Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Моделирование физических процессов методом молекулярной динамики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

884 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

3.1. Силы межмолекулярного взаимодействия

E = E =

2 i j

= f

)(a

)+ b

)),

(12)

(13)

где E – полная энергия исследуемого ансамбля атомов, которая для удобства делится на энергии связей Vij. Индексы i и j пробегают по всем атомам ансамбля, а rij – расстояние между атомами; fR(r) – парный потенциал сил отталкивания и fA(r) – парный потенциал сил притяжения. Парные потенциалы сил выбираются в виде экспоненциальных функций:

					f			(r)= A exp(− r),						(14)
						R						1		(14)
						R						1
				f			(r)= −B exp(− r),							(15)
					A							2		(15)
					A							2
			1,				r R − D,
									1
f		(r )=	1				−		1	sin			,	R − D r R + D,
f	C	(r )=					−			sin		(r − R)/ D	,	R − D r R + D,
	C			2					2
				2					2		2
								r R + D.
			0,					r R + D.
														(16)
														(16)

Дополнительно введенная функция fC(r) относится к сглаживающей функции “обрезания” потенциала для ограничения радиуса взаимодействия атомов, что важно во многих приложениях для сокращения вычислительных затрат.

Функции aij и bij являются мерой порядка связи и монотонно убывающими функциями координационных чисел атомов, создающих связь. Значение ослабления связи определяется там, где находятся соседние атомы и зависит от их углового положения.

Данная схема может использоваться для большего набора условий моделирования, чем потенциал Стиллинджера – Вебера.

3.1.6. Метод погруженного атома

В настоящее время широкое распространение получил метод погруженного атома (МПА, Embedded-atom Method (EAM)), который является многочастичным потенциалом, применяемым на практике для сокращения сложности и времени расчетов, а также часто позволяющем ограничивать количество соседних атомов с помощью так называемого

3. Межатомные потенциалы

«радиуса обрезания». Данный потенциал по сравнению с потенциалом Леннарда-Джонса имеет ряд особенностей.

Полная потенциальная энергия системы включает энергию погружения Uem и дополнительного парного потенциала Upair:

U = U em +U pair = Fi	( p j (rij	)) + Фij (rij ), (17)
i	i j	i i j

где p – эффективная электронная плотность вокруг каждого ядра j. При вычислении энергии погружения для каждого атома i находится суммарная

электронная плотность			p		(r	) , которая наводится всеми соседними
				j	ij
			i j
атомами j в точке	r	, после чего находится энергия					F ( p	j	(r	)) . Следова-
	i							j	ij
							i j

тельно, для расчета данного потенциала необходимо задание трех функций: электронной плотности, энергии погружения и парного потенциала.

В настоящее время для многих металлов и сплавов не существует других методов описания межатомного взаимодействия, дающих возможность добиться сравнимого уровня воспроизведения физических свойств. Данный метод позволяет проводить микроскопическое моделирование дефектов структуры для группы практически ценных металлических систем.

4. Основные моменты интегрирования уравнения движения во времени

4. ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВО ВРЕМЕНИ

Для качественной реализации метода МД следует осуществить выбор алгоритма численного интегрирования уравнений движения.

Алгоритмы интегрирования уравнения движения по времени базируются на конечно-разностных методах, в которых время дискретизируется на конечной разностной сетке. Шаг по времени ∆t является расстоянием между последовательными точками на сетке. Зная значения координат и несколько их производных по времени в момент времени t, схема интегрирования дает значение тех же величин в следующий момент времени t + ∆t. Повторяя данную процедуру, можно в течение длительного времени отслеживать эволюцию системы.

Несмотря на тот факт, что на первый взгляд скорость выполнения алгоритма интегрирования уравнения по времени относится к ключевым критериям, на самом деле данный параметр не играет важной роли при выборе, поскольку время, необходимое на выполнение самого алгоритма, мало по сравнению со временем расчета сил межчастичного взаимодействия.

