Математические модели оценки финансовых активов. Учебное пособие

же процентной ставки y > 0, тогда текущая стоимость облигации равна

k=1

Здесь k – номер периода времени, за который выплачивается купон, Ck – денежный поток (купон и/или номинал облигации) за период k, N – количество периодов до погашения облигации, y – ставка дисконтирования за период.

Типичный купонный период для облигаций – полгода, тогда y = ys=2, где ys – объявленная годовая ставка процентов.

Важные примеры облигаций:

бескупонная облигация имеет ДП f(T; F )g, где F – номинал облигации:

бесконечная облигация имеет ДП f(k; cF ); k 2 Ng, где cF – размер купонной выплаты:

облигация с фиксированной купонной ставкой име-

ет ДП f(k; cF ); k = 1; N 1; (N; cF + F )g:

Пусть P0 – текущая рыночная цена облигации с ДП (6.1.1). Тогда доходность облигации к погашению y это ставка дисконтирования за период, при которой приведенная стоимость

51

ДП облигации (6.1.1) равна рыночной цене облигации P0, т.е. выполняется равенство

Равенство (6.1.6) можно рассматривать как уравнение относительно переменной y > 0.

Если требуется оценить доходность облигации к погашению в середине купонного периода при t 2 (ti; ti+1) ; i = 1; N 1; то уравнение для определения доходности будет иметь вид

=i+1

Формула (6.1.7) дает нам величину, которая называется полной ценой облигации, это та цена, которую платит покупатель, когда он покупает облигацию. Полная цена облигации Pt является функцией времени t, имеющей разрывы первого рода при t = ti: Однако на финансовых рынках облигации не котируются по полной цене. Котируемая цена облигации это чистая цена, которая не включают т.н. накопленный купонный доход.

Накопленный купонный доход (НКД) это начисленный процентный доход по облигации за период с момента выплаты последнего купона по облигации до настоящего момента. Если обозначить через t текущий момент времени, через ti дату выплаты последнего купона, а через ti+1 дату выплаты следующего купона, то формула для расчета накопленного купонного дохода выглядит так:

где Ci+1 - размер купона, выплачиваемого в момент ti+1, тогда котируемая цена облигации может быть выражена как

52

Можно показать, что котируемая цена облигации PtQ (y) является функцией, непрерывной по t и y.

Курсом K облигации называется рыночная цена облигации, выраженная в виде процента от номинала, т.е. K = P=F .

Расчет НКД требует применения соглашения о расчете срока между датами. Это соглашение определяет порядок расчета количества дней между следующими датами:

Наиболее часто используются следующие соглашения:

Actual/Actual: оба интервала t ti и ti+1 ti рассчитываются по фактическому количеству дней между датами

Actual/360: интервал t ti рассчитывается по фактическому количеству дней между датами, а интервал ti+1 ti принимается равным 360=m; где m – количество купонных платежей в течение одного года

30/360: интервал t ti рассчитывается по формуле

t ti = 360 (Y Yi) + 30 (M Mi) + (D Di) ;

здесь Y; Yi – годы, M; Mi – месяцы, D; Di – дни в месяце, соответствующие датам t и ti, интервал ti+1 ti рассчитывается аналогично методу Actual/360.

53

6.2Оценка облигаций при непрерывном начислении процентов

Итак, если проценты начисляются один раз в период, то формула для полной цены облигации имеет вид

где y – ставка дисконтирования (доходность к погашению) за купонный период. Если предположить, что проценты начисляются m раз в период, а выплачиваются один раз в конце периода, то формула примет вид

При m ! 1 имеем

С другой стороны, если ввести обозначение

то для случая, когда проценты начисляются один раз в период, формула для полной цены облигации примет вид

При выполнении расчетов с облигациями иногда бывает удобнее оперировать формулами (6.2.3) или (6.2.5).

54

6.3Свойства цены облигации и доходности к погашению

Рассмотрим облигацию с денежными потоками

(tk; Ck); Ck > 0; k = 1; N; t1 < t2 < ::: < tN ;

полная цена которой P0 связана с доходностью к погашению y формулой

Приведем несколько утверждений, объясняющих связь между ценой и доходностью облигации.

