Математические модели оценки финансовых активов. Учебное пособие

3. Так как ST = 58:50, имеем

VT (0; T ) = V200=365(0; 200=365) = 58:50 62:41 = 3:91 < 0

7.6Форварды на облигации

Форвардные контракты на облигации (bond forward) оцениваются аналогично форвардам на акции, при этом вместо дивидендов дисконтируются те купонные выплаты, которые попадают во временной интервал между датой заключения форвардного контракта и датой его исполнения. При оценке облигаций, как правило, используется дискретное начисление процентов.

Итак, формула для расчета форвардной цены облигации в момент времени t = 0 имеет вид

X

k=1

Здесь B0 – текущая (спотовая) цена облигации (включая накопленный купонный доход) в момент времени t = 0, Ck – купоны, выплачиваемые в моменты времени tk; k = 1; m, 0 < t1 < ::: < tm 6 T ), r – безрисковая процентная ставка.

Формула для расчета цены форвардного контракта на облигацию в момент времени t 2 (0; T ) имеет вид

81

>t

(здесь Bt – текущая (спотовая) цена облигации (включая накопленный купонный доход) в момент времени t).

Пример 7.13. Рассмотрим облигацию с полугодовыми купонами. Облигация имеет срок до погашения 583 дня, по ней выплачивается 4 купона каждые 6 месяцев. Следующий купон выплачивается через 37 дней, затем через 219 дней, 401 день и 583 дня, в момент погашения основной суммы. Пусть цена на облигацию (включая НКД) составляет 984.45 руб. за облигацию номиналом 1 000 руб. с 4% купоном. Ставка купона указывает, что размер каждого купона составляет 20 руб. Безрисковая ставка составляет 5.75%. Пусть форвардный контракт истекает через 310 дней, тогда T = 310=365.

Так как только два первых купона приходятся на срок форварда, оцениваем приведенную стоимость этих двух купонов:

20=(1:0575)37=365 + 20=(1:0575)219=365 = 39:23

Таким образом, форвардная цена облигации равна

F0(T ) = (984:45 39:23)(1:0575)310=365 = 991:18

Теперь допустим, что прошло 15 дней и новая цена облигации равна 973.14 руб., а безрисковая ставка равна 6.75%. Приведенная стоимость остающихся купонов равна

20=(1:0675)22=365 + 20=(1:0675)204=365 = 39:20

Тогда цена форвардного контракта равна

973:14 39:20 991:18=(1:0675)295=365 = 6:28

Таким образом, цена форвардного контракта изменилась от нулевого значения до отрицательного, главным образом, как результат уменьшения цены облигации.

82

7.7Спотовые и форвардные ставки

Спотовой ставкой на срок t называют процентную ставку r (t), по которой средства могут быть размещены начиная с текущего момента времени t = 0 с погашением в момент времени t, где t > 0.

Форвардной ставкой для будущих дат t1 и t2 называют процентную ставку f (t1; t2), фиксируемую в текущий момент времени t = 0; по которой средства могут быть размещены начиная с момента времени t1 с погашением в момент времени t2; где t1 < t2.

Временной структурой процентных ставок называется функция r = r (t) ; t > 0; связывающая процентную ставку r со сроком размещения денежных средств t > 0:

Пусть для t > 0 задана временная структура процентных ставок r = r (t). Можно ли определить форвардную процентную ставку f (t1; t2) ; где 0 < t1 < t2?

Будем считать, что финансовый рынок безарбитражен и проценты начисляются непрерывно.

Рассмотрим две инвестиционные стратегии. В рамках первой стратегии заключим в момент времени t = 0 две сделки:

1.Разместим в момент времени t = 0 сумму N на срок t1 по

ставке r (t1), тогда в момент t1 будем иметь в распоряже- нии сумму N er(t1) t1 .

