Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

Это означает, что в ящике находятся только фрукты весом 100 г. Это противоречит условию, что в ящике имеются фрукты разного веса.

б) Пусть в ящике находится n, m фруктов весом меньше 100 г и больше 100 г соответственно. Аналогично а) получаем уравнение

85n 124m 100(76 n m) 100 76 8m 5n.

В полученном промежутке нет ни одного целого значения k (рис. 5).

Рис. 5

Значит, в ящике не может быть менее восьми фруктов весом 100 г. в)Пустьвессамоготяжёлогофруктаравенx.Справедливонеравенство

124m x 101(m 1) x 23m 101.

Неравенство получено следующим образом. Вес всех фруктов массой больше 100 г равен их среднему весу, умноженному на количество этих фруктов, т. е. 124m. С другой стороны, этот вес равен сумме веса х самого тяжелого фрукта и произведения среднего веса у оставшихся фруктов на их количество, т. е. y (m – 1). Очевидно, что у ≥ 101. Число 101 – это минимальное натуральное число, дающее вес фрукта массой больше 100 г. Поэтому

x124m y(m 1) 124m 101(m 1) 23m 101.

Впункте б) было показано, что m = 5k, а также получена оценка

k ≤ 5.

Следовательно, m ≤ 25 и x ≤ 23 25 + 101 = 676.

81

Покажем, что эта оценка достигается. Возьмём максимальное значение k = 5.

Тогда n = 8k = 40 фруктов массой 85 г, m = 5k = 25, причём среди них 24 фрукта массой по 101 г и один самый тяжёлый массой 676 г.

K = 76 – (40 + 25) = 11 – количество фруктов массой 100 г. Проверка того, что условия задачи выполняются, предоставляем чи-

тателю.

44. Ответ: а) да; б) нет; в) 33.

Решение 1

а) Пусть x, y – число купленных красных и синих карандашей соответственно.

Очевидно, что x, y принимают целочисленные неотрицательные значения. Из условий задачи получаем математическую модель: найти це-

лочисленное неотрицательное решение x, y, удовлетворяющее системе неравенств

Ошибочно полагать, что в первом неравенстве обязательно должен стоять знак равенства. Равенство означает, что все деньги на покупку истрачены. Но может оказаться, что покупка совершена, а деньги полностью не израсходованы.

Выразим y и подставим в неравенства:

Возьмём, например, пару (14, 18). Число купленных карандашей равно 32. При этом условие y – x = 4 < 5 выполнено, а на всю покупку истрачено 17 14 + 13 18 = 472 руб. Остаток составил 23 руб.

82

Получили противоречивые неравенства. Значит, данная покупка невозможна.

в) Математическая модель задачи

Таким образом, суммарное число купленных карандашей не превосходит 33. В пункте а) показано, что можно купить 32 карандаша и ещё останется 23 руб. Остаток денег в 23 руб. позволяет купить ещё один карандаш, например синий, стоимостью 13 руб. (или красный стоимостью 17 руб.).

При этом пара (14, 19) или (15, 18) удовлетворяет условиям задачи, что предлагается проверить читателю.

Решение 2

Вводить буквенные обозначения переменных, составлять уравнения и неравенства не будем. Решим задачу «по-нашему, по-неучёному», как говаривал литературный персонаж Удодов – старший из рассказа А.П. Чехова «Репетитор».

а) Попробуем купить 32 карандаша – поровну красных и синих, т. е. по 16 шт. Составим табл. 7.

Затраченная сумма в 480 руб. не превышает имеющуюся сумму в

495 руб.

Вывод: да, можно.

83

б) Попробуем купить 35 карандашей – 15 красных и 20 синих, затра-

тив 15 17 + 20 13 = 515 руб.

Сумма покупки в 515 руб. превышает наличную сумму 495 руб. Чтобы уменьшить сумму покупки, нужно уменьшать число красных карандашей как более дорогих и заменять их на более дешёвые синие

карандаши.

В таком случае разность их количеств будет превышать 5: (20 + k) – (15 – k) = 5 + 2k > 5.

Вывод: нет, нельзя.

в) Попробуем увеличить число карандашей, купленных в пункте а), потратив из остатка в 15 руб. и ещё 13 руб. на покупку синего карандаша:

16 17 + 17 13 = 493 руб.

Замена дешёвых карандашей дорогими не может увеличить общее число карандашей, так как сумма 13 руб. на покупку одного синего карандашапоявитсятолькопослезаменытрёхкрасныхкарандашейнатри синих карандаша, но тогда разность их количеств превысит 5. Значит, наибольшее число купленных карандашей равно 16 + 17 = 33.

Замечание

Полученная в решении 1 математическая модель является типичной задачей целочисленного линейного программирования: найти максимум линейной целевой функции при линейных ограничениях с дополнительным условием целочисленности и неотрицательности переменных.

