Математические модели оценки финансовых активов. Учебное пособие
.pdf
Глава 2
Потоки платежей
Потоком платежей (cash flow) называется последовательность CF = f(tk; Ck); k = 1; Ng платежей Ck, осуществляемых в моменты времени tk, где 0 6 t1 < t2 < ::: < tk < ::: . Положительные платежи (Ck > 0) представляют собой поступления, а отрицательные платежи (Ck < 0) - перечисления. Потоки платежей могут быть конечными (N 2 N) или бесконечными (N = 1).
Величиной (стоимостью) потока платежей V (t) в момент времени t называется сумма всех платежей потока, дисконтированных (приведенных) к этому моменту времени
N |
|
X |
|
V (t) = Ck(1 + rk)tt k ; |
(2.0.1) |
k=1
где rk – процентная ставка для платежа Ck, осуществляемого в момент времени tk.
Приведенной величиной (стоимостью) потока (present value, PV) называют сумму всех платежей потока, приведенных (дисконтированных) к начальному моменту времени t = 0:
|
N |
Ck |
|
|
P V = V (0) = |
X |
(2.0.2) |
||
|
||||
k=1 |
(1 + rk)tk |
|||
|
|
|||
|
|
|
11
Важным преимуществом приведенных стоимостей является то, что они выражены в денежных единицах на один и тот же момент времени и поэтому их можно складывать. Приведенная стоимость суммарного потока CF1 [CF2 равна сумме приведенных стоимостей потоков CF1 и CF2:
P V (CF1 [ CF2) = P V (CF1) + P V (CF2)
Понятие приведенной стоимости позволяет также сравнивать различные денежные потоки. Считается, что финансовый поток CF1 предпочтительнее потока CF2, если
P V (CF1) > P V (CF2)
Будущей величиной (стоимостью) потока (future value, FV) называют сумму всех платежей потока, приведенных к будущему моменту времени T , tk 6 T; k = 1; N:
N |
|
X |
|
F VT = V (T ) = Ck (1 + rk)Tt k |
(2.0.3) |
k=1
Если применяется непрерывное начисление процентов, то для вычисления приведенной и будущей величины потока платежей применяются формулы:
N |
N |
|
X |
X |
|
P V = Ck er k tk ; F VT = |
Ck erk (Tt k) |
(2.0.4) |
k=1 |
k=1 |
|
В дальнейшем будем рассматривать случай плоской структуры процентных ставок, когда для всех сроков платежей используется одна и та же процентная ставка r, т.е. 8k = 1; N rk = r.
2.1Будущая стоимость потока равных платежей
Аннуитет (рента) это поток равных друг другу денежных платежей, выплачиваемых через определённый промежуток времени.
12
Замечание. Аннуитет может быть конечным или бесконечным.
