Методы расчета линейных электрических цепей. Учебное пособие

2. РАСЧЕТ ОДНОФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА СО СМЕШАННЫМ

СОЕДИНЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РАСЧЁТА

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Основная часть электрической энергии потребляется установками, работающими на переменном токе. В связи с этим для электротехники вопрос расчёта электрических цепей синусоидального тока имеет существенное значение [4-9]. Наиболее простым методом решения данного типа задач является «символический метод», использующий комплексные числа.

Комплексное число не является числом в общепринятом понимании, а представляет собой особый математический объект, обладающий рядом специфических свойств.

В отличие от действительных чисел, которые изображаются точками на числовой прямой, комплексным числам могут соответствовать точки на плоскости. Плоскость, точки которой являются геометрическим представлением комплексных чисел, называется ком-

плексной плоскостью (рис. 2.1, а).

Рис. 2.1.

Алгебраическая форма записи комплексного числа:

где а – действительная, а b – мнимая часть числа, j 1.

21

Комплексное число можно задать как в декартовых координатах (рис. 2.1, а), так и отобразить его в полярной системе координат (рис. 2.1, б). Совместив полюс полярной системы координат с точкой 0 декартовой плоскости, любое комплексное число можно представить с помощью радиус-вектора ρ и фазы φ (полярного угла). Угол φ отсчитывается от действительной положительной полуоси. Следует отметить, что в случае, когда радиус-вектор ρ вращается против часовой стрелки, φ > 0, если по часовой – φ < 0.

Длина радиус-вектора:

a2 b2 (2.2)

является модулем комплексного числа, под которым понимается действующее значение синусоидальной функции тока или напряжения.

где:

b

ϕ arctg ; (2.4)

a

e jϕ – оператор поворота, который указывает на то, что радиус-вектор повёрнут на угол φ относительно действительной положительной полуоси.

Принимая во внимание, что координаты а и b соответствуют проекциям радиус-вектора на действительную и мнимую оси, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:

(2.5)

или

e jϕ cosϕ j sinϕ .

Последнее выражение является формулой Эйлера и имеет большое значение при расчёте цепей синусоидального тока символическим

2.2. Основные элементы электрических цепей синусоидального тока

Электрическая цепь синусоидального тока, кроме электротехнических устройств, назначение которых совпадает с назначением функционально аналогичных устройств цепи постоянного тока (источники энергии, измерительные приборы, коммутационные аппараты и т.д.), содержит также устройства, присущие только цепям синусоидального тока: трансформаторы, конденсаторы, катушки индуктивности и др. [4-9].

Элементами схем замещения цепей синусоидального тока являются источники синусоидального тока (ЭДС), резистивные, индуктивные и емкостные элементы.

Резистивный элемент. При протекании электрического тока через резистор (рис. 2.2) для мгновенных значений напряжения и тока справедливо соотношение, определяемое законом Ома ur r ir . Так как r – постоянная величина, то амплитуды тока и напряжения связаны соотношением:

в резистивном элементе изменяются синфазно – совпадают по фазе (рис. 2.3). Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи представлена на рис. 2.4, причём длины векторов обозначают действующие значения тока и напряжения. Амплитуда напряжения Urm r Irm .

Представим теперь синусоидальный ток и напряжение резистивного элемента в комплексной форме:

С учетом (2.4) и (2.5) получим закон Ома в комплексной форме:

с двойной (относительно частоты тока и напряжения) частотой.

24

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи представлена на рис. 2.4.

j

Ir Ur

1

Рис. 2.4.

Индуктивный элемент (катушка). Если в индуктивном элементе

(рис. 2.5) протекает синусоидальный ток iL ILm sin (ω t ϕI ), то по закону электромагнитной индукции на катушке появится ЭДС самоиндукции eL, которая, на основании правила Ленца, всегда препятствует изменению тока:

Рис. 2.5.

Согласно II закону Кирхгофа для контура цепи справедливо равенство:

где ϕU ϕI π ,

2

поэтому для действующих значений UL ω L IL xL IL .

pL

0

ωt

Рис. 2.6.

Величина xL ω L 2 π f L называется индуктивным сопро-

тивлением катушки, имеет размерность «Ом». xL определяет способность катушки противодействовать прохождению переменного

тока. Обратная величина b 1 – индуктивная проводимость.

L

xL

Запишем ток и напряжение катушки в комплексной форме:

1 jb – комплексной проводимостью индуктивного элемента.

jωL

L

Мгновенная мощность индуктивного элемента (рис. 2.6) pL uL iL

и изменяется по синусоидальному закону с частотой в два раза больше частоты тока. Синусоидальный ток в индуктивном элементе не совершает работы, поэтому в отличие от резистивного элемента энергетический режим индуктивного элемента принято определять

реактивной индуктивной мощностью:

которая имеет размерность «ВАр» (вольт-ампер реактивный). Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи представлена на

рис. 2.7.

j

UL

IL

1

Рис. 2.7.

Емкостной элемент (конденсатор). Если напряжение между выво-

дами емкостного элемента (рис. 2.8) изменяется по синусоидальному закону:

где амплитуды тока и напряжения на конденсаторе связаны соотно-

Рис. 2.8.

pC

Рис. 2.9.

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи изображена на рис. 2.10.

28

j

IC

1

Uc

Рис. 2.10.

Закон Ома в действующих значениях для конденсатора запишется

как:

тивлением, имеет размерность (Ом). bC ω C – емкостная прово-

димость.

Закон Ома для емкостного элемента в комплексной форме:

называется комплексным сопротивлением емкостного элемента.

На рис. 2.9 изображена кривая мгновенной мощности pC uC iC

в цепи с ёмкостным элементом. В ёмкостном элементе мгновенная мощность – синусоидальная величина, частота которой вдвое больше частоты тока. Но в ёмкостном элементе мгновенная мощность положительна в те интервалы времени, в течение которых напряжение возрастает по абсолютному значению.

29