структуру. С другой стороны, данные числительные предоставляют хороший повод обратиться к историческому материалу: учитель может предложить учащимся одну из версий возникновения этих числительных, что явно сыграет положительную роль

вразвитии познавательного интереса учащихся. Особо следует сказать об употреблении термина «круглое» число. Данные числа выполняют особую роль и очень часто фигурируют в различных формулировках. Поэтому использование этого термина, на наш взгляд, целесообразно в силу его компактности в сочетании с реальной смысловой основой. Все другие названия существенно загромождают терминологию. Итак, под «круглым» числом мы понимаем целое число, запись которого заканчивается на 0. Существует такая точка зрения, что сам термин «круглое число» возник в связи с геометрической ассоциацией, которую вызывает цифра 0. Другое объяснение этого термина опирается на значение слова «круглый» в смысле слова «полный», то есть при образовании «круглого» числа разряд единиц заполняется «полностью» и происходит переход

вразряд десятков. Такие числа принято называть «круглыми» («полными») десятками. Если полностью заполняются разряд единиц и разряд десятков и происходит переход из разряда единиц в разряд десятков, а из разряда десятков

вразряд сотен, то такие числа называются «круглыми» («полными») сотнями и т. п.

Устная и письменная нумерация «некруглых» двузначных чисел строится на разрядном принципе с учетом представления данного числа в виде суммы «круглого» двузначного числа и однозначного числа. Такое представление позволяет конструировать называние двузначных чисел из названия «круглого» числа и названия однозначного числа.

Примечание. Названия двузначных чисел второго десятка мы рассматривали в курсе первого класса. Принцип устной нумерации этих чисел, состоящий в использовании схемы: название числа единиц – соединительный предлог «на» – модифицированное название десятка «дцать», не позволяют нам провести соответствующую аналогию для объяснения принципа

67

устной нумерации остальных двузначных чисел, так как их нумерация построена совсем по другому принципу. По этой причине мы рассматриваем этот вопрос без опоры на знание учащимися устной нумерации чисел второго десятка.

Впервом полугодии изучается новая разрядная единица – число 100. Другие трехзначные числа пока не рассматриваются. Введение числа 100 построено на идее счета десятками: 100 – это десять десятков. Запись числа 100 можно трактовать сначала как обозначение 10 десятков и 0 единиц, а потом как обозначение 1 сотни, 0 десятков и 0 единиц.

3.1.2.Изучение действий над числами

Впервом полугодии второго класса продолжается изучение действий сложения и вычитания (вычислительный аспект) [81]. Особое внимание, как это и заявлено в программе, уделяется способам и приемам устных вычислений. При этом последовательность изучения различных приемов строго определена, так как практически каждый новый прием вычисления опирается на ранее изученные. Особое внимание мы уделяем поразрядному способу сложения и вычитания. Такое пристальное внимание указанному способу объясняется не тем, что при выполнении устных вычислений этот способ наиболее удобен, а тем, что усвоение этого способа на данном этапе изучения действий создает очень хорошую базу для перехода к изучению алгоритмов письменного сложения и вычитания «столбиком», которое начнется во втором полугодии второго класса.

Впервом полугодии 2 класса начинается систематическое изучение действия умножения, которое вводится как сложение одинаковых слагаемых. Сначала учащимся предлагается освоить лишь распознавание и запись этого действия, а его результат они будут находить с помощью сложения. Обращаем внимание на достаточно раннее рассмотрение переместительного свойства умножения, что позволяет объяснить «разумность» правил умножения на 0 и на 1, а также упростить составление таблицы умножения. Отдельно вводятся случаи умножения на 0 и на 1. Составление таблицы умножения (основанное на определении умножения и на умении

68

учащихся выполнять сложение в пределах 100) завершается к концу первого полугодия, а в течение второго полугодия работа с таблицей будет продолжена, причем работа будет построена таким образом, чтобы в результате этой работы произошло запоминание всех табличных случаев умножения.

После рассмотрения первых четырех столбиков таблицы умножения мы предлагаем рассмотреть вопрос о порядке выполнения действий (для сложения и умножения). Более раннее рассмотрение этого вопроса нецелесообразно в силу недостаточно подготовленной операционной базы, а откладывание этой темы на более поздний срок существенно обедняет тот набор заданий, который мы можем предложить учащимся при изучении оставшихся случаев умножения.

3.1.3.Изучение геометрического материала

Впервом полугодии второго класса изучаются следующие геометрические понятия и их свойства: прямая (аспект бесконечности), луч, углы и их виды (прямой, острый, тупой), углы многоугольника, прямоугольник, квадрат, периметр многоугольника, периметр квадрата и прямоугольника [81].

Наиболее трудным, на наш взгляд, для усвоения учащимися является вопрос о бесконечности прямой. Это объясняется тем высоким уровнем абстракции, на котором должны оперировать учащиеся в своей мыслительной деятельности, чтобы правильно реализовывался процесс формирования этого понятия. Это первая встреча учащихся

с«бесконечностью», и от того, как она будет организована, во многом зависит успешность формирования аспекта бесконечности при изучении других геометрических и арифметических понятий (луч, плоскость, натуральный ряд чисел и т. д.) Мы предлагаем дать учащимся представление о бесконечности на основе идеи о бесконечности некоторого процесса (речь идет о так называемой «потенциальной бесконечности»). Таким «бесконечным» процессом является процесс «продолжения» прямой. Учащиеся без особого труда понимают, что теоретически этот процесс ничем не ограничен, а то ограничение, которое связано с существованием границы листа бумаги, носит лишь технический характер.

69

После введения понятия «прямая» следующим логическим шагом является переход к рассмотрению понятия «луч». Далее, опираясь на понятие «луч», мы можем ввести понятие «угол» и перейти к рассмотрению видов углов (острый, прямой и тупой углы). Изучая виды углов, мы естественным образом затрагиваем не только геометрический, но и величинный аспект. Особое внимание следует обратить на то, как предлагается ввести в рассмотрение понятие «прямой угол». Делается это остенсивным способом (через показ) с привлечением модели прямого угла (с этой целью используется чертежный угольник). После этого острый и тупой углы вводятся на основе сравнения с прямым углом. При этом совсем не лишним будет разговор с учащимися о смысле используемых терминов для видов углов (прямой, острый и тупой).

При изучении прямоугольника и квадрата следует обратить внимание учащихся на тот факт, что прямоугольник является частным случаем (видом) четырехугольника, а квадрат – частным случаем (видом) прямоугольника.

Величинную основу несет в себе и еще одно геометрическое понятие, изучение которого осуществляется в первом полугодии второго класса. Речь идет о понятии «периметр», в основе которого лежит сумма длин отрезков, с чем учащиеся знакомились еще в первом классе. По этой причине, когда мы говорим о периметре многоугольника как сумме длин всех его сторон, от учащихся требуется лишь усвоить новый термин, а сама суть этого понятия им, в принципе, хорошо знакома. Совсем другая ситуация складывается при рассмотрении вопросов о периметре прямоугольника и периметре квадрата. В этом случае мы делаем попытку неявно познакомить учащихся с новой для них операцией – умножением величины на натуральное число. Основой для такого подхода является рассуждение по аналогии. Учащиеся уже умеют заменять сумму одинаковых слагаемых (для чисел) соответствующим произведением. Когда они сталкиваются с суммой одинаковых величин (при рассмотрении периметра прямоугольника или периметра квадрата), то по аналогии они вполне могут заменить такую сумму произведением величины на число, что им и предлагается сделать. Никаких других объяснений, кроме опоры на аналогию, приводить не следует.

70