Методы расчета линейных электрических цепей. Учебное пособие

46.85 e j59.47 23.8 j40.35 В.

Вкачестве проверки используем II закон Кирхгофа для данного

C

U4

Рис. 2.19. Рис. 2.20.

Для определения токов в ветвях разветвления необходимо предварительного вычислить напряжение UAB на участке раз-

ветвления:

и представляет собой падение напряжения на сопротивлении Z23.

Определение токов в ветвях разветвления осуществляется по закону Ома:

41

673.23 e j90 0 j673.23 ВА.

Вэтих выражениях Р1, Р2, Р3 – активные мощности, выделяемые на активных сопротивлениях r1, r2, и r3, a Q1, Q3, Q4 и Q2 – реактив-

ные мощности, выделяемые на катушках индуктивности L1, L2, L3

и конденсаторе С2 соответственно. Следует помнить, что эти мощ-

ности имеют различные размерности. Так, полные мощности S имеют размерность ВА, активные – Вт, реактивные – ВАр.

Во всякой цепи на основании закона сохранения энергии должен выполняться баланс мощностей. Т.е. мощность, потребляемая всей цепью, должна быть равна сумме мощностей, потребляемых каждым

42

элементом цепи. Таким образом, вычислим для рассматриваемого примера полную мощность всей цепи:

( 1064.25 j458.56 ) ( 0 j673.23 )

2601.18 j1529.03 2599.33 j1532.95 ВА

или

P0 P1 P2 P3 P4 1032.54 504.39 1064.25 02601.18 2599.33 Вт;

Q0 Q1 Q2 Q3 Q4 1684.95 1287.71 458.56 673.231529.03 1532.95 ВАр.

При удовлетворении этих равенств расчет считается закончен-

ным и можно приступить к построению векторных диаграмм.

Представление расчетных параметров в комплексной форме позво-

ляет строить векторную диаграмму токов на комплексной плоскости без дополнительных вычислений. Сначала изображаем треугольник полного сопротивления (рис. 2.21), а затем вектор полного тока всей цепи (рис. 2.22). Для этого действительную часть комплексного тока откладываем в масштабе на оси действительных чисел (–1, 1) с учетом знака, а мнимую часть откладываем в том же масштабе на оси мнимых чисел (–j, j). Пересечение этих значений на комплексной плоскости определит точку конца вектора полного тока. Проведя вектор из начала координат в эту точку, получим искомый вектор тока.

Аналогично строятся векторы токов в других ветвях.

По векторной диаграмме (рис. 2.22) путем сложения по правилу параллелограмма векторов I2 и I3, сумма которых должна быть равна вектору тока в общей ветви I1, осуществим проверку правильности расчета токов

43

Топографическую диаграмму напряжений строим в соответствии с вышеизложенными указаниями. Принимаем потенциал точки 0 на схеме (рис. 2.19) равным нулю. Этому значению потенциала соответствует начало координат. Откладываем действительные и мнимые части комплексного падения напряжения на сопротивлении Z1, строим вектор U1 (рис. 2.23).

44

этого вектора строим вектор падения напряжения U23 на сопро-

тивлении Z23. Конец вектора определяет потенциал точки В

45

(рис. 2.19). Восстанавливая из этой точки вектор падения напряжения

U4 на катушке индуктивности L3 (Z4), находим потенциал точки С.

Разность потенциалов между точками 0 и С определит вектор напряжения источника питания U.

При построении топографической диаграммы следует обратить

внимание на то, что вектор Ur должен совпадать по направлению с вектором тока Ir, а векторы UL и UС должны быть перпендикулярны векторам токов IL и IС соответственно, так как сдвиг по фазе между током и напряжением на реактивных элементах составляет ±π/2.

Векторную диаграмму напряжений для контура (рис. 2.19) можно построить по методике, описанной выше для токов (рис. 2.22).

Откладывая действительные и мнимые части комплексных падений

разность потенциалов между точками 0 и С, которую определит вектор напряжения источника питания U.

Контрольные вопросы

1.Назовите формы записи комплексных чисел.

2.Назовите четыре формы представления синусоидальных величин.

3.Какие элементы электрической цепи переменного тока называ-

ются активными, а какие – реактивными?

4. Что такое полное сопротивление цепи с последовательным сое-

динением R, L, и С элементов?

5. Каков характер нагрузки, если при последовательном соеди-

нении R, L и С элементов соблюдается условие xL > xC ?

6.Какой параметр является общим для всех элементов цепи при последовательном соединении ветвей?

