Обучение младших школьников математике по учебно-методическому комплекту «Перспективная начальная школа». Монография

фортность: последовательное проведение этого принципа в жизнь, которое обеспечивает усвоение каждым младшим школьником базового уровня знаний, создает психологически комфортную атмосферу успешности обучения, закладывает прочную основу дальнейшего развития);

д) принцип интеграции (этот принцип по разным основаниям выражает себя в свойстве психологической комфортности: во-первых, интегрированные предметные курсы отличаются большей образностью в силу их синтетической природы, и поэтому они более доступны детям, которые сами синтетически воспринимают мир; во-вторых, созданные в учебниках комплекта «целостные картины мира» гармонизируют восприятие мира младшими школьниками, сообщают им чувство устойчивости и законосообразности мира; в-третьих, решение в рамках каждого курса общепредметных задач, связанных с формированием сходных учебных действий, сходных приемов мышления – еще одна сфера реализации принципа интеграции – придает чувство уверенности младшему школьнику, способствует успешности учебного процесса).

Вучебниках свойство психологической комфортности реализуется с помощью большого количества иллюстраций, интересного «игрового» материала, материала для работы

вгруппах, материала для повторения, а также обширного справочного материала, позволяющего младшему школьнику удостовериться в правильности выполняемых действий.

4.Сочетание инструментальности подачи учебного материала с сохранением целостной картины мира.

Вэтом свойстве находят отражение принципы непрерывного развития каждого ребенка, прочности и интеграции:

а) принцип непрерывного развития каждого ребенка, связанный с формированием учебных и коммуникативных действий и операций, проявляется, с одной стороны,

винструментальной подаче учебного материала (поиск необходимой информации внутри учебника, соотнесение разных источников информации, выход за рамки учебника, работа с разными рубриками учебника и других

11

пособий курса, работа с пиктограммами и т. д.), с другой стороны – в сохранении единства той картины мира, которая выстраивается в учебнике;

б) в принципе прочности данное свойство выражается по-своему: только инструментальное освоение учебника является гарантией действительно прочных знаний; целостная картина мира должна быть не усвоена, но построена в результате собственных усилий школьника, осваивающего работу с книгой, – только в этом случае она будет обладать характеристикой устойчивости и будет им «присвоена»;

в) принцип интеграции также проявляется в виде данного свойства: во-первых, инструментальность является чертой, присущей всем учебникам комплекта, что находит отражение даже во внешнем оформлении (единая система условных обозначений, одни и те же сквозные герои, сходство некоторых рубрик); во-вторых, во всех учебниках комплекта действительно выстраивается некий целостный образ мира: в учебнике по окружающему миру – это предметно-природная среда, в которой живет младший школьник; в учебнике математики – это мир сенсорных эталонов, мир чисел и геометрических фигур; в учебнике по литературному чтению – это древний мир малых фольклорных жанров и кумулятивной сказки (сказки-цепочки) и т. д.; в учебниках по литературному чтению и по русскому языку целостность создаваемой картины мира подчеркивается и внешними средствами («путешествие в Волшебный лес», «путешествие в город с латинским названием “Текст”»).

В состав учебно-методического комплекта «Перспективная начальная школа» входят учебно-методические комплекты по всем основным образовательным областям, которые выделены в базисном учебном плане для начальной школы. Этими областями являются следующие образовательные области: «Словесность», «Математика», «Человек и окружающий мир». В настоящей работе мы, в основном, ведем речь о разработке учебно-методического комплекта по математике, хотя, как правило, все выводы и положения носят общий

12

характер и могут быть практически полностью отнесены к учебно-методическим комплектам по другим предметам.

При создании учебно-методического комплекта по данному предмету, в частности по математике, авторский коллектив призван осуществить интеграцию предметного содержания

иметодических подходов, сделав эти две составляющие комплекта максимально сбалансированными [5]. Как правило, каждый из авторов учебников является специалистом по одному из этих направлений, что автоматически приводит к необоснованному занижению роли другого направления: в учебнике материал подается либо на достаточно высоком уровне научности, но с потерей необходимого уровня доступности, либо доступно, но недостаточно научно. Найти «золотую середину» в этом вопросе насколько сложно, настолько

инеобходимо. С нашей точки зрения, наиболее удачно работа будет складываться в том случае, когда основной автор учебника является специалистом и в предметной области,

ив области методики ее преподавания. Необходимым условием такого сочетания является базовое образование в данной предметной области. Только лишь педагогическое образование и практика педагогической деятельности не позволяют видеть всех проблем предметно-научного характера, которые возникают при разработке соответствующего учебника. Если в авторском коллективе отдельно работает специалист-предметник и специалист-методист и между ними нет полной интеграции как на уровне идей, так

ина уровне их реализации, то в учебнике неминуемо будет проявляться дисбаланс по этим двум направлениям.

