Механизм оптимизации и внедрения управленческих решений в организации. Учебное пособие
.pdfВыбираем максимальное значение ожидаемого дохода 239 у. д. е., которое достигается при строительстве гостиницы на 50 номеров.
2.5. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
Рассмотрим данную теорию на следующем примере. Предположим, что небольшое предприятие производит и продает продукцию нескольких разновидностей, причём каждую неделю только один вид товара. Если в течение недели данный вид продукции реализовался успешно, то руководство предприятия принимает решение продолжать производство и следующую неделю. Если же в течение недели данный вид продукции не имел успеха у покупателей, то руководство предприятия принимает решение о выпуске нового вида товара. Получается, что горизонт планирования охватывает одну неделю, а решение о выпуске того или иного вида продукции принимается накануне понедельника. Необходимо ответить на два вопроса:
1.Какая ожидается вероятность средненедельного успеха / неудачи на много недель вперёд?
2.Какой ожидается еженедельный доход в перспективе?
Для ответа на поставленные вопросы используют статистическую информация и теорию цепей Маркова.
Введем следующее обозначения: Е1 – состояние успеха; Е2 – состояние неудачи.
Возможны 4 следующие ситуации при переходе от недели S к не-
деле (S+1):
Е1→Е1; Е1→Е2; Е2→Е1; Е2→Е2.
Допустим, что на основе статистических наблюдений будем иметь следующее распределение вероятностей при переходе от одной недели к следующей:
Е1→ Е1 |
Е1→ Е2 |
Е2 → Е1 |
Е2→ Е2 |
р11 = 0,5 |
р12 = 0,5 |
р21 = 0,7 |
р22 = 0,3. |
51
Можем записать данные вероятности в компактной форме в виде матрицы перехода:
G(τ ) = |
р11 р12 |
= |
0,5;0,5 |
. |
|||
р |
21 |
р |
2 2 |
0,7;0,3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Марковым было доказано, что вероятность успеха или неудачи на каждую последующую неделю можно определить по следующей формуле:
P(St ) = P(St −1 )× Г(τ ) . |
(14) |
Допустим, что на нулевой неделе (S0) был успех, то есть Е1, тогда на первой неделе (S1) вероятность успеха и неудачи будет
S1: р1 = (0,5;0,5).
На второй неделе
S2 |
: p2 |
= (0,5;0,5) × |
0,5;0,5 |
= (0,5 × 0,5 + 0,5 × 0,7;0,5 × 0,5 + 0,5 × 0,3) = (0,6;0,4) . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,7;0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
На третьей неделе S3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
S3 |
: p3 |
= (0,6;0,4) × |
|
|
|
0,5;0,5 |
|
|
= (0,58;0,42) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,7;0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 |
|
|
|||
|
|
Если время устремить к ∞, то в перспективе получим pn |
= |
|
|
; |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
||||
|
|
Допустим, что на нулевой неделе (S0) была неудача, то есть Е2, |
||||||||||||||||||||||
тогда на первой неделе (S1) вероятность успеха и неудачи будет |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1: р1=(0,7;0,3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На второй неделе S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
S2 |
: p2 |
= (0,7;0,3) × |
|
0,5;0,5 |
|
= (0,56;0,44) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,7;0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
На третьей неделе S3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
S |
3 |
: p |
= (0,56;0,44) × |
|
0,5;0,5 |
|
= (0,588;0,412) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0,7;0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
52
|
|
|
7 |
5 |
|
|
При увеличении n в перспективе получим |
pn |
= |
|
; |
|
. |
|
|
|||||
|
|
12 |
12 |
|
||
Таким образом, независимо от исходной ситуации, приходим в некоторое состояние равновесия, и в условиях нормально функционирующей экономики такая ситуация будет характерна как для отдельного предприятия, так и для государства в целом.
Чтобы оценить ожидаемый еженедельный доход в перспективе введем дополнительные условия к исходным данным.
Допустим, что по итогам наблюдений выявили следующую закономерность: если две недели подряд предприятию сопутствовал успех, то доход предприятия в этом случае составит r11 = 500 единиц, если успех сменила неудача – r12 = 150 единиц, если после неудачи последовала удача – r21 = 200 единиц, и если две недели подряд следовала неудача – r 22 = -400 единиц.