Пусть задан конечный аннуитет f(t; A); t = 1; Ng: Сведем все платежи, составляющие аннуитет, и проценты, начисляемые на эти платежи, в одну таблицу:
t = 0 |
t = 1 |
|
t = 2 |
|
::: |
|
t = N |
|
|
A |
|
A(1 + r) |
|
::: |
|
A(1 + r)N1 |
|
|
|
|
A |
|
::: |
|
A(1 + r)N2 |
|
::: |
::: |
|
::: |
|
::: |
|
::: |
|
|
|
|
|
|
::: |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммируя последний столбец, получаем |
|
|
|
|
||||
F VN = A(1 + r)N1 |
|
|
|
|
(1 + r)N 1 |
|||
+ ::: + A(1 + r) + A = A |
|
(2.1.1) |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
Для потока неравных платежей f(k; Ak); k = 1; Ng имеем следующую формулу для будущей стоимости потока платежей:
N |
|
F VN = Ak(1 + r)Nk |
(2.1.2) |
X
k=1
2.2Будущая стоимость растущего потока платежей
Рассмотрим случай A1 = A; A2 = A(1+g); :::; Ak = A(1+g)k1 ; :::, тогда
N N
X |
X |
|
|
|
|
|
|
F VN = Ak(1 + r)Nk = A(1 + g)k1 (1 + r)Nk |
(2.2.1) |
||||||
k=1 |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
Если r 6=g, то |
|
|
|
|
|
|
|
F VN = A (1 + g)N1 |
(1 + r)Nk = A(1 + g)N1 |
1+r |
N |
||||
1+r |
= |
||||||
N |
Nk |
|
|
1+g |
1 |
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
(1 + g) |
|
|
1+g |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
13
= A |
(1 + r)N |
(1 + g)N |
|
(2.2.2) |
|
r |
g |
||||
|
|
||||
Если r = g, то |
|
|
|
||
N |
|
|
|
||
F VN = A (1 + r)N1 = A N (1 + r)N1 |
(2.2.3) |
||||
k=1 |
|
|
|
||
X |
|
|
|
||
2.3Приведенная стоимость потока равных платежей
Пусть задан аннуитет f(t; A); t = 1; Ng: Сведем в одну таблицу все платежи, составляющие аннуитет, и соответствующие платежи, приведенные к моменту t = 0:
|
|
t = 0 |
|
t = 1 |
|
|
|
t = 2 |
|
::: |
|
t = N |
||||||||
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
::: |
|
|
||||
|
|
|
1+r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
::: |
|
|
|||||
|
|
(1+r)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
::: |
|
|
|
|
::: |
|
|
|
|
::: |
|
|
::: |
|
::: |
|||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
::: |
|
A |
|||
(1+r)N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Суммируя первый столбец в таблице, получаем |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
P V = |
A |
+ |
|
|
A |
+ ::: + |
|
A |
(2.3.1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(1 + r) |
(1 + r)2 |
(1 + r)N |
||||||||||||||
Здесь A – размер аннуитета, r – процентная ставка за период, соответствующая частоте аннуитетных платежей, N – количество аннуитетных платежей. Тогда
P V = (1 + r) "1 + |
|
|
|
# = A |
1 |
1 |
|
|||
1 + r |
+ ::: + (1 + r)N1 |
r |
|
|||||||
|
A |
|
1 |
|
1 |
|
(1+r)N |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3.2)
Пример 2.1. Менеджер пенсионного фонда ожидает, что пенсионерам будут выплачиваться пенсии в размере 1 млн руб. в
14
год. Увольнения на пенсию не будут происходить в ближайшие 9 лет до момента времени t = 10. После того как выплаты начнутся, они будут происходить до момента t = 39, всего будет 30 платежей. Какова приведенная стоимость пенсионных обязательств, если соответствующая годовая ставка дисконтирования составляет 5%?