Вучебниках по математике [79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86]

исоответствующих методических пособиях для учителя из УМК «Перспективная начальная школа» в полной мере учтены те факторы, которые позволяют сбалансировать предметную и методическую составляющие учебника и методического пособия для учителя. Учебно-методический комплект по математике для четырехлетней начальной школы базируется на концептуальных положениях указанного проекта. В соответствии с примерной программой курса математики для четырехлетней начальной школы [45] в настоящем учебно-методическом комплекте на интегративной

13

основе реализуется развитие пяти основных содержательных линий: арифметической (изучение чисел и действий над ними), геометрической (изучение базовых геометрических понятий и их свойств), алгоритмической (обучение решению сюжетных арифметических задач), величиной (изучение основных положительных скалярных величин), информационной (работа с данными). Важно подчеркнуть, что все указанные содержательные линии имеют достаточно много «точек пересечения», а их развитие осуществляется одновременно с элементами периодического погружения в каждое из указанных направлений.

В состав разработанного учебно-методического комплекта входят и методические пособия для учителя [75, 76, 77, 78],

вкоторых даны методические рекомендации по работе с соответствующим учебником. Структура этих пособий такова, что учителю сначала предлагается познакомиться с общими методическими рекомендациями по развитию основных содержательных линий курса в данном учебном полугодии. При этом рассмотрение материала именно по учебным полугодиям продиктовано соответствующей структурой учебников: каждая часть учебника для данного класса рассчитана на работу в одном учебном полугодии. После этого учитель имеет возможность получить рекомендации по изучению интересующей его темы и по работе с каждым отдельным заданием, которое входит в систему заданий по изучению данной темы. Кроме этого, в методическое пособие включен фрагмент программы для данного класса, а также требования к учащимся, оканчивающим данный класс. Методические пособия к учебникам 2–4 классов содержат также примерные варианты письменных контрольных работ, которые планируется проводить в конце каждой учебной четверти.

Кроме учебника и методического пособия для учителя

всостав учебно-методического комплекта входят тетради для самостоятельной работы и материал для проведения мониторинга усвоения курса. Мы не будем подробно анализировать эти материалы, так как они полностью согласованы

сучебником и выполняют обслуживающую функцию. С точки зрения поставленной нами проблемы эти материалы ничего нового не дают.

14

ГЛАВА I.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА

1.1. Пояснительная записка к программе по математике для четырехлетней начальной школы

Программа курса разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса, задачи формирования у младшего школьника умения учиться.

Предлагаемый начальный курс математики имеет целью:

••математическое развитие младшего школьника: использование математических представлений для описания окружающей действительности в количественном и пространственном отношении; формирование способности к продолжительной умственной деятельности, основ логического мышления, пространственного воображения, математической речи и аргументации, способности различать верные и неверные высказывания, делать обоснованные выводы;

••освоение начальных математических знаний. Формирование умения решать учебные и практические задачи математическими средствами: вести поиск информации (фактов, сходства, различий, закономерностей, оснований для упорядочивания и классификации, вариантов); понимать значение величин и способов их измерения; использовать арифметические способы для разрешения сюжетных ситуаций (строить простейшие математические модели); работать с алгоритмами выполнения арифметических действий, решения задач, проведения простейших

15

построений. Проявлять математическую готовность к продолжению образования;

••воспитание критичности мышления, интереса к умственному труду, стремления использовать математические знания в повседневной жизни.

Таким образом, предлагаемый начальный курс математики

призван не только ввести ребенка в абстрактный мир математических понятий и их свойств, охватывающий весь материал, содержащийся в примерной программе по математике в рамках Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения, но и дать первоначальные навыки ориентации в той части реальной действительности, которая описывается (моделируется) с помощью этих понятий, а именно: окружающий мир как множество форм, как множество предметов, отличающихся величиной, которую можно выразить числом, как разнообразие классов конечных равночисленных множеств и т. п., а также предложить ребенку соответствующие способы познания окружающей действительности.

