Математические модели оценки финансовых активов. Учебное пособие

Пример 7.19. Пусть домашняя валюта – доллар США, а иностранная валюта – швейцарский франк. Пусть спотовый валютный курс 0.5987 USD за швейцарский франк, процентная ставка по долларам США 5.5%, процентная ставка по швейцарскому франку 4.75%. Делаем допущение, что процентные ставки фиксированы и не изменяются в течение срока форвардного контракта. Также полагаем, что начисление процентов происходит ежегодно.

Пусть форвардный контракт имеет срок 180 дней, тогда T = 180365 . Согласно формуле для форвардного валютного курса получим

"#

Итак, если мы заключили этот форвардный контракт, то это предполагает, что мы должны купить (если мы в длинной позиции) или продать (если мы в короткой позиции) швейцарский франк через 180 дней по цене 0.6008 USD.

Пусть мы находимся в длинной позиции, 40 дней прошло, осталось 140 дней до истечения контракта. Спотовый курс теперь 0.65 USD, процентные ставки фиксированы. Так как t = 36540 ,

Tt = 140365 ; оценка нашей длинной позиции равна

Итак, стоимость контракта 0.0499 USD за швейцарский франк. Если бы мы работали с непрерывным начислением процентов, то мы бы имели

rc = ln(1:055) = 0:0535; rc = ln(1:0475) = 0:0464

Тогда форвардный курс был бы равен

91

а стоимость контракта через сорок дней была бы равна

Мы получили те же самые результаты, что и для случая дискретного начисления процентов.

7.10Товарные форварды

При расчете форвардной цены товарного актива и цены форвардного контракта на товарный актив (commodities forward) необходимо учитывать затраты на хранение товара. Некоторые виды товаров (например, металлы) хранить легко, для других товаров (нефть, зерно и т.д.) затраты на хранение составляют существенную величину.

Формулы для расчета форвардной цены товарного актива в момент времени t = 0 имеют следующий вид:

1.для дискретных затрат на хранение (платежи за хранение актива в размере Gk выплачиваются в моменты времени tk, k = 1; m, 0 < t1 < ::: < tm 6 T ) и дискретного начисления процентов (дисконтирования)

k=1

2.для непрерывных затрат на хранение (по ставке gc) и непрерывного начисления процентов (дисконтирования)

92

Формулы для расчета цены форвардного контракта в момент времени t 2 (0; T ) имеют вид:

1.для дискретных затрат на хранение и дискретного начисления процентов (дисконтирования)

>t

2.для непрерывных затрат на хранение и непрерывного начисления процентов (дисконтирования)

Одним из факторов, подлежащих учету при оценке форвардов на товарные активы, является т.н. ¾доходность удобства¿ (convenience yield), т.е. выгода от владения реальным товарным активом. Товарные активы, имеющие доходность удобства, оцениваются по формулам, аналогичным формулам для форвардов на акции с дивидендами.

Пример 7.20. Актив имеет цену 50 руб. Безрисковая ставка равна 8%, форвардный контракт на актив истекает через 45 дней.

1.Найдите соответствующую форвардную цену, если по базовому активу нет расходов на хранение, денежных потоков или доходности удобства.

2.Найдите соответствующую форвардную цену, если будущая стоимость расходов на хранение в момент истечения форварда равна 2.25 руб.

3.Найдите соответствующую форвардную цену, если будущая стоимость положительных денежных потоков по базовому активу равна 0.75 руб.

93

4.Найдите соответствующую форвардную цену, если будущая стоимость расходов по поддержанию инвестиционной позиции (cost of carry) равна 3.55 руб.

5.Используя данные из вопроса 4, придумайте арбитражную сделку, если форвардный контракт торгуется по 60 руб.

6.Используя данные из вопроса 1, определите цену форвардного контракта (для покупателя) непосредственно перед его истечением, если базовый актив в этот момент торгуется по 49 руб.