2.Сумму N er(t1) t1 разместим по форвардной ставке f (t1; t2)

В рамках второй стратегии разместим в момент времени t сумму N на срок t2 по ставке r (t2), тогда в момент t2 будем иметь сумму

83

Из условия безарбитражности вытекает, что выражения (7.7.1) и (7.7.2) должны быть равны, отсюда

Преобразуя правую часть полученного равенства, получим

Замечание. Из формулы (7.7.4), в частности, вытекает, что если временная структура процентных ставок является возрастающей (убывающей) функцией, то форвардные ставки будут, вообще говоря, больше (меньше) спотовых.

Мгновенной форвардной ставкой (instantaneous forward rate) называют предел выражения (7.7.4) при t2, стремящемся к t1, а именно

Предел существует, если функция r (t) ; t > 0 является гладкой, тогда

т.е. спотовая ставка r (t) равна среднему значению мгновенных форвардных ставок за период [0; t].

84

7.8Cоглашение о форвардной процентной ставке

Соглашение о форвардной процентной ставке (forward rate agreement, FRA) производный финансовый инструмент, соглашение, согласно которому одна сторона условно занимает у второй стороны сумму под определённую процентную ставку на оговоренный срок. Участники соглашения обязуются провести на дату исполнения (settlement day) компенсационные выплаты в случае отличия текущего значения от заранее оговоренной процентной ставки от указанной при заключении. FRA это внебиржевое соглашение, заключаемое напрямую участниками сделки.

Пример 7.14. Рассмотрим FRA с датой исполнения через 90 дней, предметом которого является полугодовая (180-дневная) ставка LIBOR. Предположим, что банк выставляет котировку 5.5% (годовых), клиент банка покупает FRA, а банк продает FRA по этой котировке, номинальная сумма контракта 10 млн USD.

Пусть через 90 дней в момент исполнения контракта ставка LIBOR по 180-дневным депозитам составляет 6% годовых. Процент по 180-дневному депозиту должен платиться через 180 дней, поэтому в момент исполнения контракта приведенная стоимость процентов по депозиту равна

10 000 000 0:06 180360

1 + 0:06 180360

По условиям FRA в момент исполнения клиент получит от банка следующий платеж (в USD)

"#

Если бы ставка LIBOR в момент исполнения контракта оказалась меньше 5.5%, то тогда платеж в пользу банка должен был бы совершить клиент.

85

Замечание. Для FRA год принимается равным 360 дням, а каждый месяц считается равным 30 дням. Для обозначения условий FRA используется обозначение A x B, где A - срок в месяцах до исполнения контракта, а B - срок в месяцах, равный сумме срока до исполнения контракта плюс срок процентной ставки, тогда величина B-A равна сроку процентной ставки. Например,

Теперь займемся оценкой FRA. Пусть дате заключения контракта соответствует время t = 0. Обозначим через h дату истечения (исполнения) контракта FRA, а через g любую дату, предшествующую дате исполнения FRA. Процентная ставка контракта FRA привязана к ставкам депозитов сроком m дней. Таким образом, контракт истекает через h дней с момента заключения, а депозит, к которому привязана ставка контракта FRA, завершается через h + m дней. Мы хотим оценить контракт FRA в момент времени g.

Введем следующие обозначения. Обозначим через Li(j) ставку депозита сроком j дней, действующую на произвольный день i, где i изменяется от 0 до h включительно. Этот инструмент представляет собой межбанковский кредит сроком j дней, т.е. банк, берущий в долг сумму N денежных единиц в день i, заплатит сумму

денежных единиц через j дней.

Ставка LIBOR Lh(m) сроком m дней, действующая на день h,

86

определяет размер платежа по FRA. Мы обозначаем фиксированную ставку по FRA через F RA(0; h; m), эта ставка была зафиксирована в день 0, истекает в день h и базируется на ставке LIBOR сроком m дней. Если N - номинальная сумма контракта FRA, то в момент исполнения платеж по контракту составляет

N [Lh(m) F RA(0; h; m)] 1 + Lh(m) 360m

Числитель представляет собой разность между ставкой LIBOR на день исполнения контракта и ставкой, зафиксированной в контракте в момент его заключения, умноженной на корректирующий множитель m=360. Обе эти ставки представляют собой ставки в процентах годовых, применяемые к депозиту на m дней, поэтому множитель m=360 необходим. Знаменатель нужен, чтобы дисконтировать платеж по ставке LIBOR сроком m дней, действующей на дату исполнения контракта. Это дисконтирование необходимо, так как ставки в числителе применяются к депозиту, который открыт в день h, и платеж по которому происходит на m дней позже.