Основная дидактическая идея курса может быть выражена следующей формулой: «через рассмотрение частного к пониманию общего для решения частного». При этом ребенку предлагается постичь суть предмета через естественную связь математики с окружающим миром. Все это означает, что знакомство с тем или иным математическим понятием осуществляется при рассмотрении конкретной реальной или псевдореальной (учебной) ситуации, соответствующий анализ которой позволяет обратить внимание ученика на суть данного математического понятия. В свою очередь, такая акцентуация дает возможность добиться необходимого уровня обобщений без многочисленного рассмотрения частностей. Наконец, понимание общих закономерностей и знание общих приемов решения открывает ученику путь к выполнению данного конкретного задания даже в том случае, когда

стакого типа заданиями ему не приходилось еще сталкиваться. Логико-дидактической основой реализации первой части формулы является неполная индукция, которая в комплексе

сцеленаправленной и систематической работой по формированию у младших школьников таких приемов умственной

16

деятельности, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия и обобщение, приведет ученика к самостоятельному «открытию» изучаемого математического факта. Вторая же часть формулы носит дедуктивный характер и направлена на формирование у учащихся умения конкретизировать полученные знания и применять их к решению поставленных задач.

Отличительной чертой настоящего курса является значительное увеличение той роли, которую мы отводим изучению геометрического материала и изучению величин, что продиктовано той группой поставленных целей, в которых затрагивается связь математики с окружающим миром. Без усиления этих содержательных линий невозможно достичь указанных целей, так как ребенок воспринимает окружающий мир, прежде всего, как совокупность реальных предметов, имеющих форму и величину. Изучение же арифметического материала, оставаясь стержнем всего курса, осуществляется с возможным паритетом теоретической и прикладной составляющих, а в вычислительном плане особое внимание уделяется способам и технике устных вычислений.

Содержание всего курса можно представить как взаимосвязанное развитие пяти основных содержательных линий: арифметической, геометрической, величиной, алгоритмической (обучение решению задач) и информационной (работа с данными). Что же касается вопросов алгебраического характера, то они рассматриваются в других содержательных линиях, главным образом, арифметической и алгоритмической.

Арифметическая линия, прежде всего, представлена материалом по изучению чисел. Числа изучаются в такой последовательности: натуральные числа от 1 до 10 и число 0 (первое полугодие 1 класса), целые числа от 0 до 20 (второе полугодие 1 класса), целые числа от 0 до 100 и «круглые» числа до 1000 (2 класс), целые числа от 0 до 999 999 (3 класс), целые числа от 0 до 1 000 000 и дробные числа (4 класс). Знакомство с числами класса миллионов и класса миллиардов (4 класс) обусловлено, с одной стороны, потребностями курса «Окружающий мир», при изучении отдельных тем которого учащиеся оперируют такими числами, а с другой стороны,

17

желанием удовлетворить естественный познавательный интерес учащихся в области нумерации многозначных чисел. Числа от 1 до 5 и число 0 изучаются на количественной основе. Числа от 6 до 10 изучаются на аддитивной основе с опорой на число 5. Числа второго десятка и все остальные натуральные числа изучаются на основе принципов нумерации (письменной и устной) десятичной системы счисления. Дробные числа возникают сначала для записи натуральной доли некоторой величины. В дальнейшем дробь рассматривается как сумма соответствующих долей и на этой основе выполняется процедура сравнения дробей. Изучение чисел и их свойств представлено также заданиями на составление числовых последовательностей по заданному правилу и на распознавание (формулировку) правила, по которому составлена данная последовательность, представленная несколькими первыми ее членами.

Особенностью изучения арифметических действий в настоящем курсе является строгое следование математической сути этого понятия. Именно поэтому при введении любого арифметического действия (бинарной алгебраической операции) с самого начала рассматриваются не только компоненты этого действия, но и, в обязательном порядке, его результат. Если не введено правило, согласно которому по известным двум компонентам можно найти результат действия (хотя бы на конкретном примере), то само действие не определено. Без результата нет действия! По этой причине мы считаем некорректным рассматривать, например, сумму до рассмотрения сложения. Сумма указывает на намерение совершить действие – сложение, но если сложение еще не определено, то каким образом тогда трактовать сумму? В этом случае вопрос остается без ответа.