Решение: В нашем случае T = 45=365 = 0:1233

1.F0(0:1233) = 50 (1:08)0:1233 = 50:48

2.F0(0:1233) = 50 (1:08)0:1233 + 2:25 = 52:73

3. F0(0:1233) = 50 (1:08)0:1233 0:75 = 49:73

4.F0(0:1233) = 50 (1:08)0:1233 + 3:55 = 54:03

5.Делаем следующие шаги:

(a)Продаем форвард по 60 руб.

(b)Покупаем актив по 50 руб.

(c)С учетом процентов цена актива в момент истечения форварда 50.48 руб., т.е. процентные расходы равны 0.48%

(d)Несем расходы по поддержанию позиции 3.55 руб.

(e)В момент истечения контракта поставляем актив и получаем 60 руб. Чистые инвестиции в актив 50:48 + 3:55 = 54:03 руб. Если актив продан за 60 руб., то результат составляет 5.97 руб.

6.Если сделка с базовым активом проходила по 49.00 руб., а цена контракта сейчас 50.48 руб., то цена контракта 50:48 49:00 = 1:48 руб.

94

Программа и описание курса “Математические модели оценки финановых активов”

Рекомендуется для направления подготовки 010100 “Математика”.

Квалификация (степень) выпускника “бакалавр”.

1. Цели и задачи дисциплины:

Ознакомить слушателей с основами теории оценки финансовых активов, включая акции, облигации и производные ценные бумаги, сформировать представления о современных математических моделях оценки ценных бумаг и деривативов, привить навыки решения практических задач в области анализа финансовых активов.

2. Место дисциплины в структуре ООП:

Цикл Б.3 Профессиональный, вариативная часть часть Б-3.2. Предполагается, что студенты знакомы с необходимым математическим аппаратом (математический анализ, теория вероятностей и случайных процессов, дифференциальные уравнения, численные методы). Предполагается также, что студенты обладают знаниями о базовых экономических дисциплинах. Кроме того, от студентов требуется знание английского языка на уровне чтения научной литературы.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: ПК-11 (владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе экономических и социальных процессов, задач бизнеса, финансовой и актуарной математики). В результате изучения дисциплины студент должен:

знать основные типы математических моделей ценных бумаг и производных финансовых инструментов;

уметь применять полученные знания при решении теоретических и практических задач, рассчитывать справедливую цену ценных бумаг и деривативов;

владеть навыками оценки основных финансовых активов, базовыми навыками создания математических моделей ценных бумаг и деривативов.

95

4. Объем дисциплины и виды учебной работы:

Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетных единицы.

Тема 1. Временная стоимость денег. Начисление простых процентов. Начисление сложных процентов. Эффективная процентная ставка. Дисконтирование. Случай процентных ставок, изменяющихся во времени.

Тема 2. Потоки платежей. Будущая стоимость потока равных платежей. Будущая стоимость растущего потока платежей. Приведенная стоимость потока равных платежей. Приведенная стоимость потока растущих платежей. Приведенная стоимость бесконечного потока платежей. Случай непрерывного начисления процентов. Применение в кредитных расчетах. Амортизация долга. Вычисление неоплаченного остатка основной суммы долга. Доходность потребительского кредита.

Тема 3. Инвестиционные проекты. Чистая приведенная стоимость (NPV). Внутренняя норма доходности (IRR). Срок (период) окупаемости (Payback Period). Дисконтированный период окупаемости (Dis-

96

counted Payback Period). Индекс прибыльности (Profitability Index). Профиль NPV. Точка и правило Фишера.

Тема 4. Процентная ставка. Ставка дисконтирования модели CAPM. Стоимость и структура капитала. Оценка коэффициента бэта. Теоремы Модильяни–Миллера.

