Механизм оптимизации и внедрения управленческих решений в организации. Учебное пособие

рыш первого игрока при выборе им i-той стратегии (строки) и проигрыш второго игрока при выборе им j-той стратегии (столбца).

Рис. 2. Матрица игры

Все стратегии делятся на два вида – чистые и смешанные.

Поиск чистой стратегии осуществляется по следующему правилу. Для первого игрока в каждой строке находится минимальный элемент и записывается справа от таблицы. На втором этапе опреде-

ляется максимальное из этих значений, т.е. maximin aij .

Стратегия второго игрока также определяется в два этапа. На первом этапе в каждом столбце определяется максимальный проигрыш и записывается под таблицей. На втором этапе определяется минимальное из этих значений, т.е. minimax aij.

Если maximin aij = minimax aij, то мы имеем дело с чистой стратегией, и значение игры в данном случае определяется пересечением соответствующей строки и соответствующего столбца.

Решение любой задачи с применением теории игр начинается с проверки наличия чистой стратегии.

Пример 1. Найдем стратегию игроков и значение игры q при следующих исходных данных:

Проведем проверку на наличие чистой стратегии, по алгоритму, описанному выше.

41

Решая приведенные системы уравнений, получим стратегии:

Значение игры q = 11 1 .

9

Принцип решения задач со смешанной стратегией для матрицы игры «m×2» рассмотрим на следующем условном примере.

Пример 3. Допустим, в супермаркете имеется два зала: А и Б. Их охраняют два охранника в штатском, которые могут находиться в А или Б, или в телевизионной комнате Т. Таким образом имеется шесть вариантов расположения охранников: ТТ, АА, ВВ, ТА, ТВ, АВ. И требуется выбрать оптимальный вариант местонахождения охранников, при котором они с наибольшей вероятностью смогут предотвратить возможную кражу. Данную задачу будем решать с применением теории игр.

43

Допустим, на основе статистики и опыта разработали таблицу вероятностей поимки потенциального вора в зависимости от расположения охранников (рис. 3).

Рис. 3. Матрица вероятности поимки вора

Легко убедиться, что в данной ситуации мы имеем дело не с чистой, а со смешанной стратегией, поскольку maximin aij = 0,58, а minimax aij = 0,64.

Для решения задачи предположим, что с вероятностью x1 оба охранника находились в ТТ, с х2 – в АА, х3 – ВВ, х4 – ТА, х5 – ТВ,

х6 – АВ.

Тогда для них справедлива следующая система уравнений:

х1 + х2 + х3 + х4 + х5 + х6 = 1.

Если вор в зале А, то вероятность его поимки

0,51x1 + 0,64x2 + 0,19x3 + 0,58x4 + 0,37x5 + 0,46x6 = q.

Если вор в комнате Б, то вероятность его поимки

0,75x1 + 0,36x2 + 0,91x3 + 0,60x4 + 0,85x5 + 0,76x6 = q.

Аналогичную систему уравнений составляем для вора. Предположим, что с вероятностью y1, вор находится в А, а с ве-

роятностью y2 в Б. В этом случае система уравнений запишется следующим образом:

у1+у2 = 1;

0,51y1 + 0,75y2 = q; 0,64y1 + 0,36y2 = q; 0,19y1 + 0,91y2 = q; 0,58y1 + 0,6y2 = q;

44

0,37y1 + 0,85y2 = q;

0,46y1 + 0,76y2 = q.

Решим это уравнение графическим методом (рис. 4). Выразим у2 = 1-у1 и подставим в систему уравнений для вора. После преобразований получим шесть уравнений:

q = 0,75 – 0,24 y1 (1); q = 0,36 + 0,28y1 (2); q = 0,91 – 0,72 y1 (3); q = 0,60 – 0,02 y1 (4); q = 0,85 – 0,48 y1 (5); q = 0,76 – 0,30 y1 (6).

Если перенести данные уравнения в систему координат, то получим, что самая нижняя точка, которая находится выше пересечения всех прямых, образована пересечением линий (2) и (4). Она называется седловой точкой и определяет искомое значение игры q. Для ее поиска приравняем уравнения 2 и 4: 0,36+0,28y1 = 0,60-0,02y1. Их решение дает y1 = 0,8; y2 = 0,2, а значение игры q = 0,584.

Рис. 4. Графическое решение задачи

45

Для определения стратегии охранников сошлёмся без доказательства на одно из основных положений теории игр для двух участников, в соответствии с которым в уравнениях для охранников все Хi (кроме Х2 и Х4 их номера совпадают с номерами линий, которые пересеклись) будут равны нулю. Таким образом, для выбора стратегии поведения охранников необходимо решить следующую систему уравнений:

х2 + х4 = 1; 0,64x2+0,58x4 = q;

0,36x2+0,60x4 = q.

В результате получим x2 = 1/15; x4 = 4/15.