Более важным критерием может быть точность при большом шаге по времени. Больший шаг по времени можно применять для того, чтобы меньше расчетов сил приходилось на единицу времени. Таким образом, больше достоинств дает применение уточненных схем, дающих возможность выбирать большие шаги по времени при интегрировании. Многие алгоритмы обеспечивают исполнение данного условия за счет сохранения в памяти компьютера данных о производных от координат более высоких порядков. Эти схемы имеют тенденцию к применению больших объемов памяти.

Еще одним важным фактором является сохранение энергии при интегрировании. Более сложные схемы зачастую хорошо сохраняют энергию на небольших интервалах времени, однако могут приводить к дрейфу энергии на больших интервалах времени.

Следует отметить, что алгоритмов, выполняющих точные расчеты всех траекторий частиц системы как на коротких, так и на длительных интервалах времени, не существует. Любая система, которая моделирует-

4. Основные моменты интегрирования уравнения движения во времени

ся методом МД, находится в таком состоянии, что фазовая траектория очень чувствительна к незначительным отклонениям в начальных условиях. Это говорит о том, что две траектории изначально очень близкие (но не одинаковые) будут со временем расходиться экспоненциально. Необходимо отметить, что целью расчета методом МД не является определение в точности того, что происходит с системой, расположенной в точно определенных начальных условиях. Наиболее существенным является статистический прогноз. Перспективным также является определение среднего поведения системы, о начальном состоянии которой что-то известно (например, полная энергия), но не все. По этому признаку метод МД значительно отличается, например, от численных схем для расчета траекторий полета спутников, которые требуют точного определения.

В настоящее время существуют два наиболее известных метода интегрирования для MД вычислений – алгоритм Верле и алгоритмы предик- тор-корректор.

4.1. Алгоритм Верле

Для того чтобы проследить эволюцию системы, следует выполнить интегрирование уравнений движения, т.е. на основе начальных данных (скоростей и координат частиц) получить их траектории в любой требуемый последующий момент времени. Существует большое количество различных методов интегрирования уравнений движения. Все они базируются на методе конечных разностей, где время меняется дискретно с некоторым шагом.

Одним из наиболее известных методов интегрирования уравнений движения считается алгоритм Верле.

Основная идея метода Верле заключается в записи разложения по-

ложения частиц

r (t + t)

и r (t − t) :

r (t + t)

1 2 r (t + t)

r (t + t) = r (t) +

t =0

t +

t =0

+ ...

t 2

(18)

... +

r (t + t)

t =0

t 3

+ O( t 4 ),

t 3

4.2. Алгоритм предиктор-корректор

																		2
						r (t + t)										1		2	r (t		+ t)
						r (t + t)										1			r (t		+ t)					2
	r (t − t) = rt −											t +													t	2	−...
	r (t − t) = rt −						t			t =0		t +				2			t		2	t =0			t		−...
										t =0											2	t =0					(19)


		1	3		+ t)
		1		r (t	+ t)

	...−							t	3	+ O( t				4	).
	...−	6		t	3		t =0	t		+ O( t					).
					3		t =0

Сложив выражения (18) и (19), можно получить следующее выра-
жение:
																				2			4				(20)
		r (t + t) = 2r (t) − r (t − t) + a(t) t																		2	+ O( t		4	),
		r (t + t) = 2r (t) − r (t − t) + a(t) t																			+ O( t			),
													2
													2	r (t)
														r (t)			), которое также можно по-
где a(t)	– ускорение частицы ( a(t) =												t		2		), которое также можно по-
													t

лучить из выражения:
						( ) = −					( ( ( ))								.								(21)
						( ) = −													.								(21)

Выражение (20) является базовым уравнением алгоритма Верле. Данный алгоритм довольно легко использовать при моделировании. Он демонстрирует достаточную точность и стабильность, из-за чего находит широкое применение при проведении расчетов методом МД.