Чтобы вывести формулу для оценки FRA, нужно составить уравнение, которое вытекает из условия безарбитражности

Утверждение 7.15. Процентная ставка в момент заключения

87

Пример 7.16. Рассмотрим FRA 3 x 9. Этот инструмент исполняется через 90 дней и базируется на 180-дневной ставке LIBOR. Таким образом, депозит, на котором базируется соответствующая ставка, начинается через 90 дней и заканчивается через 270 дней. Текущим моментом является день 0, h = 90; m = 180; h + m = 270. Пусть процентные ставки равны

Итак, в день 0 ставка FRA должна быть 6.11% годовых.

Как уже говорилось, первоначальная цена форвардного контракта равна нулю. В течение контракта его цена может быть как больше, так и меньше нуля. Будем использовать обозначение Vg(0; h; m) для цены в день g контракта FRA, который был заключен в день 0, исполняется в день h и базируется на ставке LIBOR сроком m дней.

Соглашение FRA со ставкой F RA(0; h; m) дает нам возможность в день h получить кредит на срок m дней по ставке F RA(0; h; m). Денежные потоки такого кредита будут равны N в день h и

получим

Утверждение 7.17. Стоимость FRA со ставкой F RA(0; h; m) в день g равна

88

Первое слагаемое в правой части формулы представляет собой приведенную к моменту t = g стоимость номинальной суммы N, получаемой в момент t = h. Второе слагаемое является приведенной стоимостью номинальной суммы плюс ставка FRA, получаемой в момент t = h + m завершения депозита, лежащего в основе контракта FRA.

Замечание. Если в формуле (7.8.3) положить g = 0 и подставить вместо F RA(0; h; m) выражение (7.8.1), то получим

V0(0; h; m) = 0;

что соответствует правилам формирования процентной ставки в контрактах FRA.

Пример 7.18. Предположим, что мы находимся в длинной позиции по контракту FRA и прошло 25 дней с момента заключения FRA. Необходимо оценить контракт FRA на текущую дату. Имеем

g = 25; h g = 90 25 = 65; h + m g = 90 + 180 25 = 245

Пусть имеется следующая информация о процентных ставках:

Таким образом, через 25 дней процентные ставки изменяются к значениям, указанным выше, и FRA имеет цену 0.0026 на денежную единицу номинальной суммы контракта.

7.9Валютные форварды

При оценке валютных форвардных контрактов (currency forward) следует соблюдать определенную аккуратность. Дело в том, что

89

валютный курс может быть выражен как количество единиц базовой валюты за единицу иностранной валюты (прямая котировка, direct quote) или как количество единиц иностранной валюты за единицу базовой валюты (обратная котировка, indirect quote). Далее будем считать, что в формулах используется прямая котировка, т.е. количество базовой (домашней) валюты за одну единицу иностранной валюты.

Будем использовать обозначение r для безрисковой процентной ставки в домашней валюте, обозначение r для безрисковой процентной ставки в иностранной валюте.

Формулы для расчета форвардного валютного курса в момент времени t = 0 имеют следующий вид:

1. для дискретного начисления процентов (дисконтирования) по домашней и иностранной валютам

2.для непрерывного начисления процентов (дисконтирования) по домашней и иностранной валютам

Формулы для расчета цены форвардного контракта на валютный курс в момент времени t 2 (0; T ) имеют вид:

1.для дискретного начисления процентов (дисконтирования) по домашней и иностранной валютам

2.для непрерывного начисления процентов (дисконтирования) по домашней и иностранной валютам

90