Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

9. Ответ: а) 60; б) положительных; в) 36.

Решение

а) Количество положительных, отрицательных чисел и нулей обозначим соответственно n+, n–, n0.

Общее количество написанных чисел равно N n n n0 :

55 N 65 55 n n n0 65 55 5(2m k) 6511 2m k 13 2m k 12,

N = 5(2m + k) = 5 12 = 60.

б) Поскольку n+– n– = 4m + k > 0, то положительных чисел больше. в) Для определения n+ получаем уравнение

760 15n –5(60–n –n0) n 36 14n0 36.

Максимум n+ достигается при n0 0, что означает, что нулей среди написанных чисел нет. Значит, nmax 36, n 24. Пример:

15,15,...,15, 5, 5,..., 5.

36 24

10. Ответ: а) нет; б) да; в) 1650.

Решение

а) Пусть написано n чисел xi yi . Из условий задачи получаем систему

31

Поскольку xi yi 10x i yi , то систему (8) можно записать в виде

10A B 363,

10B A 726, 9(B A) 363,

где обозначено

Оценим количество чисел n в системе (9). Очевидно, поскольку цифры x i 1, то n 22. С другой стороны, поскольку цифры yi 9, то

получим неравенство

9n 143 n 16, 16 n 22 .

Пусть n 16. Все цифры y i не могут равняться 9, поскольку

9 16 144 143. Превышение составило 1, поэтому одно из чисел должно оканчиваться на 9 – 1 = 8, остальные 15 чисел x i равны 1, а

другая цифра числа, оканчивающегося на 8, равна 22 – 15 = 7. Получен следующий пример:

исходные числа 19,...,19,78. Сумма чисел равна 19 15 78 363.

15

Новый набор чисел: 91,...,91, 87. Сумма чисел равна

15

91 15 87 1452.

Отношение составило 1452363 4 , как и требуется в задаче.

32

Замечание. Можно привести и другие наборы чисел, например

в) Задача сводится к нахождению максимума суммы S 10BA max при условии 10A B 363.

Преобразуем сумму S :

n

S 363 9(B A) 363 9 (yi xi ) max.

i 1

Значит, цифру yi необходимо увеличивать до максимального значения 9, а цифру xi уменьшать до минимального значения 1. Следовательно, в исходном наборе написанных чисел должно быть максимальное количество чисел, равных 19. Оценим количество таких чисел:

363 19n n 19.

Пусть n = 19. Сумма чисел равна 19 19 = 361 < 363, что меньше на 2 единицы.

Компенсируем эту разницу следующим образом. Возьмём одно из чисел 19 и прибавим к нему 2, получим 21. При этом чисел 19 останется

ровно 18. Итак, исходный набор чисел: 19,...,19,21.

18

Сумма написанных чисел равна 19 18 + 21 = 363. Значит,

Smax = 91 18 + 12 = 1650.

11. Ответ: а) нет; б) да; в) 5.

Решение

а) Сумма 35 чётных чисел не меньше, чем сумма 35 наименьших чётных чисел, образующих арифметическую прогрессию с начальным членом 2:

2 4 ... 70 2 27035 1260 1255.

Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1255.

33

б) Пусть на доске написано ровно 31 чётное число. Тогда 7 чисел оканчиваются на 5. Сумма 7 наименьших чисел, оканчивающихся на 5, равна

5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65 = 245.

Сумма 31 наименьших чётных чисел равна

Сумма 1255, данная в условии задачи, превышает 1237 на 1255 –

– 1237 = 18.

Эту нехватку компенсируем следующим образом: к последнему чётному числу 62 прибавим это число 18, получим 80, а число 62 заменим на 80.

Таким образом, получили пример: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65; 2, 4,…, 60, 80.

в) Пусть на доске написано n чисел, оканчивающихся на 5 и 38 – n чётных чисел. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 5, не меньше

Решая квадратное неравенство (10), учитывая, что n – целое число, получаем 5 n 8.

Возьмём nmin 5. Аналогично б) получаем: 5, 15, 25, 35, 45; 2, 4,…, 64, 74.

