Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

Пусть a 5, b 5. 10 c d c2d .

Число c чётное, c 2,4,6,8 . Выполним перебор возможных значений c.

1)Цифра c 2, иначе из уравнения следует, что 12 = 0.

2)Цифра c 4, иначе из уравнения следует, что d 14.

3)Если c 6, то из уравнения следует, что d 8.

4)Если c 8,тополучится d 6 – перестановка предыдущихцифр. Запишем полученное число 5568. Остальные числа получаются пе-

рестановкой полученных цифр. Всего различных чисел будет 4!2 12.

2. Ответ: а) 17; б) 36; в) 18.

Решение

а) Чтобы два числа давали одинаковый остаток при делении на 200, необходимо и достаточно, чтобы их разность делилась на 200:

(n 16)2 n2 200k, k N.

32(n 8) 200k k 2(n258) .

Число n 8 должно делиться на 25, иначе k будет дробным числом. n 25l 8, l N . Осталось привести пример.

Пусть, например, l 1. Тогда n 17. Выполним проверку: (17 16)2 332 1089, 172 289 .

Оба числа дают остаток 89 при делении на 200.

б)Изпунктаа)следует,что n 25l 8, l N .Диапазонтрёхзначных чисел:

100 n 999, 100 25l 8 999, 5 l 40.

40

Занумеруем числа 1,2,3,4, 5,...,40. Искомое количество чисел:

4K

K = 40 – 4 = 36.

22

в) (n m)2 n2 200k m(2n m) 200k .

При этом 10 m 99, 100 n 999.

Число m должно быть чётным, иначе k будет дробным числом:

m 2m1 k m1(n m1) . 50

Дальнейшее связано с перебором делителей числа 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50.

1) Число m1 = 2 m2, а НОД(m2, 5) = 1. Тогда n = 25l – 2m2, l N .

2)Числа m1 и 50 взаимно простые. Тогда n = 50l – m1.

3)Число m1 = 5 m2, а НОД(m2, 5) = 1. Тогда n = 10l – 5m2.

4)Число m1 = 10 m2, а НОД(m2, 5) = 1. Тогда n = 5l – 10m2.

5)Число m1 = 25 m2, а НОД(m2, 2) = 1. Тогда n = 2l – 25m2.

6)Число m1 = 50 m2, а НОД(m2, 50) = 1. Тогда n = l – 50m2.

Рассмотрим случай 1. Числа m2 и 5 взаимно простые,

В это число входят и числа, делящиеся на 4 5 = 20. Таких чисел будет

23

Вобоих случаях количество трёхзначных чисел равно K = 36, а количество двузначных чисел K 8 10 18.

Востальных случаях перебора делителей числа 50 количество трёхзначных чисел n не будет совпадать с требуемым в задаче количеством

чисел 36, что предлагается проверить самостоятельно.

Замечание. Используя теорию сравнений, решение пункта а) можно записать иначе:

Сокращаем обе части сравнения (3) и модуль на НОД(32, 200) = 8:

Сокращаем обе части сравнения (4) на 4, поскольку НОД(4, 25) = 1:

Решение сравнения (5): n 25l 8, l N . Далее, полагая l = 1, получаем пример.

3. Ответ: а) 585; б) 11; в) 56565.

Решение

Поскольку палиндром делится на 5 и 9, то последняя цифра равна 5, а сумма цифр числа должна делиться на 9.

а) Двузначный палиндром имеет вид 55 и не делится на 45.

Трёхзначный палиндром имеет вид 5x5, сумма цифр которого равна 10 x .

Уравнение 10 x 9k имеет единственное натуральное решение x 8, k 2.

Получили пример палиндрома 585.

24

б) Пятизначный палиндром имеет вид 5xyx5, сумма цифр которого равна 10 2x y . Получаем уравнение

10 2x y 9t, t N0 .

Оценим возможные значения параметра t, учитывая, что x, y – цифры:

10 10 2x y 37 10 9t 37 2 t 4.

Возможные значения: t = 2, t = 3, t = 4.

Выпишем пары (x, y), являющиеся решениями соответствующих уравнений, отвечающих полученным значениям t, в порядке возрастания x:

t 2 2x y 8 (x,y):(0,8), (1,6), (2,4), (3,2), (4,0); t 3 2x y 17 (x,y):(4,9), (5,7), (6,5), (7,3), (8,1); t 4 2x y 26 (x,y):(9,8).

Всего пятизначных палиндромов 5 + 5 + 1 = 11.

в) В пунктах а) и б) были определены трёхзначные и пятизначные

палиндромы. Выясним, имеется ли четырёхзначный палиндром 5xx5 , делящийся на 45. Уравнение 10 2x 9k, k N , имеет единственное

решение в натуральных числах x 4, k 2 и единственный четырёх-

значный палиндром 5445.

Подсчёт показывает, что 10-й по порядку палиндром равен 56565.

4. Ответ: а) да, например x 17, y 12; б) нет; в) 5.

Решение

а) Выясним, какой может быть наибольший общий делитель чисел x и y .

