Методы расчета линейных электрических цепей. Учебное пособие

Рис. 2.12.

Сумма комплексных проводимостей всех параллельных ветвей

в выражении (2.25) представляет собой комплексную проводимость

рассматриваемой цепи:

Рис. 2.15.

Если электрическая цепь содержит несколько резистивных, индуктивных и емкостных элементов, включенных параллельно, то комплексная проводимость:

Y y e jϕ g j bL j bC g j bC bL g jb , (2.33)

где g – активная проводимость цепи; b – реактивная проводимость цепи. Выражению (2.33) соответствуют треугольники проводимостей на

комплексной плоскости (рис. 2.15).

2.5. ПОРЯДОК РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Символическим методом расчета синусоидальных цепей будем называть метод, который предусматривает представление всех элементов цепи комплексными числами, т.е. величинами, принадлежащими одной комплексной плоскости в виде их координат на осях действии-

следует, что для расчета параметров цепи можно использовать методы расчета, разработанные для цепей постоянного тока, не обращая внимания на характер сопротивлений цепи.

Выполнение расчета следует начинать с анализа схемы. Для этого необходимо, во-первых, определить количество ветвей, выбрать условные направления токов в ветвях и проставить их на схеме, во-вторых, найти участки цепи с параллельным соединением ветвей, для которых падения напряжений будут одинаковыми, наметить путь преобразования схемы к одному полному сопротивлению. Далее необходимо записать полные сопротивления каждой ветви в комплексной форме, например:

Z r jX L (для активно-индуктивной ветви);

Z r jXC (для активно-емкостной ветви).

Для приведения схемы к одному полному сопротивлению предварительно необходимо выявить простейшие последовательные и параллельные участки цепи, изображая их ветви одним условным элементом полного сопротивления. Затем приводится схема, на ней эти участки обозначаются одним эквивалентным полным сопротивлением, которые определяются для последовательного и параллельного соединения соответственно:

Следует учесть, что, если число параллельных ветвей больше двух (рис. 2.16), то их замену эквивалентным полным сопротивлением ZЭ рекомендуется выполнять последовательно, когда за одну операцию объединяются не более двух элементов:

Проводя такие преобразования постепенно от предыдущей схемы к схеме замещения, получим в результате схему с одним элементом,

который будет характеризовать полное сопротивление всей цепи. Такое

35

преобразование схемы необходимо для расчета полного тока всей цепи,

который определяется по закону Ома:

Z

Рис. 2.16.

Падения напряжения на участках контура вычисляются про-

изведением тока в данной ветви контура на величину полного сопротивления этого участка. При этом необходимо произвести проверку правильности расчетов по II закону Кирхгофа, а именно:

векторная или комплексная сумма всех падений напряжения в контуре должна быть равна напряжению источника питания. В противном случае расчет неверен.

Для определения токов в ветвях разветвления (параллельных ветвях) предварительно необходимо вычислить напряжение между узлами разветвления, которое находится как произведение тока,

протекающего в ветви до участка разветвления, на полное сопро-

тивление всего участка разветвления, независимо от числа парал-

лельных ветвей. Это напряжение согласно II закону Кирхгофа может быть также вычислено как разность между напряжением источника питания и падением напряжения на остальных участках контура,

исключая искомый.

Токи в ветвях разветвления рассчитываются по закону Ома из отношения напряжения между узлами разветвления к полному сопротивлению каждой ветви участка разветвления.

После расчета токов для каждого узла разветвления может быть осуществлена проверка правильности расчетов по I закону Кирхгофа,

36

который гласит, что векторная или комплексная сумма токов,

втекающих в узел и вытекающих из него, должна быть равна нулю.

Ток в одной из ветвей участка разветвления может быть также определен по I закону Кирхгофа, если известны все остальные токи, втекающие в узел и вытекающие из него. Например, для узла, соединяющего три ветви:

I2 I0 I1 , (2.38)

где I0 и I1 – известные или определенные ранее токи.

Для нахождения мощностей отдельных элементов цепи целесообразнее определять в комплексной форме полные мощности отдельных ветвей схемы, при этом действительная часть комплексного числа будет характеризовать активную составляющую мощности данной ветви, а мнимая часть – реактивную составляющую мощности, т.е.:

произведение комплексного напряжения между концами ветви на

где I* – сопряженный комплекс тока.

