Математические модели оценки финансовых активов. Учебное пособие
.pdfС.Г. Шорохов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
Учебное пособие
Москва Российский университет дружбы народов
2012
УДК 517.2:336.763(07) |
У т в е р ж д е н о |
ББК 22.16+65.9(2)30-2 |
РИС Ученого совета |
Ш-79 |
Российского университета |
дружбы народов
Рецензент – доктор физико-математических наук, профессор С.В. Волков
Шорохов, С. Г.
Ш-79 Математические модели оценки финансовых активов [Текст] : учебное пособие / С. Г. Шорохов. – М. : РУДН, 2012. – 100 с.
ISBN 978-5-209-04334-8
Цель учебного пособия – ознакомить слушателей с основами теории оценки основных финансовых активов, таких как акции, облигации и линейные деривативы, привить навыки решения практических задач в области оценки стоимости ценных бумаг.
Предназначено для студентов III курса факультета физикоматематических и естественных наук РУДН, обучающихся по специальности «Математика. Прикладная математика».
ISBN 978-5-209-04334-8 |
УДК 517.2:336.763(07) |
|
ББК 22.16+65.9(2)30-2 |
©Шорохов С.Г., 2012
©Российский университет дружбы народов, Издательство, 2012
Оглавление
1 Временная стоимость денег |
5 |
1.1Начисление простых процентов . . . . . . . . . . . 6
1.2Начисление сложных процентов . . . . . . . . . . . 7
1.3Эффективная процентная ставка . . . . . . . . . . 9
1.4 Дисконтирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
2 Потоки платежей |
11 |
2.1Будущая стоимость потока равных платежей . . . 12
2.2Будущая стоимость растущего потока платежей . 13
2.3Приведенная стоимость потока равных платежей . 14
2.4Приведенная стоимость потока растущих платежей 15
2.5Приведенная стоимость бесконечного потока пла-
тежей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
3 Инвестиционные проекты |
18 |
3.1 Чистая приведенная стоимость . . . . . . . . . . . |
19 |
3.2Внутренняя норма доходности . . . . . . . . . . . . 21
4 Процентная ставка |
23 |
4.1Ставка дисконтирования модели CAPM . . . . . . 23
4.2Стоимость и структура капитала . . . . . . . . . . 25
3
5 Оценка акций |
27 |
5.1Метод дисконтирования дивидендов . . . . . . . . 28
5.2Метод дисконтирования свободных денежных по-
токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3Метод дисконтирования остаточной прибыли . . . 46
5.4 |
Сравнительный анализ (метод мультипликаторов) |
48 |
6 Оценка облигаций |
50 |
|
6.1 |
Стоимость и доходность облигации к погашению |
50 |
6.2Оценка облигаций при непрерывном начислении процентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3Свойства цены облигации и доходности к погашению 55
6.4Риски облигации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.5Производные цены облигации . . . . . . . . . . . . 60
6.6 Интерпретация и свойства дюрации и выпуклости |
62 |
7 Оценка форвардных контрактов |
66 |
7.1Арбитраж . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2Форвардные и спотовые цены и сделки . . . . . . . 67
7.3Форварды на актив без текущих доходов (расходов) 70
7.4Форварды на актив с текущими доходами (расхо-
дами) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5Форварды на акции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.6 Форварды на облигации . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.7Спотовые и форвардные ставки . . . . . . . . . . . 83
7.8Cоглашение о форвардной процентной ставке . . . 85
7.9Валютные форварды . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.10 Товарные форварды . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
Программа и описание курса "Математические |
|
модели оценки финановых активов" |
95 |
4
Глава 1
Временная стоимость денег
Временная стоимость денег (time value of money) одно из фундаментальных понятий финансов: ценность денежной суммы, получаемой сегодня, выше, чем ценность той же денежной суммы, получаемой в будущем. Поэтому при проведении финансовых расчетов широко используется следующий принцип эквивалентности денежных сумм:
Две денежные суммы, относящиеся к различным периодам времени, эквивалентны, когда денежная сумма за более ранний период может быть превращена в сумму более позднего периода путем инвестирования под преобладающую в этот период процентную ставку r > 0:
F V = P V (1 + r) |
(1.0.1) |
Здесь F V – будущая денежная сумма (Future Value), P V – текущая денежная сумма (Present Value).