7.Каков характер нагрузки, если при параллельном соединении

R, L и С элементов соблюдается условие bL < bC ?

46

8.Какой параметр является общим для всех элементов цепи при параллельном соединении ветвей?

9.С какого вектора следует начинать построение векторной диаграммы для последовательного соединения приемников переменного тока?

10.Как определяется полная мощность установки, состоящей из нескольких приемников электроэнергии?

11.Каковы преимущества комплексного (символического) метода расчета для цепей переменного тока?

3.РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.1. ТРЁХФАЗНАЯ СИСТЕМА ЭДС

Объединенные в одну цепь несколько подобных по структуре цепей синусоидального тока одной частоты с независимыми источ-

никами энергии называют многофазной системой. Частным случаем многофазной системы является трёхфазная система.

Под трёхфазной системой ЭДС понимают совокупность трёх синусоидальных ЭДС одинаковой частоты, сдвинутых друг отно-

сительно друга по фазе на 120° (рис. 3.1). Если амплитуды ЭДС равны друг другу, то трёхфазная система ЭДС называется

симметричной.

Совокупность трехфазной системы ЭДС, трёхфазной нагрузки и соединительных проводов называется трёхфазной цепью.

При рассмотрении однофазной цепи под фазой понимался отно-

сительный момент периодического процесса (или аргумент синуса).

В случае трёхфазной цепи под фазой, кроме того, понимается состав-

ная часть многофазной системы, т.е. однофазная цепь, входящая в состав данной трёхфазной цепи. Отдельные фазы трёхфазной системы, а именно их начала, принято обозначать буквами А, В, С,

концы, соответственно, X, Y, Z, а шины на станциях и подстан-

47

циях окрашивать соответственно А – в жёлтый, В – в зёлёный,

С – в красный цвета.

Рис. 3.1.

Для получения трёхфазных систем ЭДС применяются синхронные генераторы. Он имеет неподвижный статор, в котором размещены три фазные обмотки, сдвинутые в пространстве на 120°, и ротор, который при вращении создаёт вращающееся магнитное поле [4-9]. Наводимые в фазах ЭДС максимальны, когда ось полюсов ротора пересекает фазы статора. Для каждой фазы это имеет место в различные моменты времени. Поэтому ЭДС фаз сдвинуты во времени:

Еm – амплитудное значение синусоидальной ЭДС; ω – частота; t – время.

Последовательность прохождения ЭДС через одинаковые значения (например, через ноль) называется последовательностью фаз

(или порядком чередования фаз). Если еВ отстаёт от еА на 120°, то это прямая последовательность; если еВ опережает еА на 120°, то получается обратная последовательность.

От последовательности фаз системы ЭДС зависит, например, направление вращения ротора синхронного и асинхронного трёхфазных двигателей.

48

Точки, в которых соединены концы фазных обмоток источника или приемника электрической энергии, называются нейтральными

(или нулевыми) точками источника (N) и приемника (n). Точки

N и n соединены нейтральным (нулевым) проводом. Остальные три провода трёхфазной системы, идущие от источника к приемнику,

называются линейными проводами. Таким образом, источник сое-

динён с потребителем четырьмя проводами. Поэтому эта система называется четырёхпроводной системой трёхфазного тока.

Токи IA, IB, IC, протекающие по фазным обмоткам источника или приемника, называются фазными токами и обозначаются в общем виде Iф. Токи, протекающие по линейным проводам, называются

линейными и обозначаются в общем виде Iл. В соединении звездой токи в фазах нагрузки Iф и линейные Iл токи одинаковы:

Iл Iф .

Напряжения между линейными проводами UAB, UBC, UCA

(в общем случае Uл) называют линейными напряжениями.

Сопротивления ZA, ZB, ZC называются полными сопротивле-

ниями нагрузки фаз, а напряжения на них UA, UB, UC – фазными напряжениями (в общем случае Uф).

Ток IN называется током нейтрального провода четырехпро-

водной трехфазной цепи.

Если конец каждой фазы трёхфазных источника или приемника электрической энергии соединить с началом следующей фазы, то образуется соединение «треугольник» («Δ») (рис. 3.4), вершины которого подключают к линейным проводам трёхпроводной цепи.

На рис. 3.4 фазные токи обозначены IAB, IBC, ICA, а линейные токи и напряжения – IA, IB, IC и UAB, UBC, UCA соответственно.

Из схемы (рис. 3.4) видно, что каждая фаза приёмника непосредственно подключена на линейное напряжение, поэтому в соединении «треугольник»:

Uл Uф .

50