Математические модели оценки финансовых активов. Учебное пособие

проводить оценку облигации при различных предположениях относительно доходности.

Если проценты начисляются и выплачиваются один раз в период (в конце периода), то дюрацией (или дюрацией Маколея) облигации называется величина

Если проценты начисляются m раз в период, а выплачиваются в конце периода, то дюрацией облигации называется величина

Замечание. Если устремить m к бесконечности, то получим равенство D = D , таким образом, при непрерывном начислении процентов величины дюрации и модифицированной дюрации совпадают.

6.6 Интерпретация и свойства дюрации

ивыпуклости

Вобщем случае для облигации имеем

следовательно

Утверждение 6.7. (Экономическая интерпретация дюрации). Дюрация это среднее время ожидания платежей, взвешенное по приведенной стоимости соответствующего платежа.

62

Доказательство. Действительно

Утверждение 6.8. Справедливо следующее соотношение между сроком погашения, дюрацией и модифицированной дюрацией облигации:

при этом

1.D = D только при непрерывном начислении процентов

2.D = T только для бескупонных облигаций

Сувеличением купонной ставки дюрация облигации уменьшается, что иллюстрируется рисунком:

Утверждение 6.9. Дюрация бесконечных облигаций равна

Dc = 1 + y < +1 y

63

Доказательство. Из формулы для цены бесконечной облигации получаем

Замечание. При фиксированном размере купонной ставки справедлива оценка верхней границы дюрации облигации:

D 6 Dc = 1 + y y

Пример 6.10. y = 6% ) Dc = 10::0606 = 17:7 лет.

Дюрация 30-летней облигации, торгующейся по номиналу, будет равна 14:25 < 17:7

Утверждение 6.11. Выпуклость облигации является средней величиной квадратичной функции времени, взвешенной по приведенной стоимости соответствующего платежа.

Замечание. Выпуклость увеличивается для облигаций с длинными сроками погашения.

64

Утверждение 6.12. При прочих равных условиях дюрация и выпуклость увеличиваются для более длинных сроков погашения, низких купонов и низких доходностей.

Пример 6.13. Вычислим дюрацию и выпуклость двухлетней облигации с купоном 6%, выплачиваемым 2 раза в год.

Решение:

65

Глава 7

Оценка форвардных контрактов

7.1Арбитраж

Арбитраж в финансах это несколько взаимосвязанных сделок, направленных на извлечение прибыли из разницы в ценах на одинаковые или связанные финансовые активы в одно и то же время на разных рынках либо на одном и том же рынке в разные моменты времени.

Считается, что арбитраж возможен в одной из трех ситуаций:

1.Один и тот же актив не торгуется по одной и той же цене на всех торговых площадках.

2.Два актива с идентичными денежными потоками не торгуются по одной и той же цене.

3.Актив с известной в будущем ценой не торгуется сегодня по будущей цене, дисконтированной по безрисковой ставке.

Арбитраж (арбитражная возможность, арбитражный портфель) на финансовом рынке [5] это существование такого са-

66

мофинансируемого портфеля активов h, что для некоторого момента времени T > 0

где Vt (h) – стоимость портфеля h в момент времени t, P [A] – вероятность события A.

Замечание. Под самофинансируемым понимается портфель активов, из которого на протяжении заданного интервала времени активы, в т.ч. денежные средства, не выводятся и не добавляются.

Будем говорить, что финансовый рынок безарбитражен, если на нем не существует арбитражных портфелей (возможностей).

Наличие арбитража эквивалентно существованию возможности с вероятностью 1 получить положительный доход, имея стартовый нулевой капитал.

7.2Форвардные и спотовые цены и сделки

Спотовая цена актива это цена, по которой в данное время и в данном месте этот актив торгуется, т.е. продается и покупается, на условиях немедленной поставки.

Форвардная цена актива это цена, по которой актив торгуется на условиях отложенной поставки и оплаты.

Спотовые сделки это сделки купли-продажи с немедленным исполнением.

Форвардные (срочные) сделки это сделки купли-продажи с исполнением в будущем.

Замечание. Форвардная сделка это двусторонняя внебиржевая сделка двух контрагентов. Про сторону, покупающую актив,

67

говорят, что она находится в длинной позиции (long). Про сторону, продающую актив, говорят, что она находится в короткой позиции (short). Для краткости будем называть форвардную сделку форвардом.

Будем использовать при оценке форвардов следующие обозначения:

t – текущий момент времени

T – момент исполнения сделки, T > t

= T t – срок форварда

St – текущая спотовая цена актива в момент t, ST – спотовая цена актива в момент исполнения сделки T

F = Ft = Ft(T ) – текущая форвардная цена актива для поставки в момент времени T

Vt – текущая стоимость (ценность) форвардного контракта (возможно, заключенного ранее)

r – текущая безрисковая ставка в базовой валюте

n – количество единиц актива в контракте.

Замечание. При оценке форвардов может применяться как схема дискретного начисления процентов, т.е.

так и схема непрерывного начисления процентов (применяется чаще), т.е.

Форвард может быть расчетным или поставочным:

Расчетный (беспоставочный) форвард (NDF) не заканчивается поставкой базового актива, стороны производят зачет встречных требований

68

Поставочный форвард (DF) заканчивается поставкой базового актива и полной оплатой на условиях сделки (договора)

Пример 7.1. Инвестор соглашается купить n = 500 единиц актива по форвардной цене F = 100 в момент времени T; T > t:

Если форвардный контракт поставочный, то в момент времени T инвестор платит n F = 50 000 и получает 500 единиц актива. Пусть в момент времени T текущая спотовая цена актива ST = 120 > F; тогда инвестор продает 500 единиц актива по текущей спотовой цене и получает прибыль в размере n (ST F ) = 10 000.

В данном примере в момент времени T стоимость форварда

VT = n (ST F ):

Если форвард расчетный, то в момент исполнения в зависимости от рыночной стоимости актива ST либо покупатель платит продавцу сумму n (F ST ) при F > ST , либо покупатель получает от продавца сумму n (ST F ) при F < ST .

Важно отметить, что платежная функция форвардного контракта линейна относительно спотовой цены актива и для продавца, и для покупателя.

Поэтому форвардный контракт является примером линейного дериватива.

Прибыль для покупателя форвардного контракта является убытком для продавца, и наоборот.

Для оценки форвардных контрактов необходимо потребовать выполнения следующих дополнительных условий [4, 7]:

1.Финансовый рынок является безарбитражным.

2.Отсутствуют транзакционные издержки (нет комиссий за совершение сделок, нулевой спрэд между лучшими предложениями на покупку и продажу, можно свободно размещать и заимствовать денежные средства по безрисковой ставке).

69

7.3Форварды на актив без текущих доходов (расходов)

Как определить форвардную цену актива Ft (T ) в текущий момент времени t?

Утверждение 7.2. Если на рассматриваемом промежутке времени [t; T ] базовый актив не приносит текущего дохода (дивидендов, процентов и т.п.) и не имеет текущих издержек (плата за хранение и т.п.), то форвардная цена актива определяется из уравнения

Доказательство. Рассмотрим следующие стратегии:

1.В момент t покупаем единицу актива по спотовой цене St и держим до момента времени T .

2.Заключаем форвардный контракт на покупку единицы того же актива по форвардной цене Ft, резервируем в момент t необходимый объем средств для совершения платежа Ft в момент времени T , а именно P V (Ft), и размещаем эти средства по безрисковой процентной ставке r.

Составим следующую таблицу с платежами по этим стратегиям:

70