Механизм оптимизации и внедрения управленческих решений в организации. Учебное пособие

Данная задача решается методом динамического программирования. Введем следующие обозначения:

f1(х) – прибыль от I варианта, если в него инвестировано х д. е.; f2(х); – прибыль от II варианта, если в него инвестировано х д. е.; f3(х) – прибыль от III варианта, если в него инвестировано х д. е.; f4(х) – прибыль от IV варианта, если в него инвестировано х д. е.; F12(А) – прибыль от оптимального вложения А д. е. в любые 2 ва-

рианта;

F123(А) – прибыль от оптимального вложения А д. е. в любые 3 варианта;

F1234(А) – прибыль от оптимального вложения А д. е. в любые 4 варианта.

Математически доказано, что имеют место следующие соотношения:

F12(А) = mах (f1(х) + f2(х)); F123(А) = mах (F12(х) + f3(х)); F1234(А) = mах (F12З(х) + f4(х)).

Процесс решения представлен в табл. 22-24.

71

Решение задачи оформляется в таблице следующего вида (табл. 25).

2.9. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Транспортная задача относится к задачам линейного программирования.

Транспортировка товаров часто связана с такими негативными явлениями, как простои, встречные, нерациональные перевозки. Для их исключения предлагается использовать методы оптимального планирования перевозок, а именно такую экономико-математическую модель, как транспортная задача.

В общем виде задачу данного вида, можно представить следующим образом: в n пунктах производства (хранения) А1, А2, … Аn имеется некоторый продукт в количестве соответственно а1, а2, …, аn. Данный продукт необходимо доставить в m пунктов назначения В1, В2, …, Вm, в количестве, соответственно b1, b2, …, bm. Стоимость перевозки 1 единицы продукта из пункта Аi в пункт Вj равна сij д. е. Необходимо составить такой план перевозок, чтобы при минимальных затратах всю продукцию поставщиков доставить потребителям, удовлетворив при этом их потребность в данном продукте.

Если возможности поставщиков равны суммарному спросу потребителей, т.е. Σаn = Σbm, то мы имеем дело с транспортной задачей

73

закрытого типа. Если данные условия не выполняются, то данная транспортная задача является задачей открытого типа.

Методику решения транспортной задачи рассмотрим на следующем примере.

Предположим, что три поставщика некоторого товара располагают следующими запасами:

–первый – 1200 единиц;

–второй – 1000 единиц;

–третий – 800 единиц.

Товар необходимо перевезти трем потребителям, спрос которых составляет:

–первого – 900 единиц;

–второго – 900 единиц;

–третьего – 1200 единиц.

Известны затраты (cij) на перевозку единицы товара от конкретного поставщика к конкретному потребителю:

Стоимость перевозки товара от поставщика 1: к потребителю 1 –

74

где xij – количество товара, планируемого к перевозке от поставщика i к потребителю j.

Условия транспортной задачи запишем в виде таблицы перевозок (табл. 26).

Математическая постановка данной задачи имеет следующий вид: найти оптимальный план перевозок продукции, который бы обеспечил минимум целевой функции

F(Х)=70х11+60х12+40х13+30х21+80х22+50х23+20х31+30х32+70х33 →min

при ограничениях

х11+х12+х13=1200 х21+х22+х23=1000

х31+х32+х33=800 х11+х21+х31=900 х11+х22+х32=900

х13+х23+х33=1200

xij≥0, i=1,̅3̅;̅j=1,̅3̅.̅

В таблице числа 70, 60, 40, 30 и т.д. показывают стоимость перевозки одной единицы продукта от поставщика i к потребителю j.

Решение транспортной задачи начинается с составления первоначального опорного плана и последующего его улучшения.

Существует два метода построения опорного плана:

1)метод «северо-западного» угла;

2)метод наименьших затрат.

Рассмотрим их более подробно. В соответствии с первым методом начинают заполнять таблицу с ячейки (1.1), т.е. с северо-

75

западного угла таблицы, последовательно спускаясь вниз до клетки (3.3). В результате получается таблица следующего вида (табл. 27).

Найдем стоимость перевозок при данном опорном плане.

F(Х) = 900·70+300·60+600·80+400·50+800·70 = = 63000+18000+48000+20000+56000 = 205 000 д. е.

Теперь найдем опорный план с помощью метода наименьших затрат. В исходной таблице (см. табл. 26) выбираем ячейку (3.1), имеющую минимальную стоимость перевозки. Производим поставку в

данную клетку 800 единиц продукции (табл. 28).

Таблица 28

Так как у третьего поставщика в наличии всего 800 единиц продукции, а первому потребителю требуется 900 единиц, необходимо доставить ему еще 100 единиц, которые можно отправить или от первого поставщика, или от второго. Сравниваем затраты на поставку от этих поставщиков к первому потребителю и выбираем тот вариант, где они меньше, т.е. производим поставку 100 единиц от поставщика 2 (30 д. е./ед.). После того как второй поставщик отгрузил 100 единиц, у него останется 900 единиц продукции, которые он может отправить или

76

потребителю 2 или потребителю 3. Так как затраты на поставку товара третьему потребителю меньше, чем второму, производим поставку в клетку (2.3). Алгоритм заполнения таблицы повторяется и продолжается до тех пор, пока вся продукция не будет вывезена от поставщиков, а потребности потребителей не будут удовлетворены.