Данные о доходе в компактной форме можно записать в виде матрицы дохода Г(r):
Γ(τ ) = |
r11r12 |
= |
500;150 |
. |
|
|
r |
r |
|
200;−400 |
|
|
21 |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге имеем две матрицы для решения задачи: матрицу дохода Г(r) и матрицу перехода Г(τ).
Введём следующие обозначения:
R1(0,N) – полный доход фирмы за период от 0 до N, если нулю предшествовал успех;
R2(0,N) – полный доход фирмы за период от 0 до N, если нулю предшествовала неудача.
Для решения данной задачи применяют метод динамического программирования. Допустим, что остаётся одна неделя до конца. Марковым было доказано, что значение R1(0,1) и R2(0,1) находятся по формулам (15), (16).
R1 |
(0,1) = р11r11 + р12r12; |
(15) |
R2 |
(0,1)= р21r21 + р22r22. |
(16) |
|
53 |
|
R1 (0,1) = 0,5·500+0,5·150 = 325;
R2 (0,1) = 0,7·200+0,3·(-400) = 20.
Для двух и более недель (N) доход фирмы находится по формуле (17), если нулю предшествовал успех, и по формуле (18), если нулю предшествовала неудача.
R1(ON) = p11R1(0, |
N-1)+p12R2(0,N-1)+R1(0,1); |
(17) |
R2(ON) = p21R1(0, |
N-1) + p22R2(0,N-1)+R2(0,1). |
(18) |
R1(0,2) = 0,5·325+0,5·20+325 = 497,5;
R2(0,2) = 0,7·325+0,3·20+20 = 253,5; R1(0,3) = 0,5·497,5+0,5·253,5+325 = 700,5;
R2(0,3) = 0,7·497,5+0,3·253,5+20 = 444,3и т.д.
Результаты вычислений сводим в табл. 19.
Если N → ∞, то еженедельный доход будет r = 197,916.
Таким образом, используя теорию цепей Маркова и статистические данные, возможно дать прогноз еженедельного ожидаемого дохода предприятия на перспективу [6]. Также по теории Маркова можно спрогнозировать оптимальную еженедельную стратегию, обеспечивающую максимальный еженедельный доход.
Таблица 19
Еженедельный ожидаемый доход фирмы на перспективу
N |
|
R(0,N) |
средненедельный доход r |
||
|
Е1 |
|
Е2 |
Е1 |
Е2 |
1 |
325 |
|
20 |
325 |
20 |
2 |
497,5 |
|
253,5 |
248,75 |
126,75 |
3 |
700,5 |
|
444,3 |
233,5 |
148,1 |
4 |
897,4 |
|
643,64 |
224,35 |
160,91 |
5 |
1095 |
|
841 |
219 |
177 |
2.6. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Теория массового обслуживания (ТМО) относится к разделу исследования операций, который изучает различные процессы в экономике как процессы обслуживания, т.е. удовлетворения разнообразных зака-
54
зов или запросов. В ТМО рассматриваются два основных понятия: требование и обслуживание. К требованиям относят объекты, которые нужно обслужить. Например, клиенты в банке, пассажиры, ожидающие трамвай на остановке, скважины, нуждающиеся в ремонте и т.д. Средство, которым обслуживается требование, называется обслуживающим устройством. Например, операционисты в банке, трамваи на маршруте, ремонтная бригада с необходимым комплектом ремонтного оборудования и запасных частей и т.д. Совокупность обслуживающих устройств называется обслуживающей системой (количество операционистов в банке, количество трамваев на маршруте, определенное число ремонтных бригад с необходимым оборудованием).
Целью экономической задачи ТМО является проектирование обслуживающей системы, т.е. определение оптимального числа обслуживающих устройств, при котором суммарные затраты на ожидание в очереди и на простой обслуживающих устройств будет минимальным.
При проектировании системы массового обслуживания необходимо помнить, что характеристики потока входящих требований и продолжительности обслуживания должны соответствовать определенным условиям.
Чтобы описать систему массового обслуживания, необходимо задать следующие ее компоненты: входной поток требований, дисциплина очереди и механизм обслуживания.
