Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Второе неравенство не имеет решений в натуральных числах. Следовательно, в опросе не могут участвовать 40 человек. б) Если N = 48, то система (20) примет вид

27,6 n 28,08,		n 28,
	m 20,4,		m 20.
19,92

Выполним проверку: Nn 2848 0,583... или, округляя до сотых, по-

лучим 58 %; mN 2048 0,416... или, округляя до сотых, получим 42 %.

Следовательно, в опросе могло участвовать 48 человек.

в) Последовательно в системе (20) будем давать значения N = 1, 2, … до тех пор, пока все неравенства окажутся справедливыми. Результаты вычислений запишем в виде табл. 3.

			Таблица 3

N	0,575N n 0,585N		0,415N m 0,425N
1	0,575	n 0,585
2	1,15 n 1,17
3	1,725	n 1,755
4	2,3 n 2,43
5	2,875	n 2,925
6	3,45	n 3,51
7	4,025 n 4,095

8	4,6 n 4,68
9	5,175 n 5,265
10	5,75	n 5,85
11	6,325	n 6,435
12	6,9 n 7,02		4,98 m 5,1

При этом если для выбранного значения N нет целого значения n в полученном промежутке, то для m вычисления проводить не нужно.

Из табл. 3 заключаем, что при N = 12 (это наименьшее значение) в получаемых промежутках находятся целые значения n = 7 и m = 5.

	При этом				n		7	0,583..., или 58 % после округления до сотых;
					N	12
m			5
				0,416..., или 42 % после округления до сотых. Следовательно,
N		12

минимальное число респондентов, принявших участие в опросе, равно 12.

Замечание. Запись вычислений в виде табл. 3 позволяет заменить умножение сложением чисел из предыдущих строк таблицы. Например, границы для n при N = k + 1 можно получить сложением границ для n при N = k и N = 1.

26. Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.

Решение.

Пусть в школе № 1 тест писали n человек, а средний балл равен А. Суммарный балл всех учащихся равен An .

В школе № 2 тест писали 51 n человек, а средний балл равен В. Суммарный балл всех учащихся равен (51 n)B .

а) Допустим, что пересчитанный средний балл в школе № 1 стал равен 2А, а после перехода одного ученика суммарный балл стал равняться 2(n 1)A .

Значит, суммарный балл уменьшился на An 2(n 1)A (2 n)A ,

что невозможно, поскольку n 2 , а перешедший ученик набрал положительное число баллов.

б) Пусть перешедший ученик набрал k баллов. Тогда уменьшение суммарного числа баллов в школе № 1 составило

k nA 1,1(n 1)A 101 (11 n)A. Увеличение суммарного числа баллов в школе № 2 составило

k 1,1(52 n)B (51 n)B		1	(62 n)B.
k 1,1(52 n)B (51 n)B	10		(62 n)B.
	10
Получаем равенства
10k (11 n)A (62 n)B.				(21)

Если B 1, то n 2, поскольку 62 n должно делиться на 10, что возможно, если 62 n 60;50;... . При этом число (11 n)A должно

быть положительным числом. Число 60 получается при n 2. Получаем уравнение 9A 60, что невозможно, так как A – целое число.

Число 50 получаем при n 12, но в таком случае число k отрицательно.

Вывод: нет, не мог.

в) Если B 2, то равенства (21) примут вид

10k (11 n)A 2(62 n).

Возможные значения n = 2 или n = 7.

Вслучае n = 2 получим 9А = 120, что невозможно в целых числах А.

Вслучае n = 7 получим 4А = 110, что невозможно в целых числах А. При B 3 получим n 2, k 18, A 20.

Выполним проверку. В школе № 1 тест писали 2 ученика, перешедший в школу № 2 ученик набрал 18 баллов, другой ученик набрал 22 балла, средний балл равен 20. Пересчитанный балл равен 22. Отноше-

ние составило 2220 1,1, и действительно, первоначальный балл увели-

чился на 10 %.

В школе № 2 тест писали 49 учеников, суммарный балл равен 3 49 = 147.

Пересчитанный суммарный балл составил 147 + 18 = 165, а средний балл стал равным 16550 3,3. Отношение составило 3,33 1,1, и действи-

тельно, первоначальный средний балл увеличился на 10 %. 27. Ответ: а) да; б) 8; в) 157 .