Таким образом, оптимальная стратегия для охранников следующая: в течение смены оба охранника должны провести 1/15 общего времени в зале А, а 14/15 времени один охранник в зале А, а другой в телевизионной комнате, и тогда с вероятностью q = 0, 584 (58,4 %) они обнаружат вора.

2.4.ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР

ВИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЯХ (ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ)

Любое экономическое решение связано с фактором неопределенности и повышенного риска. Неопределенность – это отсутствие необходимой и достоверной информации. Риск – это вероятные потери инвестора в условиях неопределенности. Для принятия решений в данных ситуациях можно воспользоваться методами теории игр, суть которых рассмотрим на следующем примере. Допустим, решили построить гостиницу, но неизвестно, на сколько номеров: 20, 30, 40, 50.

Для решения данной задачи выполняются следующие действия. По аналогии с другими гостиницами составляется смета затрат ожидаемых доходов и убытков по вариантам (табл. 14), а также таблица ежегодных доходов и убытков от количества построенных номеров S и ожидаемого количества занятых номеров R (табл. 15).

46

Таблица 14

Смета затрат

Для принятия решения возможны две ситуации.

Первая ситуация. Инвестору по аналогии с другими гостиницами известна вероятность того, сколько номеров будет занято в течение года.

Определим математическое ожидание дохода от количества занятых комнат по следующей формуле:

М = Σpi·di, (12)

где pi – вероятность наступления i-того события; di – доход при i-том варианте.

М [30] = 305,22;

М [40] = 330,675;

М [50] = 301,12.

47

Таким образом, при данных условиях нужно построить гостиницу на 40 номеров.

Вторая ситуация. Инвестору неизвестна данная вероятность. В этом случае в теории игр рекомендуется ряд критериев, каждый из которых рассчитан на экономические возможности инвестора и его оптимизм.

1. Критерий Лапласа.

Данный критерий основан на принципе недостаточного обоснования. Лаплас говорил: «Если я ничего не знаю о будущих состояниях природы, то я могу считать их равновероятными», т.е. в нашем примере вероятность всех событий р = 1/6. Находим математическое ожидание дохода:

М[20] = 153,5;

М[30] = 197,25;

М[40] = 210,5;

М[50] = 193,5.

Выбираем максимальное значение ожидаемого дохода = 210,5 условных денежных единиц (у. д. е.), которое достигается при строительстве гостиницы на 40 номеров.

2. Критерий Вальда.

Данный критерий основан на принципе максимальной осторожности. Его также называют критерием пессимиста: если вдруг постигнет неудача, то при каком варианте будет самый хороший итог?

Таблица 16

Нахождение оптимального решения с помощью критерия Вальда

48

По данному критерию в каждой строке выбирают минимальную величину и записывают справа от таблицы. Затем из них выбирают максимальное значение, т.е. maximin аij. В нашем примере maximin аij = -121, что соответствует S = 20 (табл. 16).

3. Критерий Сэвиджа.

Данный критерий основан на нахождении минимального риска. На основании исходной матрицы составляется новая матрица, по которой и будет приниматься решение. Алгоритм составления матрицы следующий: в каждом столбце исходной матрицы берется максимальное значение и вычитается из остальных элементов столбца (табл. 17). После составления новой матрицы в каждой строке выбирается минимальный элемент и записывается справа от таблицы. Максимальное значение из выбранных элементов и определит решение задачи. В нашем примере S = 40.

Таблица 17

Нахождение оптимального решения с помощью критерия Сэвиджа

4. Критерий Гурвица.

Согласно данному критерию, вводится некоторый коэффициент надёжности или оптимизма α и рассчитывается величина Н:

Величина α определяется исходя из финансовых возможностей инвестора и его оптимизма в реализации проекта.

Внашем примере заполняется следующая таблица (табл. 18) и на

ееоснове принимается решение о количестве номеров в гостинице.

49

Таблица 18

Нахождение оптимального решения с помощью критерия Гурвица

5. Критерий с учётом субъективных оценок.

При данном методе инвестор задаёт три оценки: α, β и γ. α – субъективная вероятность получить плохие результаты, β – субъективная вероятность получить средние результаты, γ – субъективная вероятность получить хорошие результаты.

Допустим, инвестор, оценивая ситуацию, ожидает:

α = 0,1; β = 0,7; γ = 0,2.

Что считать хорошим, средним и плохим результатом? Существуют две точки зрения.

При первой за хороший вариант принимается правый столбец, за плохой – левый, остальные – средние результаты.

Далее аналогично:

4

М[40] = 250,2 ;

М[50] = 238,8 .

Выбираем максимальное значение ожидаемого дохода 250,2 у. д. е., которое достигается при строительстве гостиницы на 40 номеров.

При второй точке зрения, плохим считается левый столбец, хорошими считаются столбцы, дающие 100 % доход, а остальные – промежуточными.

М[20] = 0,1× (-121) + 62 × 0,7 + 245 × 4 × 0,2 = 80,3 ; 4

М[30]= 133,2 ;

М[40]= 186,1;

М[50]= 239 .

50