Методы расчета линейных электрических цепей. Учебное пособие

же методами и приемами. Их расчет предпочтительнее производить символическим методом, представляя параметры цепи в виде ком-

плексных чисел.

Начинать следует с вычисления полных сопротивлений при-

ёмников фаз. Комплекс полного сопротивления определяется как сумма активного (вещественная часть) и реактивного (мнимая часть)

сопротивлений фаз:

Переход от показательной формы записи комплексного числа к алгебраической осуществляется по формуле Эйлера:

cosϕ j sinϕ e jϕ .

В случае отсутствия одной или двух составляющих в полном сопротивлении фазы нагрузки в формулах (3.4)-(3.6) их нужно принять равными нулю.

Приступая к определению напряжения, действующего в каждой фазе нагрузки, следует помнить, что в трехпроводных цепях при соединении приёмников звездой действуют два рабочих напряжения

– линейное (между линейными проводами) и фазное (между линейным и нейтральным проводами). Поэтому при соединении приемников звездой необходимо определить фазные напряжения, т.к. по условию задания известно лишь линейное напряжение. При соединении приемников треугольником линейное напряжение является и фазным одновременно.

Известно, что в трехфазной цепи на стороне генератора фазные напряжения представляют собой симметричную систему со сдвигом фаз между собой в 120°. Если начальную фазу фазы АХ принять равной нулю, то фазные напряжения в комплексной форме запишутся так:

52

На стороне потребителя при соединении приёмников звездой

с нейтральным проводом или при симметричной нагрузке без нейтрального провода без учета падений напряжения в линейных проводах фазные напряжения равны фазным напряжениям на стороне генератора.

При этом следует воспользоваться известным соотношением между линейными и фазными напряжениями, вытекающим из рассмотрения, например, треугольника BCN (см. рис. 3.5, б), спра-

При несимметричной нагрузке без нейтрального провода фазные напряжения приемников не равны соответствующим напряжениям источника. В этом случае между нейтральными точками источника и потребителя возникает напряжение UnN, называемое напряжением между нейтралями. Для определения этого напряжения можно воспользоваться методом узловых потенциалов (в частности методом двух узлов) (рис. 3.6):

где комплексные проводимости нагрузки фаз:

EA

А a YA

EB

B b YB

EС

C c YС

Рис. 3.6.

Определив напряжение UNn, на основании II закона Кирхгофа

(рис. 3.6) можно определить фазные напряжения приёмников:

Для соединения приемников треугольником их фазные напряжения будут равны линейным напряжениям источника, которые при любом соединении и значениях нагрузки всегда образуют симметричную систему напряжений со сдвигом фаз в 120° (см. формулу (3.9)).

Зная фазные напряжения приёмников, можно определить фазные токи при любом соединении приемников:

При соединении приёмников звездой фазные токи одновременно являются и линейными, а их геометрическая сумма по I закону Кирхгофа определяет ток в нейтральном проводе:

При соединении приемников треугольником необходимо определить линейные токи в линейных проводах. Эти токи связаны с фазными токами системой уравнений, которая вытекает из рассмотрения по I закону Кирхгофа узлов цепи:

Из уравнений (3.17) следует, что любой из линейных токов равен геометрической разности соответствующих векторов фазных токов тех двух фаз, которые соединяются с данным линейным проводом. Если нагрузка симметричная, то линейные токи (равно как и фазные) равны между собой и их модуль определяется как:

На векторной диаграмме, реализующей систему уравнений (3.17) (рис. 3.7), следует, что линейные токи отстают от фазных токов по фазе на 30°:

- ICA

UAB

IB

- IAB

UCA

Рис. 3.7.

56

Следующим этапом расчета является определение мощностей фаз, суммарной мощности и коэффициента мощности всей трехфазной цепи.

Комплекс полной мощности одной фазы, независимо от способа соединения приемников фаз, определяется как произведение комплекса фазного напряжения на сопряженный комплекс фазного тока:

где Pф, Qф – активная и реактивная мощности фаз, соответственно:

Pф Uф Iф cosϕ ; Qф Uф Iф sinϕ .

Суммарная мощность всей фазы при симметричной нагрузке вычисляется как утроенное значение комплекса полной мощности одной фазы:

Значения активной мощности Р и коэффициента мощности cos φ определяют как величину и характер нагрузки для источника

57

питания. Завершающим этапом является построение векторной диаграммы токов и напряжений трехфазной цепи. Для этого на комплексной плоскости в соответствующем масштабе откла-

дываются векторы токов и напряжений под углом к вещественной оси, определяемым аргументом комплексного числа в e jϕ . Так,

например, вектор фазного напряжения UA, начальная фаза которого принималась равной нулю, будет направлен по вещественной оси,

а вектор линейного напряжения UAB будет располагаться к оси под углом 30° (против движения часовой стрелки), т.к. он опережает фазное напряжение на 30° по фазе. Аналогично откладываются и век-

торы линейных и фазных токов, причем линейные токи и напря-

жения могут быть изображены как векторы разностей фазных векторов (см. рис. 3.5, б), т.е. образуют замкнутый треугольник.

В качестве примеров рассмотрим порядок расчета трехфазной цепи с приёмниками, соединенными звездой с нейтральным прово-

дом, звездой без нейтрального провода и треугольником.

3.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ С ПРИЁМНИКАМИ,

СОЕДИНЕННЫМИ ЗВЕЗДОЙ С НЕЙТРАЛЬНЫМ ПРОВОДОМ

В четырехпроводную трехфазную сеть с линейным напряжением

Uл = 220 В включен приемник по схеме рис. 3.8 с сопротивлениями фаз: rA = 4 Ом; xA = 3 Ом; rB = 2 Ом; хB = 5 Ом; rC = 3 Ом. Необходимо определить токи в линейных и нейтральном проводах, активную,

и построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Трехфазный приемник соединен звездой с нейтральным проводом,

следовательно, фазные напряжения приемника равны фазным напря-

жениям источника даже в условиях несимметричной нагрузки:

Ua U A ;

Ub UB ;

Uc UC .

58

Находим ток в нейтральном проводе:

Определяем комплексы полной, активной и реактивной мощностей

фаз и всей трехфазной цепи согласно выражениям (3.20), (3.23) и (3.24):

Строим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. 3.9).

1

Ub

Рис. 3.9.

60