Решение

а) Попробуем построить пример, предполагая, что часть мальчиков ходила только в театр, а другая часть ходила только в кино, а все девочки сходили и в театр, и в кино.

Пусть m1 и m2 мальчиков сходили соответственно в театр и в кино.

Из условий задачи получим систему неравенств:


		m1				3		,
		m		8		10		,			7m 24,					m 3,
			1									1				1		m1	3,
m			m			8,					7m		40,		m		5,	m1	3,
		1			2	5						2				2		m	5.
		m				5				m		m 8,		m		m 8,		2
				2					,		1		2		1		2
	m		2	8			12		,
			2

Следовательно, если группа состоит из трех мальчиков, посетивших только театр, пяти мальчиков, посетивших только кино, и восьми девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков.

б) Пусть число мальчиков, сходивших в театр, – m1; число мальчиков, сходивших в кино, – m2; число мальчиков, сходивших и в театр, и в

кино, – m12.

Аналогично для девочек. Общее число мальчиков и девочек в группе запишется равенствами:

									M m1 m2 m12,
									D d				d	2	d ,
												1		2		12
												D 16.
									M			D 16.
Из условий задачи получаем систему неравенств:
				m1 m12				3				,
													7(m			m	) 3(d		d	) 3D,
		m		m	d		d			10			7(m			m	) 3(d		d	) 3D,
			1	12	1		12								1	12	1		12			(22)
				m	m			5				7(m				m	) 5(d	2	d		) 5D.	(22)
				2	12							,			2	12		2	12
	m		2	m	d	2	d				12	,
			2	12		2	12
Складывая неравенства (22), получим
							7M 7m12 8D 7M 8D .															(23)
Поскольку D = 16 – M, то получаем оценку числа мальчиков М:
					7M 8(16 M ) 15M 128 M 8.

Следовательно, максимальное значение М не превосходит 8. Примерпунктаа)показывает,чтовгруппеможетбыть8мальчиков.Значит, наибольшее количество мальчиков в группе равно 8.

в) Воспользуемся неравенством (23), полученным в пункте б):

7M 8D M		8.
	D	7
Оценим долю девочек в группе:	D		1		1			7	.
Оценим долю девочек в группе:	M D			M		8	15		.
	M D	1		M	1	8	15
		1		D	1	7
				D		7

Допустим, что доля девочек в группе в точности равна 157 . Тогда

D		7	7M 8D M 8k, k N ,
M D	15
			D 7k.

Проследим более внимательно за неравенствами (22), (23) из пункта б). Неравенства (22) и (23) становятся равенствами, если

m12 0, d1 0, d2 0.
7M 7m12 8D при m12	0,
3(d1 d12) 3D при d2	0,

5(d2 d12) 5D при d1 0 .

Таким образом, при значении k = 1 получаем M 8, D 7.

При этом если 3 мальчика посетили только театр, 5 посетили только кино, а 7 девочек посетили и театр, и кино, то условие задачи выпол-

нено, доля девочек в группе в точности равна 157 .

2.4. Среднее арифметическое чисел

28. Ответ: а) нет; б) да; в) 169 .

Решение.

Проведём предварительный анализ задачи. Что мы знаем про числа

a1,...,an ?

По условию 50 ai 150,

1 i n .

Сколько дано чисел, т. е. каково значение n ? В общем случае n –

произвольное число.

например a1,...,ak , уменьшаются на число 2,

Некоторые из чисел,

что составляет r % 200 %,

1 i k . Оставшиеся n k чисел умень-

a i ,

шаются наr

% 2 % , что составляет 0,02a

k 1 i n .

Возможны и крайние значения: k 0 и

k n .

При k 0 всечисла a уменьшаютсяна

.При k n всечисла a

уменьшаются на число 2. Вычислим среднее арифметическое

уменьшение S :

n r

k r

200

2(n k)

i 1 ai

i k 1

i 1 ai

i 1

i k 1

200 k

2 n i 1

n ,

S0 ai , S1

(ai 2) (ai

) S0 2k

ai ,

i 1

i k 1

50i k 1

S S0

S1 2k

ai .

50i k 1

Получены формулы для расчётных величин R и S :

	200 k		1	2k
	200 k		1	2k
R 2	n i 1			n	,
R 2	n i 1		a	n	,
			i
		1	n
S 2k			ai .
S 2k			ai .
		50i k 1

а) Возможно ли равенствоR 5?