Входной поток требований характеризуется вероятностным законом распределения моментов поступления требований в систему и количеством требований Т в каждом поступлении, которое определяется по формуле:
λ = 1 |
(19) |
T , |
где Т – среднее значение интервала между поступлением очередных требований.
55
Внастоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны
впрактических приложениях методы решения таких задач, в которых поток требований является простейшим.
Простейший поток событий обладает тремя свойствами:
1)стационарностью – постоянным количеством событий в единицу времени;
2)отсутствием последействия – независимостью количества событий после любого момента времени от количества событий до него;
3)ординарностью – практической невозможностью одновременного поступления нескольких требований.
Для простейшего потока частота наступления событий подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность того, что за время t произойдет k событий, определяется следующим образом:
|
P |
= e−λt (λt )k |
, |
(20) |
|
k (t ) |
k! |
||
|
|
|
|
|
где е – |
основание натуральных логарифмов; |
|
||
λt |
– среднее число требований, поступающих на обслуживание за |
|||
время t.
Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же величины, т. е.
x = σ 2 .
Дисциплина очереди описывает порядок обслуживания требований в системе. Длина очереди может быть ограниченной или неограниченной. Правила постановки в очередь: FIFO – « первым пришел – первым обслуживаешься», LIFO – « последним пришел – первым обслуживаешься», по другим приоритетам или случайно.
Механизм обслуживания характеризуется продолжительностью процедур обслуживания и количеством одновременно обслуживаемых требований. Время обслуживания требований в системе является случайной величиной и обычно описывается экспоненциальным за-
56
коном распределения (2-й признак закона Пуассона), то есть распределение длительности оставшейся части работ по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.
Вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой
F(t) = 1 – e-μt, |
(21) |
||
где μ – величина, обратная среднему времени обслуживания: |
|
||
μ = |
1 |
. |
(22) |
|
|||
Тобс |
|
||
Проверка закона распределения на данную зависимость осу- |
|||
ществляется по критерию χ2: |
|
||
|
χ 2 = ∑ |
(Ф − T )2 |
, |
(23) |
|
i i |
|||
|
|
Ti |
|
|
где Фi – |
фактическое число требований; |
|
|
|
Тi – |
теоретическое число требований. |
|
|
|
Если поток входящих требований удовлетворяет закону Пуассона |
||||
на время обслуживания по экспоненциальному закону распределения, то для расчета основных параметров в системе массового обслуживания могут применяться следующие формулы.
Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны, находится по формуле Эрланга:
|
P0 = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
α |
n |
|
|
|
+ ∑ α |
k , |
(24) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
||||
|
|
|
|
- |
α |
|
× n! |
k =0 k! |
|
||||
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где α – |
коэффициент загрузки; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n – |
количество обслуживающих устройств; |
|
|||||||||||
k – |
текущая переменная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
α = |
λ |
. |
|
|
|
|
(25) |
|||
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
57
Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты, находится по формуле
Pз = P0 |
|
α n |
|
|
|
(26) |
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
- |
α |
|
|
|||
|
1 |
n |
|
× n! |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее число устройств, свободных от обслуживания
|
|
n−1 |
|
n - k |
|
|
|||||
N0 = P0 × ∑ |
×α k . |
(27) |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
|
k =1 |
|
|
k! |
|
|||||
Средняя длина очереди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L = |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
(28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
α |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
n × 1 - |
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Среднее время ожидания в очереди |
|
|
|
|
|||||||
tож |
= |
|
L |
., |
|
(29) |
|||||
μ × n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где µ – уровень обслуживания.
Приведем пример использования теории массового обслуживания. Нужно определить оптимальное число наливных устройств на нефтебазе по следующим исходным данным: годовая поставка с базы Qгод = 300000 тонн, грузоподъемность одной цистерны q = 4 т, среднее время обслуживания одного автомобиля одним устройством Тобсл = 0,1 час, время работы нефтебазы Траб = 300 дн × 10 час, убыток от простоя одного автомобиля ЗпрА = 2 д. е./час, убыток от простоя од-
ного устройства Зпру = 1500 д. е./год. Определить число наливных устройств (n), при котором суммарные затраты на простой наливных устройств и простой автомобилей будут минимальными
( ∑ ЗпрА + ∑ Зпру = min ).