Выполним проверку условий задачи:

5 + 15 + 25 + 35 + 45 = 125, 2 4 ... 64 74 2 26432 74 1130 , 125 + 1130 = 1255.

34

12. Ответ: а) да, например n 986; б) нет; в) –277.

Решение.

а) 92 82 62 181.

б) 180 4 45. Сумма квадратов цифр числа должна делиться на 4.

Число n2 при делении на 4 даёт остаток 1, если n – нечётное число, или делится на 4, если n чётно. Значит, сумма квадратов всех цифр про-

извольного трёхзначного числа может делиться на 4, если квадрат каждой из его цифр делится на 4, т. е. когда все цифры числа n чётны. Мак-

симально возможные чётные цифры – 8, т. е. число 888, для которого

K (n) 82 82 82 192 180.

Если хотя бы одна из цифр числа n равна 6 или меньше, то

K (n) 82 82 62 164 180.

Значит, искомого трёхзначного числа n не существует. в) Пусть n 100a 10b c , где a, b, c – цифры. Тогда

наименьшее значение, которое может принимать выражение 9K(n) n , если n – трёхзначное число, равно –277.

35

13. Ответ: а) да, например, 6, 7, 8, 9,10; б) нет; в) 35.

Решение

Упорядочим числа по возрастанию: a1 a2 a3 ... an 1 an . Произведение двух наименьших чисел удовлетворяет неравенству

Произведение двух наибольших чисел удовлетворяет неравенству

Итак, на доске может быть только одно число, меньшее 7, и только одно число, которое не меньше 10.

а) n 5. Набор чисел 6, 7, 8, 9, 10 удовлетворяет условию задачи. б) n 6 . Ранее установлено, что ровно одно из чисел a1 меньше 7 и

ровно одно число a6 не меньше 10. Значит, оставшиеся четыре числа

должны быть из набора 7, 8, 9, что невозможно.

в) n 4. Учитывая предыдущее, можно сделать вывод о существовании трёх случаев.

1) Если написаны числа a1,7, 8, a4 , то наибольшее значение сумма чисел принимает при a1 6, a4 12 и равна 33, поскольку 8a4 100

a4 12.

2)Если написаны числа a1,7, 9, a4 , то наибольшее значение сумма чисел принимает при a1 6, a4 11 и равна 33, поскольку 9a4 100

a4 11.

3) Если написаны числа a1, 8, 9, a4 , то наибольшее значение сумма чисел принимает при a1 6, a4 11 и равна 35.

Таким образом, наибольшее значение суммы четырёх чисел равно 35.

14. Ответ: а) нет; б) да; в) 50.

Решение

а) Если 35 чисел сгруппировать по 7 чисел, то получится 5 групп, причём сумма чисел в каждой группе не превосходит 14. Значит, сумма всех 35 чисел не превосходит 14 5 = 70, что меньше 100.

б) Ряд из пятидесяти двоек 2, 2,...,2 удовлетворяет условиям за-

50

дачи.

36

в) Покажем, что наименьшим количеством членов данного ряда будет 50.

Еслинадоскенаписано49чисел,торазделимряд на7групппо7чисел в каждой группе. Сумма всех чисел не более чем 14 7 = 98 < 100. Значит, 49 членов ряда быть не может. В пункте б) приведён пример ряда из 50 членов, удовлетворяющего условиям задачи.

15. Ответ: а) да; б) нет; в) 66. а) 2019 = 6 + 2013.

б) Рассмотрим остатки от деления на 9. Число 100 даёт остаток 1 при делении на 9. Чтобы сумма двух чисел с одинаковой суммой цифр давала остаток 1 при делении на 9, оба числа должны давать остаток 5 при делении на 9.

Среди чисел от 1 до 100 таких чисел будет одиннадцать: 5, 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77, 86, 95. Это члены арифметической прогрессии с начальным членом 5 и разностью d = 9. Из них никакие два различных числа с одинаковой суммой цифр не дают в сумме 100 (у чисел, меньших или равных 50, сумма цифр равна 5; у чисел, больших 50, сумма цифр равна 14).