Найдем верхнюю оценку среднего арифметического R .

(24)

(25)

50 a

150,

150

Следовательно, поскольку k n , то справедливо неравенство

200

R 2

n i 1

200 k

n 50

i 1

Можно

убедиться, что

max 4

достигается

на наборе чисел

50,...,50, где каждое число уменьшается на

% 200% 4%

4n 4.

i 1

Значит,

max 4, что меньше 5, как требуется в пункте а).

б) Запишем систему неравенств:

100

R 2,

i 1 ai

(26)

S 2n,

2(n k).

i k 1

Система (26) выполняется, если числа ai удовлетворяют условиям:

50 a

100,

1 i k,

(27)

150,

1 k i n.

100 a

Возьмём, например, 1 k n и набор чисел 50,...,50,150,...,150.

При n 2 неравенство

n k

4k 2(n k)

i 1

i k 1

выполнено, поскольку n k 1.

Новые числа 48,...,48,147,...,147

n k

S0 50k 150(n k) 150n 100k ,

S1 48k 147(n k) 147n 99k ,

S S0

S1 3n k 2n ,

поскольку n k .

в) n 30, S 40.

S 40

2k 40 ai

100(20 k) .

(28)

50i k 1

i k 1

С другой стороны, имеем оценку

50(30 k).

(29)

i k 1

Сравнивая (28) и (29), получаем неравенство:

100(20 k) 50(30 k) k 10,

kmax 10 .

По условию нужно минимизировать

k 1

R 2

min.

i 1 a

Оценим		снизу. Поскольку									1		1		, то
	R										1		1
	R										a	150
											a	150
											i
			20		k		1			k				2k			k			k
			20		k		1			k				2k			k			k
		R 2										2						2				.
		R 2	3				150		15			2		45			15	2	45			.
			3	i 1			150		15					45			15		45
Возьмём максимальное значение kmax 10 . Тогда
						2 10 2 2										16 .
					R	2 10 2 2										16 .
								45				9				9
На наборе чисел			150,...,150, 50,...,50													минимум							достигается.
На наборе чисел			150,...,150, 50,...,50													минимум					R		достигается.

							10					20

При этом после описанной процедуры получаем новый набор чисел

148,...,148, 49,...,49,

10 20

	S0 150 10 50 20 2500 , S1								148 10 49 20 2460 .
Уменьшение составило S 2500 2460 40,											как и было первона-
чально в задаче.
				10	200	30	4
					200	2	4		10 2 20		16
				i 1	150	i 11		3				,
			R	i 1	150	i 11		3
			R		30				30		9
					30				30		9
значит,		min 16 .
значит,	R	min 16 .
9
29. Ответ: а) да; б) нет; в) 381 .
Решение						7
Решение						A 19 40 59							40
а) Пример: 1,...,1, 40.						A 19 40 59				2,95,		A	40	40	A ,
						0	20		20			1	1		0
19				1

среднее арифметическое увеличилось (стёрли 19 нулей).

б) Пусть 20S0 27 S0 20 27 540 – сумма всех первоначально написанных чисел. Пусть k нулей стёрли, т. е. k единиц уменьшили на

единицу. Пусть m чисел уменьшили на единицу, но не стёрли. Новая сумма оставшихся на доске 20 – k чисел равна S1 S0 k m

540 k m . Получаем уравнение

540 k m 34 m 33k 140. 20 k

Для оценки k получаем неравенство

m 0 33k 140 0, k 5.

Возьмём, например kmin 5 . При этом

m 33 kmin 140 165 140 25,

что превышает количество первоначально написанных на доске чисел. Вывод: новое среднее арифметическое не может равняться 34.

в) Из предыдущего следует, что новое среднее арифметическое Ak равно

A 540 k m			1 520 m max.
k	20	k	20 k

Необходимо, чтобы числитель дроби был максимальным, т. е. m 0, азнаменательдроби 20 k минимальным,значит,число k –максималь- ным.

Максимально возможное значение среднего арифметического равно 40, если все исходные числа равны 40.

Получаем неравенство

1 20520k 40 k 6,

kmax 6, Amax 1 205206 1 52014 3817 .

Приведём пример, реализующий полученное значение.
1,...,1, 40,...,40,14 – исходные написанные числа.

6	13	1	40,...,40,14 .
После процедуры остались числа			40,...,40,14 .

				1
			13

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]