Математические модели оценки финансовых активов. Учебное пособие

Пусть теперь стоимость капитала равна 15%, тогда

В этом случае критерий NPV не дает ответа на поставленный вопрос.

3.2Внутренняя норма доходности

Внутренняя норма доходности (internal rate of return, IRR) инвестиционного проекта I это значение ставки дисконтирования, при котором чистая приведенная стоимость проекта равна нулю, т.е. для того, чтобы найти IRR, нужно решить уравнение

относительно IRR > 0.

При N 2 N это уравнение представляет собой алгебраическое уравнение степени N. В общем случае решение уравнения (3.2.1) определено неоднозначно или может не сущестововать. Справедлив критерий IRR [3]:

Если внутренняя норма доходности IRR регулярного инвестиционного проекта I определена, то инвестиционный проект I со ставкой дисконтирования r должен быть принят, если IRR > r; и отклонен, если IRR < r:

Пример 3.2. Подсчитать IRR для проекта из примера 3.1.

Решение: Делаем расчет в млн руб.:

21

Для регулярных инвестиционных проектов в силу монотонности (убывания) функции s = NP V (r) точка r = IRR представляет собой единственную точку пересечения графика этой функции с осью абсцисс, поэтому NP V (r) > 0 тогда и только тогда, когда

IRR > r.

Можно показать, что если фиксирована ставка дисконтирования r > 0 регулярного инвестиционного проекта I и определена внутренняя норма доходности IRR, то критерий NP V эквивалентен критерию IRR.

Пример 3.3. ООО “Гомеоморфизм” рассматривает инвестиционный проект стоимостью 750 тыс. руб., имеющий ожидаемые денежные потоки в размере 175 тыс. руб. в течение 7 лет. Требуемая норма доходности 10% годовых. Чему равны показатели NP V и IRR этого проекта?

Решение: Делаем расчет NP V по формуле (3.1.1) в тыс. руб.:

= 750 + 852 = 102

Для нахождения IRR необходимо решить относительно IRR уравнение

Данное уравнение представляет собой алгебраическое уравнение седьмой степени относительно IRR. Решая это уравнение численными методами, получаем решение IRR = 0:14.

22

Глава 4

Процентная ставка

В соответствии с принципом временной стоимости денег процентная ставка это цена денег как средства сбережения. Процентная ставка не может быть отрицательной.

4.1Ставка дисконтирования модели CAPM

Модель оценки стоимости активов CAPM (Capital Asset Pricing Model) [3] была разработана в 60-х годах прошлого столетия на основе портфельной теории Г. Марковица. Как известно, стоимость актива определяется путем дисконтирования будущих ожидаемых доходов под процентную ставку, соответствующую риску актива. Модель CAPM не дает непосредственного ответа на вопрос, какой должна быть цена актива, однако позволяет определить ставку дисконтирования, используемую для расчета стоимости финансового инструмента.

В рамках CAPM в качестве меры риска актива принимается показатель бэта актива a, представляющий собой коэффициент чувствительности актива к изменениям рыночной доходности rm; а именно a = cov (ra; rm) = 2 (rm) ; при этом требуемая (ожидаемая) норма доходности актива ra вычисляется по фор-

23

где rf – безрисковая процентная ставка, E [rm] – ожидаемая рыночная доходность, E [rm] rf – премия за риск. Коэффициент a может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

При a = 1 имеем E [ra] = rf + (E [rm] rf ) = E [rm] и ожидаемая доходность актива равна ожидаемой рыночной доходности.

При a > 1 имеем E [ra] = E [rm] + ( 1) (E [rm] rf ) ; тогда актив относится к классу ¾высокорисковых¿, т.е. при росте рынка актив будет иметь доходность выше рыночной, а при падении рынка он будет приносить убытки выше рыночных.

При 0 < a < 1 имеем E [ra] = E [rm] (1 ) (E [rm] rf ) ;

тогда актив относится к классу ¾защитных¿, т.е. при падении рынка актив будет приносить убытки меньше рыночных, но при росте рынка он будет иметь доходность ниже рыночной.

При a = 0 имеем E [ra] = rf и ожидаемая доходность актива не зависит от ожидаемой рыночной доходности.

Отрицательное значение a показывает, что доходности актива и рынка изменяются в противоположных направлениях.

Пример 4.1. Компания “Система” оценивает инвестиционный проект со следующими характеристиками: первоначальные вложения 150 000 руб., годовые операционные денежные потоки (после налогообложения) 28 000 руб., остаточная стоимость оборудования (после налогообложения) в момент завершения проекта 20 000 руб., срок проекта 10 лет, бэта проекта 1.2, безрисковая ставка 4.2%, ожидаемая доходность рынка акций 9.4%. Вычислите показатели NPV и IRR проекта. Должен ли проект быть принят?

Решение: Вычисляем ставку дисконтирования согласно (4.1.1):

E [ra] = rf + a (E [rm] rf ) = 4:2%+1:2 (9:4% 4:2%) = 10:44%

24

Теперь для ставки дисконтирования r = 0:1044 имеем

=1

IRR = 14:24% > 10:44%

Таким образом, проект должен быть принят.

4.2Стоимость и структура капитала

Стоимость капитала для компании представляет собой норму доходности, которую хотят получить поставщики капитала – держатели облигаций и акционеры компании. Стоимость капитала для компании оценивается исходя из средней рискованности активов компании и ее финансовой структуры.

Капитал компании включает в себя:

1)акционерный (собственный) капитал, состоящий из обыкновенных и привилегированных акций;

2)заемный капитал, состоящий из облигаций и других видов заимствований.

