Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

в) Рассмотрим оставшиеся случаи. Из неравенств (43) следует, что солдат первого взвода нельзя построить в ряд по 11 человек (в промежутке [47; 54] нет числа, делящегося на 11).

Будем строить солдат по 12 в ряд. В таком случае из (43) следует, что в первом взводе может быть 4 12 = 48 солдат, а во втором – 5 12 = 60, 48 + 60 = 108. Значит, роту можно построить в ряд по 12 человек, а число солдат в роте равно 108.

При дальнейшем увеличении числа солдат в ряду не выполняется хотя бы одно из неравенств (43). Следовательно, солдат в роте может быть или 108, или 110.

48. Ответ: а) да. Например, 180 = 5 36 = 4 42; б) 180; в) 546.

Решение

Количество детей K, количество k автобусов модели Б и вместимость автобусов n, m связаны соотношениями

поскольку K кратно 20 и принадлежит интервалу (160; 200).

Проверка очевидна: 180 = 5 36 = 4 42, 36 (30;40), 42 (40; 50).

б) Необходимо не менее четырёх автобусов модели Б, чтобы перевезти более 150 детей, поскольку

91

Максимальное значение n 39. При этом из (45) следует, что число k должно быть максимально возможным делителем 39: 1, 3, 13, 39. Оценим возможные значения k:

40 m 50 40 39 39k 50 3 k 39 k 13.

Значит, n 39, k 13, m 39 1339 42, Kmax 546.

Проверка: 546 = 14 ∙ 39 = 13∙42, 39 (30;40), 42 (40; 50).

92

953359 являются палиндромами, а числа 19 и 953953 не являются палиндромами.

а) Приведите пример числа-палиндрома, которое делится на 15.

б)Сколькосуществуетпятизначныхчисел-палиндромов,делящихся на 15?

в)Найдите37-епопорядкучисло-палиндром,котороеделитсяна15.

Ответ: а) 5115; б) 33; в) 59295.

Указание. Использовать признак делимости на 3.

51. Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т. д.). Например, 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 19 и 953953 не являются палиндромами.

а) Приведите пример четырёхзначного числа-палиндрома, которое делится на 55.

б)Сколькосуществуетпятизначныхчисел-палиндромов,делящихся на 55?

в)Найдите20-епопорядкучисло-палиндром,котороеделитсяна55.

Ответ: а) 5005; б) 10; в) 58685.

Указание. Использовать признак делимости на 11.

52. Пусть q –наименьшее общее кратное, а d – наибольший общий

делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству

8y 3x 29.

а) Может ли быть q равным 170? d

б) Может ли быть q равным 2? d

в) Найдите наименьшее значение dq .

Ответ: а) да. Например, x 17, y 10; б) нет; в) 4.

53. Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

94

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равным 54 ?

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равным 87 ?

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 18?

Ответ: а) да. Например, 7, 10, 13; б) нет; в) 3524 .

54. Известно, что a, b, c, d – различные двузначные натуральные числа.

55. На доске написано несколько двузначных натуральных чисел (необязательно различных) без нулей и девяток в десятичной записи. Сумма написанных чисел равна 264. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры. Например, вместо числа 81 написали 18.

а) Может ли сумма полученных чисел быть ровно в два раза больше, чем сумма исходных чисел?

б) Может ли сумма полученных чисел быть ровно в четыре раза больше, чем сумма исходных чисел?

95

в) Найдите наибольшее значение суммы полученных чисел.

Ответ: а) нет; б) да, пример, 18,...,18, 48; в) 1155 достигается на

12

наборе 81,...,81, 21.

14

56. Перед каждым из чисел 14, 15, …, 20 и 6, 7, …, 10 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают.

а) Может ли полученная сумма по модулю быть равной нулю?

б) Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в итоге? в) Какую наибольшую по модулю сумму можно получить в итоге?

Ответ: а) нет; б) 1; в) 875.

б) 5(–14 – 15 + 16 – 17 + 18 – 19 + 20) –7(–6 + 7 – 8 + 9 – 10) = 5 11 + + 78 = –55 + 56 = 1.

в) 5(14 + … + 20) –7(– 6 – … – 10) = 5 14 2207 7 6 210535 25 875.

57. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 101, –102, –103, 104, 105, –107, –108, 109. Карточки переворачи-

вают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел –101, –102, –103, 104, 105, –107, –108, 109. После этого числа на каждой стороне карточки складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 21?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

58. На доске написано 32 различных натуральных числа, каждое из которых либо нечётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 2. Сумма написанных чисел равна 859.

а) Может ли на доске быть ровно 25 нечётных чисел?

96

б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 2?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 2, может быть написано на доске?

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

59. На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается цифрой 3. Сумма написанных чисел равна 1062.

а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть написано на доске?

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

60. Пусть K (n)означает сумму квадратов цифр натурального чис-

ла n .

а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K (n) 171? б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K (n) 172?

в)Какоенаименьшеезначениеможетприниматьвыражение 4K(n) n,

если n –трёхзначноечисло?

Ответ: а) да. Например, n 993; б) нет; в) –582.

61.Пусть K (n)означает сумму квадратов цифр натурального чис-

ла n .

а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K (n) 179? б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K (n) 184?

в) Какое наименьшее значение может принимать выражение K(n) 2n , если n – трёхзначное число?

Ответ: а) да. Например, n 977 ; б) нет; в) –828.

62. Первый набор чиселсостоит из чисел2, 4, 8, …, 210. Второйнабор состоит из чисел 3, 9, 27, …, 310. Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте число из первого набора, а на втором – число из второго. В каждой паре числа перемножили друг на друга и полученные произведения сложили.

а) Может ли полученная сумма делиться на 9?

б) Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?

97

в) Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы. Ответ: а) нет; б) да; в) 6(310 210).

Указание

а) Нет (в одной из пар будет множитель 3).

б) Да. Пусть среди пар будет пара 210 и 310. Вся сумма будет больше, чем 210 310 = 610. Покажем, что 610 > 106:

Замечание. Число разрядов n натурального числа N определяется формулой n = [lgN] + 1. Число 106 имеет 7 разрядов, а число 610 имеет

[10 lg6] + 1 = [10 0,77…] + 1 = 8 разрядов, и, значит, 610 больше,

чем 106. Логарифм был вычислен с использованием калькулятора, которым на ЕГЭ пользоваться запрещено.

63. На доске написано 38 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 5. Сумма написанных чисел равна 1259.

а) Может ли на доске быть ровно 31 нечётное число?

б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

64. На доске написано несколько двузначных натуральных чисел (необязательно различных) без нулей в десятичной записи. Сумма написанных чисел равна 306. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры. Например, вместо числа 27 написали 72.

98

а) Может ли сумма полученных чисел быть ровно в три раза больше, чем сумма исходных чисел?

б) Может ли сумма полученных чисел быть ровно в два раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее значение суммы полученных чисел.

Ответ: а) да; б) да; в) 1881.

3.2. Последовательности чисел

65. Конечная возрастающая последовательность a1, a2,...,an со-

стоит из n 3 необязательно различных натуральных чисел, причём при всех k n 2 выполнено равенство ak 2 2ak 1 ak 1.

а)Приведитепримертакойпоследовательностипри n 5,вкоторой

решения которого в натуральных числах выражаются равенствами (47), где также выписаны последующие члены а3, а4, а5 = 4:

a1 2 4l, a2 4 3l, a3 5 2l, a4 5 l, a5 4, l N0. (47)

99

Требуемый пример получается из (47) при конкретном значении l 0,1, 2,....

б) Значения an принадлежат параболе (46), которая с любой прямой an const имеет не более двух точек пересечения, и, следовательно, по-

следовательность не может иметь трёх одинаковых членов.

в) Максимальное значение (aN )max (абсцисса вершины параболы

(46)) достигается при n* N 12 . Это дробное значение.

Ближайшими целыми значениями являются n1 = N и n2 = N + 1 (рис. 9).

Рис. 9

Можно проверить, что ak a2N –k 1.

Запишем равенство aN a1 12 N (N 1).

Оценим максимальное значение N, взяв (аN )max 999, (a1)min 100:

100 aN 999 N(N 1) 2(999 100) 1798.

100