Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

Допустим, что результаты по каждой контрольной работе одинаковы, т. е. 9 студентов набрали по каждой работе в сумме 85 баллов. Эти баллы можно распределить, например, так: 4 20 + 5 1 = 85 или

4 10 + 5 9 = 85.

Результаты написания контрольных работ представлены в табл. 6.

Средний балл среди названных баллов равен 37028 18514 , как и тре-

бовалось. Поскольку 18514 13143 15, то построенный пример является

одновременно и ответом к пункту а).

37. Ответ: а) да; б) да; в) 296 .

Решение

а) Да, могут. Например, в двух группах с разным количеством чисел

(4) и (2, 6).

б) Могут. Допустим, что это возможно. Вычислим, какое может быть искомое одинаковое значение среднего арифметического в трёх группах.

Сумма всех данных чисел равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 12 = 40.

71

Получаем уравнение

nx mx kx (n m k)x 8x,

где n, m, k – количество чисел в этих группах, x – среднее арифметическое в трёх группах. Тогда 8x = 40 и x = 5.

Реализующий пример: средние арифметические значения в трёх группах (5), (1, 2, 12) и (3, 4, 6, 7) равны между собой.

в) Пусть x1, x2, x3 – значения средних арифметических в трёх группах, a = min(x1, x2, x3) – наименьшее значение среди трёх чисел. Величина числа а зависит от количества чисел в соответствующей группе, т. е. теперь нужно найти maxa по всем допустимым значениям n.

Оценим величину а:

nx1 mx2 kx3 40 min(x1,x2,x3)(n m k) 40 8a 40 a 5.

Следовательно, max(min(x1,x2,x3)) 5.

n

Таким образом, поскольку три средних арифметических значения могут быть равны друг другу, то наибольшее возможное значение наименьшего из них будет меньше среднего арифметического всех восьми чисел, равного 5.

Поскольку в группе не может быть больше шести чисел, то искомое число следует искать среди чисел вида 5 – 1/n, где n – натуральное число, не превышающее 6.

При n = 6 искомое число равно 5 − 1/6 = 29/6.

Остаётся привести пример, реализующий данное значение. Сумма шести чисел группы должна быть равна 29, например 1 + 2 + 3 + 4 + 7 + +12 = 29, оставшиеся числа 5 и 6 образуют две группы, средние арифметические значения которых больше, чем 29/6. Следовательно, наибольшее возможное значение наименьшего из трёх значений средних арифметических равно 29/6.

38. Ответ: а) да; б) нет; в) 437 .

Решение.

а) Могут. Например, в группах (9) и (2, 16).

б) Не могут. Сумма всех чисел равна 1 + 2 + … + 9 + 16 = 61. Получаем уравнение

nx + mx + kx = (n + m + k)x = 10x,

72

где n, m, k – количество чисел в этих группах, x – среднее арифметическое в трёх группах. Тогда x = 6,1. Однако такое среднее арифметическое можно получить, имея не меньше 10 чисел в каждой группе, а в данном случае их всего 10.

в) Пусть x1, x2, x3 – значения средних арифметических в трёх группах, b = max(x1, x2, x3) – наибольшее значение среди трёх чисел.

Величина полученного числа b зависит от количества чисел в соответствующей группе, т. е. теперь нужно найти minb по всем допустимым значениям n. Оценим величину b:

nx1 mx2 kx3 61 max(x1,x2,x3)

(n m k) 61 10b 61 b 6,1.

Следовательно, min(max(x1,x2,x3)) 6,1.

n

Так как три средних арифметических значения не могут быть равны друг другу, то наименьшее возможное значение наибольшего из них будет больше среднего арифметического всех десяти чисел, т. е. числа 6,1.

Поскольку вгруппенеможетбытьбольше восьми чисел,тоискомое число следует искать среди чисел вида 6 + 1/n, где n – натуральное число, не превышающее 8.

Приn =8искомоечислоравно6+1/8=49/8.Втакомслучаевгруппе 8 чисел и их сумма равна 49. Сумма двух оставшихся чисел равна

61 – 49 = 12.

