Методы расчета линейных электрических цепей. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО БРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

К аф едра «Механизация, автоматизация и энергоснабжение строительства»

В.В. СМИРНОВ М.А. НАЗАРОВ

МЕТОДЫ РАСЧЁТА ЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Учебное пособие

Самара Самарский государственный технический университет

2019

2

Печатается по решению ученого совета СамГТУ (протокол № 9 от 27.04.2018 г.).

УДК 621.311(075.8) ББК 31.2 Я73 С 506

Смирнов В.В.

С 506 Методы расчета линейных электрических цепей: учеб. пособие / В.В. Смирнов, М.А. Назаров. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2019. – 92 с.

В учебном пособии приводятся теоретические сведения по методам расчета линейных электрических цепей. Даны рекомендации по выполнению практических расчетов цепей постоянного и переменного тока.

Учебное пособие предназначено для бакалавров, обучающихся по направлению 08.03.01 «Строительство».

УДК 621.311(075.8) ББК 31.2 Я73 С 506

Р ец енз ен ты : д-р техн. наук Н.Г. Чумаченко, канд. техн. наук А.А. Ионов.

© В.В. Смирнов, М.А. Назаров, 2019 © Самарский государственный технический университет, 2019

2

ВВЕДЕНИЕ

Любая электрическая цепь состоит из источника электрической энергии, приемников, соединенных определенным образом (нагрузки),

ипроводов, соединяющих источник с нагрузкой. Различают соединения приемников: параллельное, при котором приемники имеют общие соединения по обоим концам и одно общее напряжение; последовательное, при котором приемники имеют общее соединение только на одном конце и один общий ток; смешанное соединение, при котором приемники соединены в одной цепи и параллельно,

ипоследовательно.

Электрическая цепь характеризуется рядом топологических составляющих, к которым относятся: ветвь, узел и контур.

Целью расчетов электрических цепей является определение их электрических параметров: токов в ветвях, падения напряжения на элементах цепи, мощностей, потребляемых элементами цепи, и других параметров.

При анализе и расчетах электрических цепей используются известные законы: Закон Ома, I и II законы Кирхгофа, закон ДжоуляЛенца.

Элементы электрических цепей бывают линейные и нелинейные. Линейными являются элементы, параметры которых не изменяются при изменении других физических величин (токов, напряжений, температуры, давления, освещенности и т.д.), воздействующих на данные элементы электрических цепей, параметры нелинейных элементов изменяются в зависимости от физических величин, воздействующих на такие элементы. Электрические цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными, нелинейными называют электрические цепи, содержащие хотя бы один нелинейный элемент. Для линейных и нелинейных цепей существуют отличающиеся методы расчетов. Применяя к линейным электрическим цепям постоянного тока законы Ома и Кирхгофа, мы получим линейные алгебраические уравнения, решения которых хорошо разработаны. Нелинейные цепи описываются нелинейными уравнениями, реше-

3

ние которых иногда связано со значительными математическими трудностями, поэтому при решении таких задач часто применяют приближенные или графоаналитические решения.

Методы расчетов электрических цепей разрабатывались первоначально для цепей постоянного тока. Со временем эти подходы трансформировались в методы расчета цепей переменного тока с учетом особенностей последних.

Электрические цепи по своему составу и способам соединения элементов могут быть достаточно простыми (параллельное и последовательное соединения с одним источником) и достаточно сложными (смешанное соединение элементов с большим количеством источников). В зависимости от сложности цепей применяются различные методы расчетов, с помощью которых удается быстрее достичь результатов.

4

1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Электрическая цепь – совокупность устройств и объектов,

образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятия об ЭДС, токе и напряжении.

Графическое изображение электрической цепи, составленное из условных обозначений электротехнических устройств, показывающее последовательность соединения отдельных элементов и отображающее свойства электрической цепи, называется принципиальной схемой.

Схема замещения электрической цепи является ее количественной моделью и необходима для расчета режима работы электротехнических устройств.

Конфигурация схемы замещения электрической цепи определяется следующими геометрическими (топологическими) понятиями: ветвь,

узел, контур.

Ветвь электрической цепи – участок цепи, вдоль которого проте-

кает один и тот же ток. Она состоит из одного или нескольких последовательно соединенных элементов, каждый из которых имеет два вывода (начало и конец), причем к концу каждого предыдущего элемента присоединяется начало следующего. Ветви, не содержащие источников электрической энергии, называются пассивными. Ветви,

в которые входят источники электрической энергии, называются

активными.

Узел электрической цепи – место соединения трех или большего числа ветвей.

Контур электрической цепи – любой замкнутый путь цепи,

проходящий по нескольким ветвям так, что ни одна ветвь и ни один узел не встречается более одного раза.