Решение: Сведем в таблицу выплаты пенсионного плана:
t = 0 |
::: |
t = 9 |
t = 10 |
::: |
t = 39 |
|
|
|
|
|
|
0 |
::: |
0 |
1 000 000 |
::: |
1 000 000 |
|
|
|
|
|
|
Расчет приведенной стоимости обязательств производится в два этапа, вначале для A = 1 000 000; r = 5%; N = 30 применяем формулу (2.3.2):
1 |
1:0530 |
|
|
P V (t = 9) = 1 000 000 |
|
|
= 15 372 451 |
|
0:05 |
||
|
|
|
|
Далее для N = 9; r = 5%; F VN = 15 372 451 по формуле (1.4.2)
получаем
P V (t = 0) = 15 372 451 = 9 909 219 1:059
Общая формула для нахождения приведенной стоимости потока неравных платежей f(k; Ak); k = 1; Ng
|
N |
Ak |
|
|
P V = |
X |
(2.3.3) |
||
|
||||
|
(1 + r)k |
|||
|
|
|
k=1
2.4Приведенная стоимость потока растущих платежей
Рассмотрим случай A1 |
= A; A2 = A(1+g); :::; Ak = A(1+g)k1 ; :::, |
|||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
N |
|
Ak |
N |
A(1 + g)k1 |
|
|
X |
|
|
X |
|
(2.4.1) |
|
P V = |
|
(1 + r)k |
= |
k=1 |
(1 + r)k |
|
k=1 |
|
|
|
|
||
15
Если r 6=g, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
P V = A |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 |
|
|
1+g N |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+r |
||||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+r |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 + g |
|
1+g |
|
|
|
|
1 + g |
|
1+g |
1 |
|
|
|||||||||
k=1 |
|
|
|
|
1+r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
= |
|
A |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
(2.4.2) |
||||||||
|
r |
g |
4 |
|
1+g N |
5 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если r = g, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
A N |
|
|
|
|
|||||
P V = A |
|
|
|
(1 + r)1 |
= |
1 + r |
|
(2.4.3) |
|||||||||||||
k=1
Пример 2.2. Годовые доходы компании на конец года возрастают в 1.5 раза по сравнению с предыдущим годом в течение первых 5 лет. В течение следующих 10 лет годовые доходы постоянны. Чему равна приведенная стоимость всех доходов компании при норме доходности 15% годовых, если в первый год доход оценивается в 10 млн руб.?
Решение: В первые 5 лет имеем растущие доходы по ставке g = 50%, поэтому по формуле (2.4.2) в млн руб. имеем
P V1;5 (t = 0) = 0:1510 |
0:5 1 |
|
11::15 |
|
! |
= 79:2982 |
||
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
Стоимость доходов компании с 6 по 15 год, приведенная к концу 5 года, по формуле (2.3.2) равна
P V6;15 (t = 5) = |
10 |
1 |
1 |
= 254:0752 |
|
|
|||
0:15 |
1:1510 |
По формуле (1.4.2) стоимость доходов компании с 6 по 15 год, приведенная к началу первого года, равна
254:0752
P V6;15 (t = 0) = 1:155 = 126:3202
Итак, приведенная стоимость всех доходов равна
P V1;15 (t = 0) = 79:2982 + 126:3202 = 205:6184
16
2.5Приведенная стоимость бесконечного потока платежей
В случае бесконечного аннуитета (N = 1) имеем
1 |
A |
|
N |
A |
|
1 |
1 |
|
A |
||
|
|
(1+r)N |
|
||||||||
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
P V = |
|
|
= lim |
|
|
= lim A |
|
|
= |
|
|
k=1 |
(1 + r) |
|
N!1 k=1 |
(1 + r) |
|
N!1 |
r |
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5.1) |
|||
Пример 2.3. Правительство Великобритании выпустило ценную бумагу, называемую вечной облигацией (console bond), по которой проценты выплачиваются без ограничения срока (бесконечно). Если по вечной облигации ежегодно выплачивается 100 GBP, то сколько будет стоить эта вечная облигация, если требуемая норма доходности равна 5% годовых?
Решение: A = 100; r = 5%; P V = 100=0:05 = 2 000 GBP
В случае бесконечного растущего потока платежей при r > g имеем:
P V = |
A (1 + r)k |
= Nlim r g |
21 |
|
1+r |
N |
3 |
= r |
g |
|||
1 |
(1 + g)k1 |
|
A |
4 |
|
1 |
|
5 |
|
|
A |
|
k=1 |
|
!1 |
|
|
1+g |
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
(2.5.2) |
|||||
При r < g ряд расходится.
Подробное изложение моделей потоков платежей и связанных с ними задач содержится в книгах [1], [2].
17
Глава 3
Инвестиционные проекты
Инвестиционный проект это план вложения денежных средств в активы и разного рода мероприятия с целью получения прибыли (прироста капитала) или решения социальных задач.
Под бизнес-планом инвестиционного проекта понимают набор финансовой и нефинансовой информации, имеющей отношение к проекту.
При анализе инвестиционного проекта должна быть выбрана ставка дисконтирования r > 0, которая интерпретируется как стоимость капитала/альтернативная доходность.
Инвестиционный проект I это набор следующих финансовых данных:
|
|
|
(3.0.1) |
I = fr; (tk; CFtk ); k = 0; N; t0 < t1 < ::: < tN g |
|||
Здесь CFt 6= 0; CFt > 0 – поступление (приток) денежных
k k
средств, CFtk < 0 – перечисление (отток) денежных средств. Инвестиционный проект на оси времени можно изобразить следующим образом:
|
CF0 |
CF1 |
CF2 |
CF3 |
... |
CFn |
|
|
t0 |
t1 |
t2 |
t3 |
... |
tn |
t |
18
Как правило, при анализе проектов в качестве периода рассматривается год, т.е. tk = k; k = 0; N, при этом срок жизни проекта может быть конечным N 2 N или бесконечным N = 1.
Регулярный (conventional) инвестиционный проект это инвестиционный проект, в котором
CF0 < 0; CFt > 0; 8t > 0 |
(3.0.2) |
Цель анализа инвестиционных проектов решить оптимизационную задачу, а именно из совокупности инвестиционных проектов fI gn=1 отобрать проекты, максимизирующие некоторый заданный функционал V (fI gn=1); возможно, при наличии ограничений. В качестве функционала V выступает, как правило, приведенная стоимость совокупности выбранных инвестиционных проектов.
Анализ инвестиционных проектов базируется на следующих основных принципах [3]:
1.Решения базируются на денежных потоках (а не бухгалтерских показателях, таких, как прибыль).
2.Учитывается время денежного потока.
3.Анализируются изменения денежных потоков (инкрементальные денежные потоки) с учетом упущенной выгоды.
4.Рассматриваются денежные потоки после уплаты налогов.
5.Стоимость финансирования игнорируется (т.к. учтена в ставке дисконтирования).
3.1Чистая приведенная стоимость
Чистая приведенная стоимость (net present value, NPV) инвестиционного проекта I = fr; (t; CFt); t = 0; Ng это приведенная (к моменту времени t = 0) стоимость денежных потоков
19
проекта:
|
N |
CFt |
|
|
NP VI (r) = |
Xt |
(3.1.1) |
||
(1 + r)t |
||||
|
||||
|
=0 |
|
||
|
|
|
В этой формуле CFt – ожидаемый денежный поток в момент времени t, N – прогнозируемый срок жизни инвестиционного проекта, r > 0 – ставка дисконтирования (альтернативная стоимость капитала).
Показатель NPV показывает величину денежных средств, которую инвестор ожидает получить от проекта после того, как денежные поступления окупят первоначальные и последующие затраты, связанные с осуществлением проекта. NPV можно также интерпретировать как стоимость, добавляемую проектом. В инвестиционном анализе широко применяется критерий NPV [3]:
Инвестиционный проект I со ставкой дисконтирования r должен быть принят, если NP VI (r) > 0, и должен быть отклонен, если
NP VI (r) < 0.
Замечание. Если NP VI (r) = 0, то данный проект не приносит инвестору дополнительной стоимости и решение о судьбе этого проекта принимается с учетом дополнительной информации.
Пример 3.1. Рассматривается инвестиционный проект, по которому при инвестировании 1 000 000 руб. ожидаются ежегодные поступления 150 000 руб. в течение неограниченного времени (N = 1). Стоимость капитала 10%. Выяснить, следует ли принять этот инвестиционный проект.
Решение: В млн руб. CF0 = 1; CFt = 0:15 8t 2 N;
1 |
0:15 |
|
0:15 |
|
|||
Xt |
|
|
|
|
|
||
t |
= 1 + |
= 0:5 > 0 |
|||||
NP V = 1 + |
|
||||||
=1 |
1:1 |
|
|
0:1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, проект можно принять.
20