Процентная ставка r представляет собой цену денег как средства сбережения.
5
1.1Начисление простых процентов
Простые проценты это плата за пользование денежными средствами, рассчитываемая исходя из первоначально вложенной суммы, при этом процент, начисленный в предыдущие периоды, не принимается в расчет:
F Vn = P V (1 + r n) |
(1.1.1) |
Здесь r – процентная ставка за период, n 2 N – число периодов, P V – текущая стоимость инвестиции, F Vn – будущая стоимость инвестиции через n периодов.
Начисление простых процентов может быть проиллюстрировано следующей таблицей:
Время |
Стоимость инвестиции |
t = 0 |
F V0 = P V |
t = 1 |
F V1 = P V + r P V = P V (1 + r) |
t = 2 |
F V2 = F V1 + r P V = P V (1 + 2 r) |
::: |
::: |
t = n |
F Vn = F Vn1 + r P V = P V (1 + n r) |
Количество периодов n, необходимое для увеличения начальной суммы P V в N раз при начислении простых процентов, определяется по формуле
n = |
N 1 |
(1.1.2) |
||
r |
|
|||
|
|
|||
Если на последовательных интервалах начисления процентов t1; :::; tn устанавливаются различные ставки процентов r1; :::; rn, то наращенная сумма F V за время T = t1 + t2 + ::: + tn равна
F V = P V 1 + |
n |
tkrk! |
(1.1.3) |
|
X |
|
|
k=1
Здесь интервалы начисления процентов tk выражены в годах, а процентные ставки rk – в процентах годовых.
6
1.2Начисление сложных процентов
Сложные проценты это плата за пользование денежными средствами, рассчитываемая исходя из суммы вложений, в которую включается сумма процента, начисленная в предыдущие периоды:
F Vn = P V (1 + r)n |
(1.2.1) |
Здесь r – процентная ставка за период, n 2 N – число периодов, P V – текущая стоимость инвестиции, F Vn – будущая стоимость инвестиции через n периодов.
Пример 1.1. Показать, что при фиксированной процентной ставке r > 0 и сроке вклада, превышающем один год, начисление сложных процентов является более выгодным для вкладчика, чем начисление простых процентов.
Решение: Пусть срок вклада равен n лет, где n > 1.
Тогда при начислении сложных процентов F V=P V = (1 + r)n, а при начислении простых процентов F V=P V = (1 + r n). Согласно биному Ньютона
(1 + r)n = 1 + n r + n(n 1)r2 + ::: + rn > 1 + n r; 2
таким образом, будущая стоимость F V будет больше при начислении сложных процентов.
Начисление сложных процентов может быть проиллюстрировано следующей таблицей:
Время |
Стоимость инвестиции |
t = 0 |
F V0 = P V |
t = 1 |
F V1 = P V + r P V = P V (1 + r) |
t = 2 |
F V2 = F V1 + r F V1 = F V1 (1 + r) = P V (1 + r)2 |
::: |
::: |
t = n |
F Vn = F Vn1 + r F Vn1 = F Vn1 (1 + r) = |
|
P V (1 + r)n |
7
Количество периодов n, необходимое для увеличения начальной суммы P V в N раз при начислении сложных процентов один раз в период, определяется по формуле
ln N |
(1.2.2) |
n = ln(1 + r) |
Пример 1.2. За сколько лет произойдет удвоение капитала при начислении сложных процентов один раз в год по процентной ставке r?
Решение: Из формулы (1.2.2) следует т.н. “правило 70”:
|
ln 2 |
|
ln 2 |
|
0:693 |
70 |
|
||
n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + r) |
r |
r |
r 100 |
||||||
Если на последовательных интервалах начисления процентов t1; :::; tn устанавливаются различные ставки процентов r1; :::; rn, то наращенная сумма F V за время T = t1 + t2 + ::: + tn равна
|
n |
|
F V = P V |
kY |
(1.2.3) |
(1 + rk)tk |
||
|
=1 |
|
Здесь интервалы начисления процентов tk выражены в годах, а процентные ставки rk – в процентах годовых.