Утверждение 6.1. Полная цена P0 (y) как функция доходности к погашению y при y > 0 является непрерывной, монотонно убывающей, выпуклой вниз (вогнутой) функцией.

Доказательство. Утверждение вытекает из формулы (6.3.1), которую нужно продифференцировать по y один раз, получив

и два раза, получив

Из утверждения следует, что если при неизменном сроке до погашения цена облигации P0 растет, то ее доходность к погашению y уменьшается. Если цена облигации P0 падает, то ее доходность к погашению y увеличивается.

55

Типичный график зависимости рыночной цены облигации от ее доходности к погашению имеет вид

Утверждение 6.2. Уравнение (6.3.1) имеет единственное положительное решение y > 0 тогда и только тогда, когда

монотонно убывающая.

Рассмотрим теперь облигацию номиналом F с фиксированной купонной ставкой c (купоном cF ). Формула полной цены такой облигации имеет вид

Справедливо

56

Утверждение 6.3. Пусть c > 0 – купонная ставка, y > 0 – доходность к погашению купонной облигации, тогда:

1.Полная цена облигации равна ее номиналу (P0 = F ) тогда и только тогда, когда ее доходность к погашению y равна купонной ставке c (y = c).

2.Облигация торгуется с дисконтом (P0 < F ) тогда и только тогда, когда ее доходность к погашению y больше купонной ставки c (y > c).

3.Облигация торгуется с премией (P0 > F ) тогда и только тогда, когда ее доходность к погашению y меньше купонной ставки c (y < c).

Доказательство. Так как функция P0(y; c) является непрерывной, монотонно убывающей относительно y при y > 0 и, очевидно, P0(c; c) = F , то утверждение доказано.

Для определения доходности облигации к погашению требуется найти решение алгебраического уравнения (6.3.3) относительно переменной y. Существует несколько подходов для приближенного вычисления доходности к погашению.

Утверждение 6.4. Формула для приближенного вычисления доходности к погашению купонной облигации y, являющейся решением уравнения (6.3.3), при больших значениях N имеет вид

где c – ставка купона в процентах, K = P0=F – курс облигации в процентах, N – количество лет до погашения облигации.

Доказательство. Разделим обе части равенства (6.3.3) на F N и сделаем замену x = 1= (1 + y). Тогда

57

Деля обе части на F и используя введенное обозначение z, по-

где y1 – доходность к погашению соответствующей бесконечной облигации.

Полученная формула при небольших значениях N (N < 10) дает значительную погрешность. Поэтому при N < 10 используется другая формула.

58

Утверждение 6.5. Формула для приближенного вычисления доходности к погашению купонной облигации y, являющейся решением уравнения (6.3.3), при малых значениях N (N < 10) имеет вид

Решив это уравнение относительно y, получим (6.3.5).

6.4Риски облигации

Основными рисками при инвестициях в облигации являются кредитный и процентный риски. Кредитный риск состоит в возможном отказе эмитента облигации от выполнения своих обязательств по погашению и/или выплате купонов. Процентный риск возможность неблагоприятного изменения цены облигации вследствие изменения процентных ставок (доходностей) по облигациям.

Предположим, что процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны y0. Тогда цена облигации будет равна

59

Пусть рыночная доходность облигации изменяется со значения y0 на значение y1 = y0 + y. Тогда стоимость облигации становится равной

Изменение стоимости облигации в результате изменения процентных ставок равно

Оценим величину P (y) приближенно, считая изменение процентной ставки y малым. Ограничиваясь слагаемыми первого порядка малости, из формулы Тейлора получим

Принимая во внимание слагаемые второго порядка малости, получим более точную формулу

6.5Производные цены облигации

Пусть P = P (y) – полная цена облигации (включая НКД), y – доходность облигации (к погашению).

Модифицированной дюрацией (modified duration) облигации называется величина

ценовой дюрацией (dollar duration) облигации называется величина

60