Помимо приведенной выше версии алгоритма Верле, имеется также скоростной алгоритм Верле, где положения, скорости и ускорения определяются с помощью следующих выражений:


r (t + t) = r (t) + v(t) t +

1
2	a(t
2

a(t)

	2				t			1
) t	2		, v(t +			) = v(t) +		a(t) t,
) t			, v(t +		2	) = v(t) +		a(t) t,
					2			2

= −		grad(U (r (t))					,
= −				m			,
				m

(22)

	t	1
v(t + t) = v(t +	2 ) +		a(t + t) t,
		2

Достоинством данной формы алгоритма Верле по сравнению с предыдущей является то, что нет необходимости применять другой алгоритм для получения нескольких первых точек координат.

4.2. Алгоритм предиктор-корректор

Алгоритм предиктор-корректор является другим наиболее часто применяемым классом методов интегрирования уравнения движения [2]. Алгоритм предиктор-корректор включает три основных шага:

4. Основные моменты интегрирования уравнения движения во времени

1.На базе координат атомов и их производных по времени до некоторого порядка в момент времени t возможно спрогнозировать значения тех же самых величин (например, ускорение) в следующий момент времени t + ∆t путем разложения соответствующей функции в ряд Тейлора.

2.Определение силы путем расчета градиента потенциала в прогнозируемых позициях. Результирующее значение ускорения будет отличаться от прогнозируемого, а разница между ними составляет ошибку.

3.Применение сигнала ошибки для корректировки координат и их производных.

4.3. Определение простых статистических величин

Определение параметров состояния материалов в молекулярной динамике сводится к процедуре усреднения по времени соответствующих физических свойств на траекториях частиц ансамбля. Так можно определить мгновенное значение некоторого физического свойства в момент времени t как функцию координат и скоростей частиц:

A(t) = f (r (t)...	,r	(t),v (t)...	,v	(t)),
1	N	1	N

после чего получить его среднее значение:

	1		N	T

A =	N		A(t),
		T	t =1

(23)

(24)

где t – индекс, проходящий по всем шагам по времени.

На практике величина A(t) рассчитывается на каждом шаге по вре-

мени программой, при этом сумма

A(t) t

также обновляется на каждом

шаге. В конце расчета среднее значение определяется сразу делением на число шагов.

Существует и другой метод расчета среднего значения. По ходу выполнения программы, координаты частицы и скорости периодически сохраняются в файле траектории. Затем вслед за программой моделирования запускается другая программа, которая обрабатывает траекторию и определяет требуемые величины. Данный подход требует определенных условий в плане необходимого дискового пространства.

4.3. Определение простых статистических величин

Средняя потенциальная энергия ансамбля атомов V получается усреднением ее мгновенных значений, которые зачастую определяются непосредственно при нахождении потенциала. Например, для двухчастичного взаимодейтсвия:

V (t) =	1		( r (t) − r			(t) .
V (t) =			( r (t) − r			(t) .
	N			i	j
	N	T	i	j 0
		T

(25)

Знание потенциальной энергии V требуется для сохранения полной энергии системы. Мгновенная кинетическая энергия определяется следующим образом:

( ) =	1	∑	[2	( )] .	(26)

	2

Полная энергия представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии. Обычно ее рассчитывают на каждом шаге для проверки того, остается ли она постоянной во времени. При моделировании методом молекулярной динамики возможно колебание кинетической и потенциальной энергии, однако их сумма будет постоянной.

На практике зачастую могут появиться небольшие колебания полной энергии, которые связаны с ошибками интегрирования по времени и могут быть уменьшены благодаря понижению шага интегрирования.Оценка температуры системы может быть получена из средней величины кинетической энергии:

K= 3 N kB T , 2

(27)

где N – число атомов, kB – постоянная Стефана ‒ Больцмана, T – температура.

Если полная энергия системы и температура получены в разных запусках, то можно получить тепловую кривую, которая способна служить важным инструментом для анализа появления фазовых переходов. При фазовых переходах может возникнуть скачок величины полной энергии.

Например, при плавлении, когда система переходит из кристаллического состояния в жидкое, наблюдается скачок внутренней энергии, который соответствует скрытой теплоте плавления.