Заключительным этапом расчета является построение векторных диаграмм токов и напряжений, которые позволяют еще раз убедиться в правильности расчетов токов и напряжений.

Построение векторной диаграммы выполняется на комплексной плоскости, действительная часть комплексного тока или напряжения откладывается в выбранном масштабе на оси действительных чисел (–1, 1) с учетом знака, мнимая часть – в том же масштабе на оси мнимых чисел (–j, j). Точка пересечения этих значений на комплексной плоскости является концом вектора, проведенного из начала координат.

Для проверки правильности расчета токов и напряжений и построения их векторных диаграмм можно путем векторного сложения токов разветвления получить ток в ветви до разветвления и сравнить его значение с расчетным.

37

2.6. ПРИМЕР РАСЧЕТА ОДНОФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА СО СМЕШАННЫМ

СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

Метод, положенный в основу расчета, называется символическим и заключается в представлении всех синусоидальных величин (токов, напряжений, ЭДС), а также производных этих величин (полных сопротивлений, мощностей) в виде комплексных чисел. Такое представление синусоидальных величин позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. Кроме того, представление параметров цепи (полных сопротивлений) в виде комплексных чисел позволяет воспользоваться для приведения сложной схемы к более простому виду (произвести свертку схемы) с помощью известных формул аппаратом, применяемым для цепей постоянного тока. Такое представление делает все элементы синусоидальной цепи однородными комплексными сопротивлениями, что значительно облегчает преобразование по сравнению с традиционным методом эквивалентных преобразований.

Рассмотрим классический метод расчета, использующий известные законы Ома и Кирхгофа. Выбор этого метода оправдан тем, что он связан лишь с этими законами и не требует запоминания какой-либо методики расчета, свойственной другим методам, и является самым доступным и экономичным для схем, содержащих всего один источник энергии. Подобные схемы чаще всего встречаются на практике.

Рассмотрим схему, приведенную на рис. 2.17. Для ее расчета необходимо предварительно определить реактивные сопротивления катушек индуктивности и конденсаторов по формулам:

Пусть электрическая цепь имеет следующие параметры: U = 210 В, f = 52 Гц, L1 = 25 мГн, L2 = 16 мГн, L3 = 10 мГн, С2 = 300 мкФ, r1 = 5 Ом, r2 = 4 Ом, r3 = 12 Ом.

38

r2 L2

~U

С2 r3

L3

C B

Рис. 2.17.

Найдем реактивные сопротивления всех катушек и конденсатора:

Руководствуясь приведенной методикой изначально в заданной схеме требуется найти количество ветвей, которое и укажет число неизвестных токов, подлежащих расчету. В данной схеме таких ветвей три. В них соответственно протекают три тока: I1, I2, I3.

Записываем полные сопротивления ветвей в комплексной форме:

Теперь схему можно представить в виде, изображенном на рис. 2.18.

39

Z4

C B

Рис. 2.18.

Преобразование схемы осуществляем по законам цепей постоянного тока. Сопротивления Z2 и Z3, соединенные параллельно, можно заменить одним полным сопротивлением:

143.6 e j45.1 8.57 e j 27.8 7.58 j4 Ом, 16.76 e j17.3

асхема преобразуется к виду, изображенному на рис. 2.19. В резуль-

тате оказалось, что сопротивления Z1, Z23 и Z4 соединены последовательно и могут быть заменены одним сопротивлением ZЭ, которое и будет являться полным сопротивлением всей цепи:

ZЭ Z1 Z23 Z4 ( 5 j8.16 ) (7.58 j4 ) (0 j3.26 )

12.58 j7.42 14.61 e j30.53 Ом.

Схема принимает окончательный вид, показанный на рис. 2.20.

При известном напряжении не составляет труда определить ток источника или ток первой ветви I1 по закону Ома:

Следующий этап расчета – определение падений напряжения на элементах какого-либо контура. Допустим, следует произвести расчёт падения напряжения в контуре, содержащем сопротивления Z1, Z23 и Z4 (рис. 2.19). Падения напряжения на этих элементах вычисляются также по закону Ома как произведение сопротивления данного элемента в комплексном виде на комплексный ток в этом элементе:

40