Следующим этапом решения задачи, независимо от того, каким методом был составлен опорный план, является последовательное его улучшение до получения оптимального плана.

Рассмотрим пример на основе опорного плана наименьших затрат. Чтобы определить, является ли данный план оптимальным, необ-

ходимо его подвергнуть соответствующей проверке.

Для этого вводим понятие потенциала. Под потенциалом понимают числа Ui и Vj, которые удовлетворяют следующим условиям:

Vj-Ui ≤ cij (i=1… m; j=1… n);

Vj-Ui = cij для каждой клетки, которая содержит перевозку.

Если план удовлетворяет данным условиям, то он является потенциальным.

Каждому поставщику товаров поставим в соответствие потенциалы U1, U2, U3 и запишем их в дополнительном столбце таблицы (табл. 29), а каждому потребителю – потенциалы V1, V2, V3, которые запишем в дополнительной строке. Один из потенциалов, например U1, приравниваем к нулю и рассчитываем остальные значения Ui и Vj, при этом сократим стоимость перевозок в 10 раз для облегчения расчётов без снижения их точности.

Введем эти данные в таблицу (см. табл. 29).

77

Т.е. мы построили систему Ui Vj для первоначального плана. Исследуем данную систему Ui Vj на потенциальность. Для свободных от перевозок клеток считаем Vj-Ui ≤ cij. На основании расчета видим, что данное условие для клетки (3.2) не выполняется, значит оптимальности нет. Поэтому переходим к общему шагу улучшения плана.

Выберем из таблицы клетку (i0.j0), для которой разница Vj - Ui - cij>0 будет наибольшей. В нашем примере это клетка (3.2). В теории доказывается, что данная клетка (i0.j0) образует с другими клетками таблицы единственный цикл. Принцип построения цикла заключается в следующем. Его (цикл) изображают в виде замкнутой ломаной линии. В цикле любая (занятая) клетка является угловой, в которой происходит поворот звена ломаной линии на 90о. Простейшие циклы могут иметь следующий вид (рис. 12).

Рис. 12. Виды простейших циклов транспортной задачи

Строим цикл. Берем (i0.j0), затем в строке i0 находим элемент, который вошел в план (i0.j0+1), затем в столбце j0+1 находим другой элемент, который вошел в план, и т.д. В нашем примере в цикл войдут элементы (3.2)→(3.1)→(2.1)→(2.3)→(1.3)→(1.2). Обходим этот цикл и, начиная с (i0.j0), отмечаем клетки попеременно знаками «+» и «–» (первая клетка (i0.j0) – знаком «+»). Рассматриваем клетки со знаком

78

«–» и выбираем наименьшее число Q (перевозок). В нашем примере это клетка (3.1), где объём перевозок Q = 800. Далее улучшаем план перевозок следующим образом. Элементы (перевозки) xij со знаком «- » уменьшаем на величину Q, элементы со знаком «+» увеличиваем на величину Q, остальные элементы таблицы оставляем без изменений. Таким образом, в новом плане будут следующие числа:

xij– Q, если клетка имеет знак «–» xij xij+Q, если клетка имеет знак «+» xij, если клетка не входит в цепь

В нашем примере измененный план будет следующим (табл. 30).

Таблица 30

Таким образом, получаем новый план перевозок, при котором стоимость перевозок составит

F(Х) = 900·30+100·60+800·30+1100·40+100·50 = = 27000+6000+24000+44000+5000 = 106 000 д. е.

Применив к нему рассмотренную выше методику, можно убедиться, что данный план является оптимальным.

В рассмотренном примере возможности поставщиков равны суммарному спросу потребителей. Данная задача относится к задачам закрытого типа.

Для решения задач открытого типа, когда данное равенство не выполняется, их (задачи) приводят к закрытому виду путем введения фиктивного поставщика или фиктивного потребителя, после чего задача решается по вышеописанной методике.

79

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие основные этапы включает процедура принятия управленческого решения с использованием экспертных оценок?

2.Какие методы оценки используют для отбора кандидатов в эксперты?

3.В чем заключается метод коллективной оценки при отборе кандидатов в эксперты?

4.Как выбирается коллективная оценка экспертов?

5.Как нормируются оценки экспертов?

6.Как осуществляется экспертная оценка инвестиционных рисков?

7.Что представляет собой матрица игры?

8.Как найти чистую стратегию в теории игр?

9.Как определить оптимальные действия участников с использованием теории игр и смешанной стратегии?

10.Какие используют критерии при принятии решения в условиях неопределенности?

11.Как определить вероятность успеха или неудачи фирмы с использованием цепей Маркова?

12.Как определить ожидаемый доход фирмы с использованием цепей Маркова?

13.В чем заключается цель экономической задачи теории массового обслуживания?

14.Каким условиям должен удовлетворять поток входящих требований и продолжительность обслуживания в задачах?

15.Основные расчетные формулы в задачах ТМО.

16.В чем заключаются основные преимущества методов сетевого планирования и управления?

17.Что входит в состав СПУ?

18.Какие элементы входят в состав сетевых графиков?

19.Основные требования при построении сетевого графика.

20.Основные параметры сетевого графика.

21.Четырехсекторный способ расчета параметров сетевого графика.

80