Арифметические действия над числами изучаются на следующей теоретической основе и в такой последовательности.

Сложение (систематическое изучение начинается с первого полугодия 1 класса) определяется на основе объединения непересекающихся множеств и сначала выполняется на множестве чисел от 0 до 5. В дальнейшем числовое множество, на котором выполняется сложение, расширяется, причем это расширение происходит с помощью сложения (при сложе-

18

нии уже известных учащимся чисел получается новое для них число). Далее изучаются свойства сложения, которые используются при проведении устных и письменных вычислений [74]. Сложение многозначных чисел базируется на знании таблицы сложения однозначных чисел и поразрядном способе сложения.

Вычитание (систематическое изучение начинается со второго полугодия 1 класса) изначально вводится на основе вычитания подмножества из множества, причем происходит это, когда учащиеся изучили числа в пределах первого десятка. Далее устанавливается связь между сложением и вычитанием, которая базируется на идее обратной операции. На основе этой связи выполняется вычитание с применением таблицы сложения, а потом осуществляется переход к рассмотрению случаев вычитания многозначных чисел, где основную роль играет поразрядный принцип вычитания, возможность которого базируется на соответствующих свойствах вычитания.

Умножение (систематическое изучение начинается со 2 класса) вводится как сложение одинаковых слагаемых. Сначала учащимся предлагается освоить лишь распознавание и запись этого действия, а его результат они будут находить с помощью сложения. Отдельно вводятся случаи умножения на 0 и на 1. В дальнейшем составляется таблица умножения однозначных чисел, с использованием которой

исоответствующих свойств умножения учащиеся научатся умножать многозначные числа.

Деление (первое знакомство во 2 классе на уровне предметных действий, а систематическое изучение, начиная с 3 класса) вводится как действие, результат которого позволяет ответить на вопрос: сколько раз одно число содержится в другом? Далее устанавливается связь деления и вычитания, а потом – деления

иумножения. Причем эта последняя связь будет играть основную роль при обучении учащихся выполнению действия деления. Что касается связи деления и вычитания, то ее рассмотрение обусловлено двумя причинами: 1) на первых этапах обучения делению дать удобный способ нахождения частного; 2) представить в полном объеме взаимосвязь арифметических действий I и II ступеней. В дальнейшем (в 4 классе) операция

19

деления будет рассматриваться как частный случай операции деления с остатком.

Геометрическая линия выстраивается следующим образом. В первом классе (на который выпадает самая большая содержательная нагрузка геометрического характера) изучаются следующие геометрические понятия: плоская геометрическая фигура (круг, треугольник, прямоугольник), прямая

икривая линии, точка, отрезок, дуга, направленный отрезок (дуга), пересекающиеся и непересекающиеся линии, ломаная линия, замкнутая и незамкнутая линии, внутренняя

ивнешняя области относительно границы, многоугольник, симметричные фигуры.

Во втором классе изучаются следующие понятия

иих свойства: прямая (аспект бесконечности), луч, угол

ивиды углов, прямоугольник, квадрат, периметр квадрата

ипрямоугольника, окружность и круг, центр, радиус, диаметр окружности (круга), а также рассматриваются вопросы построения окружности (круга) с помощью циркуля и использования циркуля для откладывания отрезка равного по длине данному отрезку.

Втретьем классе изучаются виды треугольников (прямоугольные, остроугольные и тупоугольные; разносторонние

иравнобедренные), равносторонний треугольник рассматривается как частный случай равнобедренного, вводится понятие высоты треугольника, решаются задачи на разрезание и составление фигур, на построение симметричных фигур, рассматривается куб и его изображение на плоскости. При этом рассмотрение куба обусловлено двумя причинами: во-первых, без знакомства с пространственными фигурами

вплане связи математики с окружающей действительностью будет потеряна важнейшая составляющая, во-вторых, изучение единиц объема, предусмотренное в четвертом классе, требует обязательного знакомства с кубом.

Вчетвертом классе геометрический материал сосредоточен, главным образом, вокруг вопроса о вычислении площади многоугольника на основе разбиения его на треугольники. В связи с этим вводится понятие диагонали прямоугольника, что позволяет разбить прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, а это, в свою очередь, дает воз-

20