Если проценты начисляются чаще, чем один раз в период, и r – процентная ставка за период, то будущая стоимость равна
r |
|
F Vn(m) = P V (1 + m)mn; |
(1.2.4) |
где m – количество начислений процентов в периоде, n – количество периодов.
Количество периодов n, необходимое для увеличения начальной суммы P V в N раз при начислении сложных процентов m раз в период, определяется по формуле
ln N |
(1.2.5) |
n = m ln(1 + r=m) |
8
В случае непрерывного начисления сложных процентов, когда частота начисления m стремится к 1; имеем
|
( ) |
|
r |
mn |
|
r |
m |
rn |
|
rn |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
F V |
|
= P V lim (1+ |
|
) |
|
= P V lim |
|
|
r |
|
V e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n1 |
m!1 |
m |
|
m!1 h(1 + m) |
i |
|
= P(1.2.6) |
||||
Если при непрерывном начислении процентов на последовательных интервалах начисления процентов t1; t2; :::; tn устанавливаются различные ставки процентов r1; r2; :::; rn, то наращенная сумма F V за время T = t1 + t2 + ::: + tn равна
F V = P V exp |
n |
rktk! |
(1.2.7) |
|
X |
|
|
k=1
1.3Эффективная процентная ставка
Эффективной процентной ставкой re называют годовую ставку сложных процентов, дающую тот же финансовый результат (соотношение между наращенной суммой F V и вложенной суммой P V ), что и первоначальная схема выплат:
re = |
F V |
|
1=T |
(1.3.1) |
|
1 |
|||
P V |
Пусть r – номинальная (объявленная) процентная ставка для начисления сложных процентов, начисляемых m раз в год. В этом случае получаем
re = 1 + |
r |
|
m |
(1.3.2) |
|
1 |
|||
m |
||||
Для непрерывного начисления процентов имеем |
|
|||
re = er |
|
1 |
(1.3.3) |
|
Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать доходности различных финансовых операций (различных схем начисления процентов).
9
Пример 1.3. Сравнить эффективную и номинальную ставки в схеме начисления сложных процентов несколько раз в год.
Решение: Воспользуемся формулой бинома Ньютона (m > 1):
re = 1 + |
r |
|
m |
m(m |
1) |
|
r |
|
2 |
+:::+ |
r |
|
m |
|
1 = 1+r+ |
|
|
|
|
|
1 > r; |
||||||
m |
2 |
|
m |
|
m |
т.е. эффективная ставка re больше номинальной ставки r.
1.4Дисконтирование
Дисконтирование решает задачу о нахождении начальной суммы P V , если известна наращенная за n лет сумма F V и процентная ставка r (в процентах годовых).
Для простых процентов имеем |
|
|
|
|
|
|
|
P V = |
|
F V |
; |
|
(1.4.1) |
||
|
1 + nr |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
для сложных процентов, начисляемых 1 раз в год |
|
||||||
P V = |
|
F V |
|
; |
|
(1.4.2) |
|
|
|
||||||
(1 + r)n |
|
||||||
для сложных процентов, начисляемых m раз в год |
|
||||||
P V = |
|
|
F V |
|
|
; |
(1.4.3) |
|
|||||||
(1 + r=m)mn |
|||||||
для непрерывного начисления процентов |
|
||||||
P V = F V enr |
|
(1.4.4) |
|||||
При этом процентную ставку r принято называть ставкой дисконтирования.
Пример 1.4. Какое количество средств должна проинвестировать на 6 лет под 8% годовых страховая компания, взявшая на себя обязательство выплатить клиенту 100 тыс. руб. через 6 лет?
Решение: F V = 100 000; r = 8%; n = 6; следовательно
100000
P V = 1:086 = 63 016
10