Тема 5. Оценка акций. Метод дисконтирования дивидендов. Модель Гордона. Приведенная стоимость возможностей роста. Модель дисконтирования дивидендов с двумя стадиями роста. H-модель дисконтирования дивидендов. Модели дисконтирования дивидендов с тремя стадиями. Метод дисконтирования свободных денежных потоков. Понятие свободных денежных потоков. Дисконтирование FCFF и FCFE. Модели постоянного роста FCFF и FCFE. Метод дисконтирования остаточной прибыли. Сравнительный анализ (метод мультипликаторов).

Тема 6. Оценка облигаций. Стоимость и доходность облигации к погашению. Оценка облигаций в случае непрерывного начисления процентов. Свойства цены облигации и доходности к погашению. Риски облигации. Производные цены облигации. Интерпретация и свойства дюрации и выпуклости.

Тема 7. Оценка форвардных контрактов. Арбитраж. Форвардные и спотовые цены и сделки. Форварды на актив без текущих доходов (расходов). Форварды на актив с текущими доходами (расходами). Форварды на акции. Форварды на облигации. Спотовые и форвардные ставки. Cоглашение о форвардной процентной ставке. Валютные форварды. Товарные форварды.

Тема 8. Опционы. Опционы пут и колл. Паритет опционов пут-колл. Соотношение между стоимостью опционов и спотовой ценой актива. Неравенства для опционов. Досрочное исполнение опционов. Ставка дисконтирования модели CAPM. Стоимость и структура капитала. Биномиальная модель оценки опционов. Риск-нейтральная оценка активов. Уравнение Блэка–Шоулза–Мертона. Стохастические процессы. Формулы Блэка–Шоулза.

Промежуточный контроль знаний в виде контрольных работ.

97

Разделы дисциплины и виды занятий:

6.Лабораторный практикум не предусмотрен.

7.Практические занятия (семинары) не предусмотрены.

8.Темы курсовых работ:

1)Зависимость показателей эффективности от параметров инвестиционного проекта.

2)Методы оценки эффективности инвестиционных проектов.

3)Показатели эффективности социальных проектов и программ.

4)Временная структура процентных ставок.

5)Оценка факторов, влияющих на стоимость облигаций.

6)Дюрация и выпуклость портфеля облигаций.

7)Моделирование финансового рынка.

8)Стохастические дифференциальные уравнения и их применение в финансовом моделировании.

9)Уравнение Блэка–Шоулза и методы его решения.

Сведения об авторе: кандидат физико-математических наук, доцент, старший преподаватель кафедры математического анализа и теории функций Шорохов Сергей Геннадьевич

98

Литература

[1]Башарин Г.П. Начала финансовой математики. – М.: Инфра-М, 1996. – 158 с.

[2]Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 576 с.

[3]Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. – М.: Олимп-Пресс, 2008. – 1008 с.

[4]Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные. – М.: НТО им. акад. С.И. Вавилова, 2005. – 534 с.

[5]Бьорк Т. Теория арбитража в непрерывном времени. – М.: МЦНМО, 2010. – 560 с.

[6]Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С. Математические методы финансового анализа. – М.: АНКИЛ, 2006. – 440 с.

[7]Халл Дж.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. – М.: ООО “И.Д. Вильямс”, 2008. – 1056 с.

[8]Fuller R.J., Hsia C. A Simplified Common Stock Valuation Model // Financial Analysts Journal, 1984. – Vol. 40. – P. 4956.

99

[9]Gordon M., Shapiro E. Capital equipment analysis: The required rate of profit // Management Science, 1956. – Vol. 3, No. 1. – P. 102–110.

[10]Miller M. H., Modigliani F. Dividend Policy, Growth and the Valuation of Shares // Journal of Business, 1961. – Vol. 34. – P. 411-433.

[11]Ohlson J.A. Earnings, Book Values, and Dividends in Equity Valuation // Contemporary Accounting Research, 1995. – Vol. 11, No. 2. – P. 661-687

[12]Williams J.B. The Theory of Investment Value. – Cambridge: Harvard University Press, 1938. – 613 p.

100