Решение.
1. Найдем, сколько машин поступает в среднем в час:
58
l = |
Q |
= |
300000 |
= 25 авт/час. |
q ×T |
|
|||
|
4 ×300 ×10 |
|
||
|
раб |
|
|
|
2. Определим, сколько машин обслуживается в час:
μ = |
1 |
= |
1 |
= 10 авт/час |
Тобсл |
0,1 |
|||
|
|
|
|
. |
3. Определим коэффициент загрузки:
a = λ = 25 = 2,5. m 10
Таким образом, число наливных устройств должно быть не менее 3. Предполагаем: n = 3.
4. Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны (формула Эрланга):
P0 = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= 0,045 . |
|
α n |
|
|
|
n−1 |
α k |
|
|
2,53 |
|
|
|
2,50 |
|
2,51 |
|
2,52 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
k! |
|
|
|
|
2,5 |
|
0! |
1! |
2! |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
- |
|
|
× n! |
|
|
|
|
1 |
- |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты:
Pз = |
α n × P |
= |
2,53 * 0,045 |
= 0,703 . |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
α |
|
|
2,5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
(1 - |
) × n! |
|
1 |
- |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
3 |
|
|
|
6. Средняя длина очереди:
L = |
α |
|
= |
|
2,5 |
|
= 5 . |
|
n(1 - |
α |
|
|
2,5 |
|
|||
|
) |
|
3 1 |
- |
|
|
||
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
3 |
|
|
7. Среднее число устройств, свободных от обслуживания:
|
|
n−1 |
|
n - k |
|
|
k |
|
3 -1 |
1 |
|
3 - 2 |
|
2 |
|
|
|||||
N 0 |
= P0 ∑ |
|
|
|
|
×α |
|
= |
0,045 |
|
|
2,5 |
+ |
|
2,5 |
|
|
= 0,365 . |
|||
|
k! |
|
|
2! |
|
||||||||||||||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. Среднее время ожидания в очереди: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
tож |
= |
L |
|
= |
5 |
|
|
= 0,167 час. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m × n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
10* 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
59
9.Сколько часов машины простоят в течение года: tожгод = 75000 × 0,167 час = 12525 час.
10.Найдем потери от простоя автомобилей:
∑ЗпрА =12525× 2 = 25050 д. е.
11.Найдем потери от простоя наливных устройств:
∑ЗпрУ = 0,365 ×1500 = 547 д. е.
12.Найдем суммарные затраты:
∑ЗпрА + ∑ЗпрУ = 25050 + 547 = 25597 д. е.
Аналогично находим для n = 4, n = 5, n = 6. Данные решения оформляем в виде таблицы (табл. 20).
|
|
|
|
|
|
Таблица 20 |
|
|
Результаты расчетов |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Показатели |
n = 3 |
|
n = 4 |
|
n = 5 |
n = 6 |
Р0 |
0,045 |
|
0,074 |
|
0,08 |
0,082 |
|
|
|
|
|
|
|
Рз |
0,703 |
|
0,321 |
|
0,13 |
0,048 |
|
|
|
|
|
|
|
N 0 |
0,365 |
|
1,21 |
|
2,097 |
3,024 |
|
|
|
|
|
|
|
L |
5 |
|
1.67 |
|
1 |
0,72 |
tож |
0,167 |
|
0,042 |
|
0.02 |
0,0123 |
tожгод |
12525 |
|
3131 |
|
1500 |
900 |
∑ЗпрА |
25050 |
|
6262 |
|
3000 |
1800 |
∑Зпру |
547 |
|
1815 |
|
3145,5 |
4536 |
∑ЗпрА + ∑ Зпру |
25597 |
|
8077 |
|
6139,5 |
6336 |
На основании таблицы видно, что оптимальное число наливных устройств равно 5.
2.7. МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
Назначение и состав.
С развитием производства и усложнением взаимосвязей между отдельными его сторонами ведутся постоянные поиски более совершенных методов планирования и оперативного управления производствен-
60