Средневзвешенная стоимость капитала (weighted average cost of capital, WACC) вычисляется по формуле [3]:

где wd – доля заемных средств в структуре капитала, rd – требуемая или ожидаемая доходность заёмных средств, we – доля обыкновенных акций, re – требуемая или ожидаемая доходность обыкновенных акций, wp – доля привилегированных акций, rp – требуемая или ожидаемая доходность привилегированных акций, T – ставка налога на прибыль. Если D – размер заемных

25

средств, E – рыночная стоимость обыкновенных акций, P – рыночная стоимость привилегированных акций, D + E + P – суммарный капитал, то коэффициенты wd; we; wp вычисляются по формулам:

Замечание. Величина D rd T называется налоговым освобождением (защитой). Это связано с тем, что в большинстве стран проценты по заемным средствам уменьшают прибыль до налогообложения, а дивиденды по акциям платятся из чистой прибыли (после налогообложения).

Пример 4.2. Пусть прибыль компании до налогообложения равна EBIT = 1 000 000 руб., T = 40%.

Если долг отсутствует, т.е. D = 0; то размер налога равен

EBIT T = 400 000

Если компания имеет долг в размере D = 2 000 000 с процентной ставкой rd = 10%, то размер налога равен

(EBIT D rd) T = 320 000

Разница в размерах налога представляет собой налоговую защиту

D rd T = 400 000 320 000 = 80 000

26

Глава 5

Оценка акций

Акция (equity, share, stock) эмиссионная ценная бумага, закрепляющая права ее владельца (акционера) на получение части прибыли акционерного общества в виде дивидендов, на участие в управлении акционерным обществом и на часть имущества, остающегося после его ликвидации.

Различают обыкновенные и привилегированные акции.

Обыкновенные акции дают право на участие в управлении обществом (одна акция соответствует одному голосу на собрании акционеров) и участвуют в распределении прибыли акционерного общества.

Привилегированные акции могут вносить ограничения на участие в управлении, но приносят постоянные дивиденды (часто фиксированные в виде определенной доли от бухгалтерской чистой прибыли или в абсолютном денежном выражении).

Доход владельца акций образуется из дивидендов и прибыли от продажи акции.

Если денежные потоки по акции равны f(t; CFt); t = 1; ng, то акция оценивается по общей формуле дисконтирования денежных

27

Возникает вопрос о том, как определить денежные потоки по акции. На практике наиболее часто применяют один из трех подходов:

1.Денежными потоками считают дивиденды по акции.

2.Денежными потоками считают часть свободных денежных потоков компании - эмитента акции, приходящихся на одну акцию.

3.Денежными потоками считают остаточную прибыль на акцию.

5.1Метод дисконтирования дивидендов

В методе дисконтирования дивидендов денежными потоками по акции считаются ожидаемые дивиденды по акции.

Пусть в момент времени t 2 N по акции ожидается выплата дивиденда в размере Dt, тогда, учитывая дивиденды за n периодов времени, получим

Как правило, период существования компании предполагается бесконечным, поэтому, устремляя n к бесконечности, получим

Это общая форма модели дисконтирования дивидендов, впервые предложенная Дж. Вильямсом [12].

Замечание. В случае постоянных дивидендов Dt = D = const поток дивидендов представляет собой постоянный бесконечный аннуитет, поэтому

28

5.1.1Модель Гордона

Модель разработана М. Гордоном и Е. Шапиро [9].

Модель предполагает, что дивиденды растут бесконечно долго с постоянной скоростью роста, а именно:

где g – ожидаемая постоянная скорость (ставка) роста дивидендов. При этом предполагается, что скорость роста дивидендов g не превышает размер ставки дисконтирования r, т.е. r > g, в противном случае ряд из дисконтированных дивидендов расходится.

Утверждение 5.1. Стоимость акции в модели Гордона равна

Доказательство. Формула получается суммированием бесконечной геометрической прогрессии.

Замечание. Другой вариант формулы стоимости акции в модели Гордона

Пример 5.2. Финансовый аналитик оценивает компанию “Симплекс”, по которой известна следующая информация:

последние годовые дивиденды компании составили 1.04 руб.;

прогнозируется дальнейший рост годовых дивидендов в размере 6% в год;

компанию имеет бэту 1.13, премия за риск акций составляет 4.5%, безрисковая ставка равна 5% годовых.

Финансовый аналитик считает, что для оценки компании может быть применена модель Гордона.

29

1.Используя CAPM, оценить требуемую доходность по акции.

2.Вычислить стоимость акции согласно модели Гордона.

3.Пусть текущая цена акции составляет 30.18 руб. Выясните, оценена ли акция компании “Симплекс” справедливо.

Решение:

3.Рыночная цена 30.18 руб. более чем на 12% превышает оценку согласно модели Гордона 26.89 руб., поэтому акция является переоцененной.

Замечание. Модель Гордона работает также в случае снижающихся дивидендов, когда g < 0.

Пример 5.3. Компания “Синус” является прибыльной, в следующем году ожидаются дивиденды в размере 4.25 руб. на акцию. В связи с закрытием ряда филиалов компании планируется, что уровень дивидендов будет снижаться темпами 10% в год. Требуемая норма доходности по акциям компании составляет 12%. Чему равна справедливая стоимость акций компании?

Каким может быть уровень ставки роста дивидендов g? Для развитых стран уровень роста реального ВВП равен 1-3%, поэтому долгосрочные темпы роста дивидендов должны быть сопоставимы с этой величиной, составляя, скажем, 3-5%.

Знание рыночной цены акции позволяет определить значение ставки роста дивидендов g, при которой стоимость акции в модели Гордона будет совпадать с рыночной ценой. Такая ставка роста дивидендов называется вмененной (implied).

30