5

Электрический ток – это явление упорядоченного (направленного) перемещения заряженных частиц в проводнике под действием электрического поля.

Постоянным током называется ток, величина и направление которого не изменяется с течением времени при неизменных параметрах электрической цепи.

Переменным периодическим током называют ток, изменяющийся по величине и направлению через равные промежутки времени.

Последовательному соединению элементов электрической цепи соответствует такое соединение, при котором через все элементы проходит один и тот же ток.

Параллельному соединению элементов электрической цепи соответствует такое соединение, при котором все элементы цепи присоединяются к одной паре узлов, т.е. находятся под действием одного и того же напряжения.

Смешанным, или последовательно-параллельным, называется такое соединение элементов, при котором на одних участках электрической цепи они соединяются параллельно, а на других – последовательно.

1.2. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Этот метод заключается в том, чтобы с помощью эквивалентного преобразования элементарных соединений (параллельного или последовательного) в эквивалентное сопротивление упростить (свернуть) схему так, чтобы в какой-либо ветви появилось хотя бы два известных параметра, по которым можно определить другие параметры.

Рассмотрим пример такого расчета. Допустим, что в схеме (рис. 1.1) известны сопротивления резисторов и ЭДС источника. Требуется определить токи в ветвях, падения напряжения на резисторах, мощности на резисторах и всей цепи.

Анализируем схему с целью поиска такой ветви, где известны хотя бы два электрических параметра. Если таковой ветви нет, то приступаем к свертыванию схемы. Ищем на схеме элементарные

6

соединения и заменяем их эквивалентным сопротивлением. Таким элементарным соединением для схемы (рис. 1.1) является последовательное соединение резисторов R3 и R4. Находим эквивалентное сопротивление по формуле:

R1 I1 a I3

I2

R3

R4

b

Рис. 1.1.

После такого преобразования схема замещения принимает вид (рис. 1.2). Проверяем, не появилась ли ветвь с двумя известными параметрами. Если таковой нет, то продолжаем сворачивание схемы. Находим очередное элементарное соединение и заменяем его эквивалентным сопротивлением. Таким элементарным соединением для схемы (рис.1.2) является параллельное соединение резисторов R2 и R34. Определяем эквивалентное сопротивление по формуле:

R1 I1 a I3

I2

b

Рис. 1.2.

7

После такого преобразования схема замещения принимает вид (рис. 1.3). Проверяем, не появилась ли ветвь с двумя известными параметрами. Если таковой нет, то продолжаем сворачивание схемы. Находим очередное элементарное соединение и заменяем его эквивалентным сопротивлением. Таким элементарным соединением для схемы (рис. 1.3) является последовательное соединение резисторов R1 и R234. Определяем эквивалентное сопротивление по формуле:

После такого преобразования схема замещения принимает вид (рис. 1.4). В данной цепи, образующей замкнутый контур, состоящий из последовательного соединения резистора RЭ и источника с ЭДС, известны два параметра – сопротивление резистора и величина ЭДС Е. Таким образом, по закону Ома (с допущением для «источника напряжения», что U = E) можем определить ток I1:

После определения токов можно сделать проверку правиль-

ности расчетов, используя I закон Кирхгофа, например, для узла «а»

(рис. 1.2).

Расчет мощностей на резисторах определяется как произведение

тока и напряжения на данном резисторе или как произведение квадрата тока на сопротивление резистора. Для резисторов исходной схемы мощности равны, соответственно:

Мощность всей цепи (мощность источника) равна:

уравнению баланса мощностей, независимо от схемы соединения элементов цепи:

1.3. МЕТОД ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

Режим электрической цепи в некоторых случаях характеризуется коэффициентом передачи напряжения и тока [1]. То есть между напряжением источника и напряжением на каком-либо участке цепи, а также между током источника и током какой-либо ветви, существует прямая пропорциональность. Или, иначе говоря, если напряжение источника изменится в k раз, то и токи в ветвях изменятся в k раз. Это свойство линейных цепей позволяет использовать его для решения несложных задач с одним источником энергии.

Суть метода заключатся в следующем. Если при известных значениях сопротивлений резисторов и напряжения источника задаться током в какой-либо ветви, то, используя его для расчетов ложных токов в ветвях, определим ложное напряжение источника, который может создать в выбранной ветви заданный ток. Далее найдем коэффициент пропорциональности k как отношение истинного напряжения источника к ложному напряжению. Затем, умножив ложные токи ветвей на коэффициент k, найдем истинные токи ветвей. Часто этот метод позволяет избежать громоздких преобразований предыдущего метода.

Рассмотрим применение этого метода для решения предыдущей задачи (рис. 1.1). Зададимся током I3л в ветви с резисторами R3 и R4. Считая его известным, можем определить ложное напряжение Uabл: