Математические модели оценки финансовых активов. Учебное пособие

Эти две стратегии приводят к экономически эквивалентному портфелю активов в момент времени T , поэтому для исключения возможности арбитража затраты в момент времени t должны быть одинаковыми, т.е. выполняется соотношение (7.3.1).

Из доказанного утверждения вытекает следующее следствие.

Утверждение 7.3. Форвардная цена Ft актива, не приносящего текущий доход и не имеющего текущих издержек, определяется по формуле

(для случая дискретного начисления процентов).

Замечание. Форвардная цена Ft актива, не приносящего текущий доход и не имеющего текущих издержек, больше спотовой цены St.

Любое отклонение от формулы (7.3.1) будет создавать арбитражные возможности.

Пример 7.4. Пусть St = 100; r = 5%; = 1, отсюда справедливая форвардная цена Ft = St er = 105:13 руб..

Если, скажем, на рынке F = 110 руб., то

1.покупаем (дешевый) актив по спотовой цене 100 руб., для этого занимаем 100 руб.

2.продаем (дорогой) актив по форвардной цене 110 руб.

Вмомент исполнения форварда передаем купленный ранее актив, получаем 110 руб., отдаем займ с процентами в размере 105.13 руб. Прибыль составляет 4.87 руб.

Если на рынке F = 102 руб., то

71

1.продаем (дорогой) актив по спотовой цене 100 руб., получаем 100 руб. и инвестируем по безрисковой ставке.

2.покупаем (дешевый) актив по форвардной цене 102 руб.

Вмомент исполнения форварда получаем 105.13 руб. от инвестирования средств, платим 102 руб. за актив, получаем актив, передаем полученный актив. Прибыль составляет 3.13 руб.

Рассмотрим теперь заключенный ранее форвардный контракт, в котором базовый актив не приносит текущего дохода и не имеет текущих издержек и в котором цена поставки актива в момент времени T фиксирована и равна K; причем, вообще говоря, K 6=

Ft.

Утверждение 7.5. Если на рассматриваемом промежутке времени [t; T ] базовый актив не приносит текущего дохода (дивидендов, процентов и т.п.) и не имеет текущих издержек (плата за хранение и т.п.), то цена Vt форвардного контракта с ценой исполнения K определяется из уравнения

Доказательство. Рассмотрим следующие стратегии:

1.Покупаем единицу актива по спотовой цене St и держим до момента времени T .

2.Заключаем форвардный контракт на покупку единицы того же актива по цене K. Резервируем необходимый объем средств для совершения платежа K, а именно P V (K) плюс платим рыночную цену форвардного контракта Vt.

Для наглядности составим таблицу с платежами:

72

Отсюда из безарбитражности получаем уравнение (7.3.4)

Следовательно, справедливо

Утверждение 7.6. Стоимость (для покупателя) Vt форвардного контракта с ценой исполнения K на актив, не приносящий текущий доход и не имеющий текущих издержек, определяется по формуле

Замечание. Если Ft – текущая форвардная цена актива, т.е. St = P V (Ft), то стоимость форвардного контракта с ценой исполнения K равна

Vt = St P V (K) = P V (Ft) P V (K) = P V (Ft K)

Таким образом, текущая стоимость заключенного форвардного контракта определяется путем заключения компенсирующего (противоположного) форвардного контракта по текущей форвардной цене и дисконтирования денежных потоков в момент исполнения контрактов.

7.4Форварды на актив с текущими доходами (расходами)

Рассмотрим теперь форвардные контракты с текущими доходами/расходами по базовому активу. Примерами таких доходов

73

являются дивиденды по акциям, купонные платежи по облигациям, проценты по депозиту в иностранной валюте и т.п.

Примерами расходов по базовому активу являются плата за хранение ценных бумаг, плата за хранение товаров (нефти, зерна, металлов) и т.п.

Доходы/расходы по базовому активу могут быть в денежной форме или в форме увеличения/уменьшения количества базового актива.

Пусть C = f(Ci; ti) ; Ci > 0; t 6 ti 6 T g - дискретные расходы в денежной форме (например, плата за хранение), связанные с базовым активом, а D = f(Dj; tj) ; Dj > 0; t 6 tj 6 T g - дискретные доходы в денежной форме (дивиденды или купонные платежи) по базовому активу. Справедливо

Утверждение 7.7. Форвардная цена актива с текущими доходами D и/или издержками C определяется из уравнения

Доказательство. Рассмотрим следующие стратегии:

1.В момент t покупаем единицу актива по спотовой цене St и держим до момента времени T , при этом резервируем в момент t и размещаем по безрисковой ставке необходимый объем средств P V (C) для оплаты предстоящих расходов по активу, привлекаем средства в размере P V (D), погашение будет производиться за счет доходов по активу.

2.Заключаем форвардный контракт на покупку единицы того же актива по форвардной цене Ft, резервируем в момент t необходимый объем средств для совершения платежа Ft в момент времени T , а именно P V (Ft), и размещаем эти средства по безрисковой процентной ставке r.

Составим следующую таблицу с платежами:

74

Эти две стратегии приводят к экономически эквивалентному портфелю активов в момент времени T , поэтому для исключения возможности арбитража затраты в момент времени t должны быть одинаковыми, т.е. выполняется соотношение (7.4.1).

Пример 7.8. Акция ценой 100 руб., по которой через три месяца платится дивиденд D = 1 руб.:

Для того чтобы иметь 1 акцию через 3 месяца, нам необходимо проинвестировать сумму

St P V (D) = 100 0:99 = 99:01

По некоторым видам активов доходы (расходы) начисляются непрерывно в форме увеличения (уменьшения) количества самого базового актива.