Из (6) следует, что d 1 или d 73, поскольку 73 – простое число.

25

Рассмотрим случай d 1.

Запишем решение уравнения 16x 7y 73 в натуральных числах. Пара x0 5, y0 1 является частным решением, и общее решение

имеет вид

x 5 7k,

y 1 16k, k N0.

и, следовательно, равенство dq 2 невозможно, что будет ответом к

пункту б).

1) Пусть d = НОД(x, y) = 1. По теореме q d x y dq dxy2 xy ;

Убедимся, что числа x1 и y1 являются взаимно простыми. Покажем,

что d = НОД(16m + 9, 7m + 4) = 1. (Доказательство приведено в примере 4 приложения.)

26

лых (в частности, в натуральных) числах.

Болееподробнонахождениеобщегорешенияуравнения 16x 7y 1 приведено в примере 11 приложения.

5. Ответ: а) да, например 7, 10, 13; б) нет; в) 3524 .

Решение

Прежде всего, возникает вопрос: каким условиям должны удовлетворять числа a b c (по условию они различные), чтобы они являлись сторонами некоторого тупоугольного (в данном случае неравнобедренного) треугольника? Изтеоремыкосинусовследуетнеобходимое условие тупоугольного треугольника:

c a2 b2 .

Кроме того, должно выполняться неравенство треугольника c < a + b, означающее, что отрезок прямой, соединяющий две точки, короче любой ломаной, соединяющий концы (рис. 1).

27

b можно взять любое целое число: 8, 9 или 10, например b 10. Нера-

венство для тупоугольного треугольника выполняется. б) Допустим, что

Следовательно, 7k b 3k . Неравенство противоречиво при k N. Вывод: отношение не может равняться 87 .

большее 1201. Подставив числовые значения, получим rmin 3524 .

6. Ответ: а) да, например a 10, b 40, c 11, d 17; б) нет;

в) 7921.

Решение

28

Возьмём значение k 3:

a c 21, a 10, c 11,

b d 57, b 57 d.

Возьмём, например d 17, b 40. Проверку выполнить самостоятельно.

10b d 0положительна. Аналогично разность 10d b 0.

Левая часть равенства (7) положительна, а правая равна нулю. Противоречие.

в) Обозначим r a c min . Следовательно, числитель (a+c) дол- b d

жен быть минимальным, а знаменатель b+d должен быть максимальным. Поскольку a 3b и c 6d , то amin 3b 1, cmin 6d 1:

10 3b 1 99, b 983 3223 , bmax 32.

Подставим полученные значения в отношение r:

Значит, знаменатель 32 + d нужно уменьшать, поэтому dmin 10 – минимальное двузначное число. Следовательно,

a 3b 1 3 32 1 97 , c 6d 1 6 10 1 61.

Таким образом, a 97, b 32, c 61, d 10 и rmin 7921.

7. Ответ: а) нет; б) 1; в) 3861.

29

Решение

в) Если все произведения взять со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна

(3 + 4 + … + 8)(9 + 10 + … + 17) = 3286 9 2179 33 117 3861.

а) Предыдущая сумма оказалась нечётной, поэтому число нечётных слагаемых в ней – нечётно, причём это свойство суммы сохраняется при смене знака у любого её слагаемого. Поэтому любая из полученных сумм будет нечётной, а значит, не будет равна нулю.

б) Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которые получатся после раскрытия следующих скобок:

(3 – 4 – 5 + 6 – 7 + 8)(–9 – 10 – 11 + 12 – 13 + 14 – 15 + + 16 + 17) = 1 1 = 1.

8. Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Решение

а) Предположим, что 0 получить можно. Тогда хотя бы одна из 10 сумм равна 0. Но тогда сумма чисел на соответствующей карточке равна 0, т. е. на сторонах этой карточки записаны числа, равные по модулю и противоположные по знаку либо два нуля. Но таких чисел нет среди указанных в условии задачи.

б) Предположим, что 1 получить возможно. Тогда на всех карточках сумма равна 1 или –1. Но тогда на одной карточке с числом –9 должно стоять число 10 или 8. Но таких чисел среди представленных нет, поэтому такая ситуация невозможна.

в) Рассмотрим лицевые стороны карточек. На шести из них написаны нечётные числа (–9, –1, 5, 7, 11, 13). На обратных сторонах карточек могут быть как чётные, так и нечётные числа. Но чётных чисел всего 4 среди представленных. Значит, хотя бы у двух из этих карточек на обратных сторонах также записаны нечётные числа. Но тогда их сумма на каждой такой карточке будет чётной и произведение сумм на всех карточках будет делиться на 4, а поэтому не может равняться ни 1, ни 2, ни 3.

Приведёмпримеррасстановкичиселнакарточках,прикоторомпроизведение сумм равно 4:

(–4 + 5)(–9 + 11) (–6 + 7)(–12 + 13) × × (–1 + 2)(13 – 12)(7 – 6)(11 – 9)(2 – 1) (5 – 4) = 4.

30