Методы расчета линейных электрических цепей. Учебное пособие

Определим коэффициент пропорциональности k:

1.4. МЕТОД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА

Этот метод можно применять для расчета цепей с любым количеством источников. Метод заключается в решении системы уравнений, составленных по I и II законам Кирхгофа. Число уравнений системы равно числу ветвей, т.е. числу неизвестных токов. По I закону Кирхгофа составляется ( n 1) уравнений, где n – число

узлов цепи, по II закону Кирхгофа составляется ( m ( n 1))

уравнений, где m – число ветвей. Решая систему уравнений любым известным способом, находим токи ветвей.

Рассмотрим применение метода на примере расчета сложной цепи (рис. 1.5). Предварительно произвольно выбираем положительное направление токов I1-I6. Для записи уравнений по I закону Кирхгофа (узловых уравнений [1]) необходимо определить число узлов в данной схеме. Таких узлов будет четыре (а, b, c, d), следовательно, узловых уравнений будет три.

I5 R5

E3 R3 I3

d

Рис. 1.5.

11

Втекающие токи берем со знаком плюс, вытекающие токи берем

будет три. Уравнения составляются только для независимых контуров. Независимым контуром называется любая замкнутая цепь

Таким образом, составлена система шести уравнений с шестью неизвестными, решение которой определит токи во всех шести ветвях. Если в результате расчетов ток ветви получится отрицательным, это говорит о том, что направление тока на схеме выбрано противоположным. Если ток не совпадает по направлению с направлением ЭДС в данной ветви, это говорит о том, что данный источник ЭДС стоит на зарядке (является потребителем электроэнергии).

1.5. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Этот метод практически повторяет систему контурных уравнений предыдущего метода, записанных не через токи ветвей, а через контурные токи, замыкающиеся по всему контуру. Причем в смежных ветвях, принадлежащих одновременно и другому контуру, контурный

12

ток создает свою долю падения напряжения, а контурный ток смежного контура – свою долю. То есть два контурных тока создают в смежной ветви падение напряжения такое же, как и ток данной смежной ветви, т.е., определив контурные токи, можно суммированием контурных токов определить токи ветвей в смежных ветвях. Логично, что токи несмежных ветвей будут равны контурным токам контуров, которым принадлежит данная несмежная ветвь. Таким образом, необходимо будет составить систему уравнений только по II закону Кирхгофа, что значительно упрощает решение системы уравнений. Особенно это выгодно для цепей, имеющих большое количество узлов.

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета предыдущей задачи (рис. 1.6). В каждом из независимых контуров произвольно задаёмся направлением протекания контурных токов. Для первого контура уравнение имеет вид:

Для третьего контура уравнение имеет вид:

Решив систему уравнений (1.34), (1.35), (1.36), определим значения контурных токов I1к, I2к, I3к, на основании которых определим токи ветвей:

а именно: ток в любом контуре равен сумме токов, вызываемых в этом контуре каждой из ЭДС в отдельности. Это положение о независимости действия ЭДС называется принципом наложения [2], вытекает из линейности уравнений, получаемых на основании законов Кирхгофа для линейных цепей. Принцип наложения справедлив также для любой ветви электрической цепи. Таким образом, расчет сложной цепи с несколькими источниками ЭДС будет сводиться к определению частных токов ветвей от действия каждого источника в отдельности, т.е. нужно рассчитать схемы поочередно с учетом только одного источника, закоротив остальные. Истинные токи ветвей будут определяться как алгебраическая сумма частных токов ветви с учетом направления их действия.

Рассмотрим применение этого метода на следующем примере (рис. 1.7). Оставим в схеме источник E1, а остальные источники из схемы исключим (рис. 1.8).

Рассчитаем частные токи ветвей от действия источника Е1:

Теперь исключим из схемы источники Е1 и Е2 (рис. 1.9).

Вследствие симметрии источников Е1 и Е3 расчетные формулы будут аналогичны:

R4

R2 I23

bc

R5

Рис. 1.9.

Теперь исключим из схемы источники Е1 и Е3 (рис. 1.10).