75

Примером такого актива является иностранная валюта, по которой проценты начисляются по безрисковой ставке в иностранной валюте. В случае иностранной валюты с течением времени изменяется спотовый курс иностранной валюты и одновременно увеличивается само количество иностранной валюты ввиду начисления процентов. Другим примером являются дивиденды по акциям в форме новых акций.

Если доходы (расходы) по активу начисляются непрерывно в форме увеличения (уменьшения) количества самого актива, то в момент времени T вместо единицы актива мы будем иметь edc =egc единиц актива. Тогда уравнение для определения форвардной цены изменится.

Утверждение 7.9. Форвардная цена Ft (T ) актива с доходами и расходами в форме увеличения и уменьшения количества самого актива со ставками доходов dc и расходов gc определяется из уравнения

Доказательство. Рассмотрим следующие стратегии:

egc (Tt)

1. В момент t покупаем по спотовой цене St edc (Tt) единиц актива и держим до момента времени T . За счет начисления доходов и расходов по активу к моменту времени T будем иметь ровно единицу актива.

2.Заключаем форвардный контракт на покупку единицы того же актива по форвардной цене Ft, резервируем в момент t необходимый объем средств для совершения платежа Ft в момент времени T , а именно P V (Ft), и размещаем эти средства по безрисковой процентной ставке r.

Составим следующую таблицу с платежами:

76

Эти две стратегии приводят к экономически эквивалентному портфелю активов в момент времени T (портфель будет состоять из единицы базового актива), поэтому для исключения возможности арбитража затраты в момент времени t должны быть одинаковыми, т.е. выполняется соотношение (7.4.2).

Замечание. Форвардная цена актива отличается от спотовой цены, отражая временную стоимость денег и доходность актива. Форвардная цена выше спотовой, если доходность актива меньше безрисковой ставки, и наоборот.

Пусть r – безрисковая процентная ставка по иностранной валюте, тогда для форвардного курса иностранной валюты имеем формулы:

(1+r)

Ft = St (1+r ) (дискретное начисление процентов);

Ft = St er =er (непрерывное начисление процентов).

Можно показать, что заключенные ранее форвардные контракты с текущими доходами и/или расходами могут быть оценены следующим образом.

Утверждение 7.10. Стоимость (для покупателя) Vt форвардного контракта с ценой исполнения K на актив с текущими доходами D и/или издержками C определяется из уравнения

77

Утверждение 7.11. Стоимость (для покупателя) Vt форвардного контракта с ценой исполнения K на актив с доходами и расходами в форме увеличения и уменьшения количества самого актива определяется из уравнения

Основными видами форвардных контрактов являются следующие:

1)форварды на акции;

2)форварды на облигации и соглашения о форвардной процентной ставке (FRA);

3)валютные форварды;

4)товарные форварды.

7.5Форварды на акции

Форвардный контракт на акции (equity forward) может заключаться на конкретную акцию, на портфель акций или на фондовый индекс.

При расчете форвардной цены акции и цены форвардного контракта на акции необходимо учитывать дивиденды по акциям.

Формулы для расчета форвардной цены акции в момент времени t = 0 имеют следующий вид:

1.для дискретных дивидендов (дивиденды в размере Dk выплачиваются в момент времени tk; k = 1; m, 0 < t1 < ::: <

78

tm 6 T ) и дискретного начисления процентов (дисконтирования)

k=1

2.для непрерывных дивидендов по ставке dc и непрерывного начисления процентов (дисконтирования) по ставке rc

Замечание. Если известна ставка r для дискретного начисления процентов, то ставка для непрерывного начисления процентов может быть получена по формуле rc = ln(1 + r).

Формулы для расчета цены форвардного контракта в момент времени t 2 (0; T ) имеют вид:

1.для дискретных дивидендов и дискретного начисления процентов (дисконтирования)

>t

2.для непрерывных дивидендов и непрерывного начисления процентов (дисконтирования)

79

Пример 7.12. Управляющий активами ожидает, что средства поступят через 200 дней и будут направлены на покупку конкретной акции. Акция, которую он планирует купить, торгуется сейчас по 62.50 руб., по акции через 50 и 140 дней будут выплачиваться дивиденды 0.75 руб. на акцию. Безрисковая ставка составляет 4.2% годовых. Управляющий решает совершить будущую покупку акции путем занятия длинной позиции по форвардному контракту на акцию.

1.По какой цене сможет управляющий активами купить акцию через 200 дней по форвардному контракту?

2.Допустим, что управляющий активами купил акцию по соответствующей форвардной цене. Через 75 дней акция стоит на рынке 55.75 руб. Определите цену форвардного контракта в этот момент времени.

3.Пусть на дату исполнения форвардного контракта цена акции 58.50 руб. Определите цену форвардного контракта в этот момент времени.

Итак, в рассматриваемом примере S0 = 62:50; T = 200=365; D1 = 0:75; t1 = 50=365; D2 = 0:75; t2 = 140=365; r = 0:042

1. Найдем приведенную стоимость дивидендов:

0:75=(1:042)50=365 + 0:75=(1:042)140=365 = 1:48

Теперь вычислим форвардную цену:

F0(T ) = F0(200=365) = (62:50 1:48)(1:042)200=365 = 62:41

2.Найдем приведенную стоимость дивидендов через 75 дней после заключения контракта. Первый дивиденд уже выплачен, поэтому он не учитывается в расчетах. Второй дивиденд будет выплачен через 65 дней, поэтому его приведенная стоимость равна

0:75=(1:042)65=365 = 0:74

80