в) Пусть четыре различных натуральных числа имеют одинаковую сумму цифр. Значит, все они дают один и тот же остаток при делении на 9. Разность любых двух из них будет кратной 9 и не может равняться нулю, поскольку числа различные. Следовательно, эти числа будут членами некоторой арифметической прогрессии с разностью d = 9 (необязательно последовательными).

Наименьшее значение сумма этих чисел будет принимать в том случае, если у каждого из этих чисел будет минимально возможная разрядность. Например, числа 7 и 25 имеют сумму цифр 7, но 7 предпочтительнее, чем 25. В свою очередь, 25 предпочтительнее, чем 106. Тогда наименьшую сумму будут давать числа, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностьюd = 9, начиная с однозначного числа, равного остатку при делении на 9.

Выпишем последовательно числа с суммой цифр 1, 2, 3,…

Сумма цифр равна 1: 1 + 10 + 100 + 1000 = 1111. Сумма цифр равна 2: 2 + 11 + 20 + 101 = 134. Сумма цифр равна 3: 3 + 12 + 21 + 30 = 66.

37

Сумма цифр равна 4: 4 + 13 + 22 + 31 = 70.

Дальнейшие суммы будут только возрастать, так как если k 4 – наименьшее из данных чисел, то их сумма k (k 9) (k 18)

(k 27) 4k 54 66 .

Таким образом, наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, является 66 = 3 + 12 + 21 + 30.

Замечание. При доказательстве использовали утверждение:

число anan 1...a0 и сумма его цифр an an 1 ... a0 дают один и тот же остаток при делении на 9 или что

anan 1...a0 an an 1 ... a0 (mod 9) .

Докажем это утверждение, используя теорию сравнений: 10 1(mod 9) 10k 1(mod 9) 10k ak ak (mod 9).

Полагая k = 0, 1, …, n и складывая сравнения, получим

10n an 10n 1an 1 ... a0 an an 1 ... a0 (mod 9), anan 1...a0 an an 1 ... a0 (mod 9) .

Утверждение доказано.

2.2. Последовательности чисел

16. Ответ: а) 1, 2, 3; б) нет; в) 8.

Решение

Обозначим Sn a1 a2 ... an – суммаn первых членовпрогрессии:

R1 Sn2 a12 a22 ... an2 ,

R2 Sn2 1 a12 a22 ... an2 1 (Sn an 1)2a12 a22 ... an2 1 R1 2an 1Sn ,

R2 R1 2an 1Sn .

38

Учитывая, что {an} – арифметическая прогрессия, запишем

an 1 a1 nd , Sn 2a1 (2n 1)d n.

R2 R1 (a1 nd )(2a1 (n 1)d )n,

где d – разность прогрессии. Поскольку прогрессия возрастающая, то d 1, а члены прогрессии неотрицательны, следовательно a1 0. По-

лучаем неравенство

Если n 10, то получим (a1 10d )(2a1 9d ) 144.

Если d 2, то левая часть не меньше, чем 90d 2 90 4 360 144 . Следовательно, d 1. Получаем уравнение

2a12 29a1 54 0,

которое не имеет решений в целых числах. Значит, n 10. Если n 9, то получим

(a1 9d )(2a1 8d ) 160.

Если d 2 , то левая часть не меньше, чем 72d 2 72 4 288 160. Следовательно, d 1. Получаем уравнение

2a12 13a1 44 0 ,

которое не имеет решений в целых числах. Значит, n 9 .

39

Если n 8, то получим

(a1 8d )(2a1 7d ) 180.

Если d 2 , то левая часть не меньше, чем 56d 2 56 4 224 180. Следовательно, d 1. Получаем уравнение

2a12 23a1 124 0,

которое имеет единственное натуральное решение a1 4.

Значит, прогрессия из восьми членов 4, 5, 6, …,11 удовлетворяет условию задачи.

17. Ответ: а) 1, 10, 16, 20; б) нет; в) 2.

Решение

Выразим an как функцию аргумента n . Запишем данное в условии равенство в виде

40