15

Если в результате расчетов ток ветви получился отрицательным, это говорит о том, что на исходной схеме направление тока выбрано неправильно.

Как видим, метод суперпозиции несколько громоздкий, но достаточно прост, поэтому для ряда задач может найти свое применение.

1.7. МЕТОД ДВУХ УЗЛОВ

Метод двух узлов применяется для часто встречающихся бытовых и производственных схем, имеющих только два узла. Этот метод основан на теории метода узловых напряжений [2], применяемого для схем с любым количеством узлов (здесь не рассматривается). Суть метода заключается в определении напряжения между двумя узлами (так называемого узлового напряжения), которое можно рассматривать как напряжение внешнего источника для каждой параллельной ветви схемы.

Если все источники ЭДС в ветвях в соответствии с правилами [1] заменить эквивалентными источниками тока, а сопротивления приемников заменить проводимостями, то сумма этих токов предстанет как эквивалентный источник тока со своей проводимостью для

17

единственной ветви между узлами. Произведя обратную замену этого источника тока на источник напряжения, получим узловое напряжение. Так, например, для схемы (рис. 1.11) узловое напряжение Ucb можно записать так:

где G1 = 1/R1; G2 = 1/R2; G3 = 1/R3; G4 = 1/R4.

Если источник ЭДС будет направлен от узла «с» к узлу «b», то в формуле (1.51) эту ЭДС следует взять со знаком «минус».

Зная узловое напряжение Ucb, легко найти токи в активных и пассивных ветвях:

Если направления ЭДС и напряжения Ucb совпадают, то в формулах (1.52) следует брать их сумму.

Этот метод широко используется при расчетах в трехфазных цепях.

1.8. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Метод основан на теореме об эквивалентном активном двухполюснике, которая гласит: любой сложный активный двухполюсник, к которому присоединена активная или пассивная ветвь, может быть заменен эквивалентным активным или пассивным двухэлементным двухполюсником с параметрами Eэк и Rэк или Jэк и Gэк; режим работы ветви, присоединенной к двухполюснику, при этом не меняется [3], т.е. по отношению к любой ветви сложной цепи вся остальная цепь рассматривается как генератор напряжения с параметрами Eэк и Rэк или как генератор тока с параметрами Jэк и Gэк.

Рассмотрим применение метода на примере предыдущей задачи (рис. 1.11). Выделим ветвь с резистором R4, а остальную цепь заменим активным двухполюсником (эквивалентным генератором напряжения,

18

рис. 1.12). При таком представлении цепи ток I4 по закону Ома можно определить по формуле:

c

I4

Eэк

Ucb R4

Rэк

b

Рис. 1.12.

Для определения параметров активного двухполюсника необходимо разомкнуть ветвь с R4, тогда напряжение Ucb станет напряжением холостого хода двухполюсника и будет равно ЭДС Eэк. Напряжение Ucb холостого хода можно найти любым известным методом для цепи (рис. 1.11) без ветви с резистором R4, например, методом двух узлов, как в предыдущем примере:

R1 I1

R3 I3

Рис. 1.13.

19

Внутреннее сопротивление Rэк эквивалентного генератора определяется как эквивалентное сопротивление всей цепи по отношению к зажимам сb при отсутствии источников ЭДС (рис. 1.13):

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется электрической цепью?

2.Что называется принципиальной схемой электрической цепи?

3.Что вкладывается в понятие «схема замещения» электрической

цепи?

4.Дайте определения понятиям ветвь, узел и контур электрической цепи.

5.Что называется электрическим током?

6.Что такое постоянный ток?

7.Что такое переменный ток?

8.Как осуществляется последовательное соединение участков электрической цепи?

9.Как осуществляется параллельное соединение участков электрической цепи?

10.Как осуществляется смешанное соединение участков электрической цепи?

11.Что называется активной и пассивной ветвью?

12.Что включают в себя понятия «холостой ход» и «короткое замыкание»?

13.Какое количество уравнений необходимо составить по I и II законам Кирхгофа при расчете электрической цепи методом системы уравнений Кирхгофа?

14.В чем заключается принцип наложения?

15.Сформулируйте теорему об эквивалентном активном двухполюснике.

20