Геометрическая интерпретация дана на рис. 6.

45. Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

Решение.

а) Набор гирек массой 3 г, 4 г, 5 г, 6 г, 7 г, 8 г удовлетворяет условию задачи.

Для проверки выпишем C62 625 15 уравновешиваний:

3 + 4 = 7, 3 + 5 = 8, 3 + 6 = 4 + 5, 3 + 7 = 4 + 6, 3 + 8 = 4 + 7; 4 + 5 = 3 + 6, 4 + 6 = 3 + 7, 4 + 7 = 3 + 8, 4 + 8 = 5 + 7;

5 + 6 = 4 + 7, 5 + 7 = 4 + 8, 5 + 8 = 3 + 4 + 6; 6 + 7 = 5 + 8, 6 + 8 = 3 + 4 + 7; 7 + 8 = 4 + 5 + 6.

84

Рис. 6

Количество уравновешиваний равно K = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

б) Допустим, что может быть ровно 5 гирек и условия задачи выполнены. Упорядочим массы гирек по возрастанию: x1 x2 x3 x4 x5 .

Пару x5, x4 можно уравновесить только всеми оставшимися гирьками:

Уравновесить их можно только оставшейся гирькой массой x1 .

Получаем равенство x5 x4 x1 x2 x3 .

Аналогичнопару x5, x3 можноуравновеситьтолько всемиоставши-

мися гирьками, значит, x5 x3 x1 x2 x4 .

Вычитая левые и правые части полученных равенств, получим

что противоречит тому, что массы всех гирек попарно различны. Значит, 5 гирек в наборе быть не может.

в) По доказанному в пункте б) в наборе не может быть меньше 6 гирек.

85

Допустим, что самые лёгкие 6 гирек – это гирьки с массами

2 x2 x3 x4 x5 x6.

Если предположить, что самая тяжёлая гирька весит 7 г, то между числами 2 и 7 можно вставить только натуральные числа 3, 4, 5, 6. Но в таком случае пару гирек 6 г и 7 г нельзя уравновесить оставшимися гирьками,поскольку 2+3+4+5=14>13=6+7,аеслине братьгирьку в 2 г, то 3 + 4 + 5 = 12 < 13.

Следовательно, самая тяжёлая гирька весит не меньше 8 г. Приведём пример набора гирек: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Этот набор отлича-

ется от набора пункта а) только добавлением гирьки массой 2 г. Покажем, что любую пару гирек можно уравновесить набором оставшихся.

Пусть выбраны гирьки массамиаи b граммов, a < b. Если a 2, b 8,

т. е. не совпадают с крайними значениями, то уравновесить эти гирьки можно двумя гирьками с массами a – 1 и b + 1 граммов. Если b a 3, то уравновесить эти гирьки можно двумя гирьками с массами a + 1 и b – 1 граммов. Для оставшихся пар, связанных с крайними значениями, т. е. а = 2 или b = 8, выполняются равенства

2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 6 + 8 = 3 + 4 + 7, 7 + 8 = 4 + 5 + 6.

Замечание. Проверку можно выполнить и непосредственно, выписав C72 726 21 уравновешивание аналогично пункту а).

46. Ответ: а) да; б) нет; в) 26.

Решение

а) Каждый сотрудник должен получить по 60040 15 тыс. руб.

Поскольку 100 = 3 33 + 1, то 33 сотрудникам можно выдать по 3 пятитысячные купюрыиоднакупюраостанется.Выдадимодномусотруднику оставшуюся одну пятитысячную купюру и 10 тысячных купюр, которых останется 100 – 10 = 90. Поскольку 90 = 6 15, то оставшимся шести сотрудникам выдадим по 15 тысячных купюр.

Можно привести и другие примеры: 20 человек получают по 2 пятитысячные и 5 купюр по 1 тыс. руб., 20 человек – по 3 пятитысячные купюры.

86

б) Каждый сотрудник, кроме ведущего специалиста, должен полу-

чить 600 40 8 тыс. руб. Это количество можно выдать без сдачи и

70

размена либо одной пятитысячной купюрой и тремя купюрами по 1 тыс. руб.,либовосемьюкупюрамипо1тыс.руб.Влюбомслучаенужнокаждому сотруднику выдать не менее трех купюр по 1 тыс. руб. Следовательно, всего нужно иметь не менее 3 70 = 210 купюр, что превышает количествоимеющихся вналичии100купюрпо1тыс.руб.,поэтому без сдачи и размена выдать премии не удастся.

в) Пусть в отделе n сотрудников и размер премии равен Ri 5mi

ri , i 1,2,...,n .

Заметим, что при делении на 5 остаток ri заключён в границах

0 ≤ ri ≤ 4.

Предположим, что среди n сотрудников один вообще не получил премию.