4. Основные моменты интегрирования уравнения движения во времени

4.4. Функция радиального распределения атомов

Одной из характеристик атомной структуры является функция радиального распределения атомов. Значения данной функции определяют плотность вероятности обнаружения атома на расстоянии R от выбранного атома. Эта функция описывает корреляцию в расположении частиц газа, жидкости или твердого тела и находится по формуле:

g(r) =	V	dn		,
		2	dR

	N 4 R

(28)

где V – объем рассматриваемой системы; N – количество атомов в объеме; dn – количество атомов в сфере радиуса R и толщиной dR.

5.Компьютерное моделирование физических процессов методом…

5.КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

Для превращения вышеописанных уравнений в работающую программу моделирования, необходимо представить ее в виде алгоритмов, реализованных на каком-либо языке программирования.

Моделирование системы методом молекулярной динамики осуществляется в несколько этапов:

1.генерация начальной конфигурации системы;

2.приведение системы к термодинамическому равновесию;

3.моделирование равновесной системы и запись траекторий атомов

вфайл;

4.обработка имеющихся траекторий движения для получения исследуемых статистических, структурных и динамических величин.

Расчеты простых систем методом молекулярного моделирования могут осуществляться вручную, однако в силу огромного объема вычислений при исследовании систем применяются компьютерные методы расчета и визуализации, получившие название компьютерного молекулярно-

го моделирования (англ. computer-assisting molecular modeling, CAMM).

Кобщей черте методов молекулярного моделирования относят атомистический уровень описания молекулярных систем.

Для написания собственной программы молекулярной динамики можно использовать среды разработки программного обеспечения на разных языках программирования (Python, С++ и другие) [14].

Выделяют также популярные программы для молекулярного моделирования, к которым относят:

1.Программный комплекс AMBER (Assisted Model Building with Energy Refinement) включает ряд силовых полей для моделирования макромолекулярных структур (белки, нуклеиновые кислоты и другие) и пакет программ квантовой и молекулярной механики. Данный пакет представлен в открытом доступе.

2.Пакет программ CHARMM (Chemistry at HARvard Macromolecular Mechanics) используется для молекулярного моделирования от небольших молекул до биологических макромолекул. CHARMM также находит ши-

5. Компьютерное моделирование физических процессов методом…

рокое применение для неорганических материалов. CHARMM содержит полный набор инструментов для анализа и построения моделей.

3.Пакет DL_POLY применяется для моделирования молекулярной динамики сложных систем. Возможны параллельные расчеты с количеством атомов до миллиона с применением 1024 процессоров. Пакет представлен в открытом доступе для образовательных и исследовательских задач.

4.Пакет программ GROMACS применяется для быстрого моделирования динамики крупных молекулярных систем (от тысяч до миллионов частиц). Используется в основном для моделирования биомолекул (белки и липиды), которые имеют большое число связанных взаимодействий между атомами. Пакет представлен в свободном доступе и работает в среде Linux. GROMACS обеспечивает очень высокую производительность.

5.Некоммерческий пакет LAMMPS (Large scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator) применяет методы классической молекулярной динамики для моделирования и расчета полимеров, биомолекул, твердых веществ (металлов, полупроводников и так далее), а также крупнозернистых систем в атомном, мезоскопическом и континуальном масштабах.

6.Пакет программ MOE (Molecular Operating Environment) исполь-

зуется для моделирования молекул, в частности больших биомолекул. Методы молекулярной динамики созданы в нем на базе различных полей.

7.Программа NAMD используется для расчетов в области интерактивной молекулярной динамики, в особенности для моделирования больших биомолекулярных систем, для которых необходимы значительные ресурсы. NAMD использует популярную программу молекулярной графики VMD для настройки моделирования и анализа траектории, но также поддерживает файлы AMBER, CHARMM и X-PLOR. Данная программа представлена в свободном доступе.

8.Пакет программ HyperChem использует квантово-химичес-кие методы расчета и полуэмпирические методы, а также молекулярную механику

идинамику. Программа распространяется на коммерческой основе.

9.Пакет программ GAMESS представляет собой некоммерческий квантово-химический пакет для расчета молекулярных волновых функций. К основным возможностям данного пакета программ относят учет энергии электронной корреляции на основе теории возмущений, конфи-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]