Величину ri > 0 можно выплатить, используя только купюры в 1 тыс. руб. Значит, всего их необходимо иметь не более 4(n – 1), а в наличии таких купюр 100. Получаем неравенство 4(n – 1) ≤ 100, n – 1 ≤ 25, значит, nmax = 26, включая сотрудника, размер премии которого равен нулю.

Покажем, что это число удовлетворяет условию.

Если сотрудников 27 или больше, то распределим премии следующим образом: 26 человек должны получить по 4 тыс. руб., один – всё остальное, остальным – ничего. Тогда выдать премии без размена и сдачи будет нельзя, поскольку тысячных купюр нужно иметь не менее чем 26 4 = 104 > 100.

Если сотрудников не больше 26, то выберем всех, кроме одного. Будем выдавать им премии, используя не более четырех тысячных купюр, пока не закончатся пятитысячные купюры.

Еслипятитысячныекупюрызакончились,тооставшиесяпремиивыдать точно удастся. Если нет, то все премии, кроме одной, будут выданы, а последний просто заберёт все оставшиеся деньги, т. е. раз-

n 1

ницу600 Ri .

i 1

Комментарий к пунктам а) и б).

В пункте а) построен пример, удовлетворяющий условиям задачи. Зададимся вопросом: «А если бы указанное распределение премий не получилось?».

87

Тогда необходимо искать другой пример, если он существует, соблюдая условия задачи.

Рассмотрим задачу с алгебраической точки зрения.

а) Введём переменные n1, n2, n3, n4 – количество сотрудников, получивших премию в сумме 15 тыс. руб. в соответствующих купюрах

(рис. 7).

Рис. 7

Система уравнений:

Первое уравнение выражает количество сотрудников, равное 40. Второе и третье уравнения выражают количество купюр каждого достоинства.

Исключим переменную n4 из третьего уравнения:

88

Здесь n2, n3 являются параметрами, причём такими, что n1 ≥ 0,

n4 ≥Геометрическая0. интерпретация дана на рис. 8.

Целочисленные точки, попадающие в закрашенную область, дают соответствующие примеры распределения премий.

Полагая, например, n2 20, n3 20 n1 0, n4 0 – точка A.

При n2 0, n3 33 n1 1, n4 6 получаем пример пункта а) –

точка В.

б) Размер премии каждого из 70 сотрудников равен 8 тыс. руб. Пусть k1, k2 – количество сотрудников, получивших премию в сумме

8 тыс. руб. в соответствующих купюрах: одну купюру по 5 тыс. руб. и три по 1 тыс. руб. или восемь купюр по 1 тыс. руб. соответственно.

Получили противоречивое равенство 360 = 100.

Вывод: выдать премии без размена и сдачи нельзя, что согласуется с ранее полученным результатом.

89

Продемонстрированы два разных приёма решения пунктов а) и б) задачи – с помощью рассуждений и оценки числа купюр, а также чисто алгебраический метод, которые, как и следовало ожидать, привели к одним и тем же результатам.

Конечно, в условиях ЕГЭ важным моментом является простота решения, экономия времени, связанная с решением задачи. Тем не менее иногда полезно «гармонию проверять алгеброй».

47. Ответ: а) 50 и 60; б) нет; в) 108 или 110.

Решение

Пусть в первом взводе n солдат, а во втором – m солдат, причём n < m, n ≥ 47, m ≥ 48, n + m ≤ 110. Следовательно, n, m удовлетворяют неравенствам

Верхняя граница для числа n получена из неравенства n + m ≤ 110 при условии, что m = n + 1. Из неравенства n + n + 1 ≤ 110 следует, что n ≤ 54.

Верхняя граница числа m получена из неравенства m ≤110 – nmin = 110 – 47 = 63.

а) Будем строить солдат по 9 в ряд. Так как в ряду нет солдат из другого взвода, то число солдат каждого взвода должно делиться на 9. Из неравенств (43) следует, что в первом взводе может быть только 6 8 = 54 солдата, а во втором взводе их должно быть больше, а именно 7 9 = 63. Но сумма 54 + 63 = 117 > 110, значит, солдат нельзя построить в ряд по 9 человек.

Будем строить солдат по 10 человек в ряд. Из неравенств (43) следует, что в первом взводе может быть только 5 10 = 50 солдат, а во втором взводе их должно быть больше, а именно 6 10 = 60 солдат, сумма 50 + 60 = 110. Значит, роту можно построить в ряд по 10 человек. При этом в первом взводе 50, во втором – 60 солдат.

б) Будем строить солдат по 13 человек в ряд. Из неравенств (43) следует, что в первом взводе может быть только 4 13 = 52 солдата, во втором их должно быть больше, а именно 5 13 = 65, что больше 63. Следовательно, роту нельзя построить по 13 человек в ряд.

90