Так как средние арифметические в двух группах по одному числу должны быть меньше 6,1, то это могут быть числа не больше чем 6, сумма которых меньше 12. Значит, среднее арифметическое 49/8 получить невозможно.

При n = 7 искомое число равно 6 + 1/7 = 43/7. Это значение получить можно:

16 9 8 4 3 2 1 43. 7 7

При этом средние арифметические чисел в двух группах (6) и (5, 7) меньше, чем 43/7.

73

2.5. Разные задачи

39. Ответ: а) 36; б) 72; в) 1.

Решение

а) Максимальное число очков девочки могли набрать в случае, если каждая выиграла все партии в играх с мальчиками, т. е. набрала 10 очков, суммарно все трое набрали 30 очков. В играх между собой они сыграли 3 2 = 6 партий, т. е. разыграли 6 очков. Окончательно максимум очков равен 30 + 6 = 36.

б) Каждый из 9 участников сыграл с остальными 16 партий. Но каж-

9 16 72 очка.

в) Пусть в турнире принимает участие n девочек и29n мальчиков. Пусть суммарно в играх с девочками мальчики набрали m очков.

Всего мальчики набрали 9n(9n 1) m очков. Суммарно девочки набрали 18n2 m в играх с мальчиками и n(n 1) очков в играх между

собой, всего n(n 1) 18n2 m очков. Получаем уравнение

9n(9n 1) m 4(n(n 1) 18n2 m).

Преобразуя, получим уравнение

m n(1 n).

По смыслу задачи m 0. Получаем неравенство n(1 n) 0 n 1.

Замечание. Решение показало, что девочка набрала 18 очков, играя только с девятью мальчиками. Получается, что она выиграла все партии у каждого из них, играя дважды. Умница!

40. Ответ: а) да; б) нет; в) 7.

Решение.

а) Пусть за блокнот заплачено k1 двухрублёвых, n1 пятирублёвых и m1 десятирублёвых монет, а за ручку соответственно k2, n2, m2 монет.

74

пяти- и десятирублёвых монет в кошельке.

Сложив первое и второе уравнения в системе (40), получим систему

Решение полученной системы в целых числах можно записать в виде

Получаем два возможных значения l 1 или l 2 .

Значение l 1 не подходит, поскольку в этом случае N 11, M 3, K k1 k2 0 k1 k2 0 , и система (40) запишется в виде

5n1 10m1 56,

5n2 10m2 29,

n1 n2 11,m1 m2 3.

75

Решений в целых неотрицательных числах n1, n2, m1, m2 полученная система не имеет (правые части первых двух уравнений не делятся

Полученная система имеет решение в целых неотрицательных чис-

лах, например, k1 3, k2 2, n1 0, n2 3, m1 5, m2 1.

Значит, за блокнот Аня могла заплатить 5 десятирублёвых монет и 3 двухрублёвые монеты, а за ручку – одну десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые монеты и 2 двухрублёвые монеты.

б) Аналогично а) запишем систему

В полученном отрезке нет ни одного целого числа l . Система (41) не имеет решения в целых неотрицательных числах.

76

Рис. 3

Следовательно, K 15, N 7, M 2,ипоэтомувсилуединственно-

сти полученного решения системы (42) значение N 7 и будет минимальным.

41. Ответ: а) да; б) нет; в) 1632.

Решение

а) Разность между ежедневным числом фотографий Наташи и Маши постоянна и равна n m . За пять дней она составила 5(n m) и по усло-

вию равна 935. Получаем уравнение 5(n m) 935, откуда n m 187. Возьмём, например, m 13, n 200.

б) Аналогично получаем уравнение 6(n m) 935, что невозможно,

k(n m) 935.

77

Разложим 935 на множители: 935 = 1 5 11 17. Поскольку k 2, то возможные значения k являются делителями числа 935: 5, 11, 17, 55, 85, 187, 935.

Оценим число S , учитывая ограничения:

Далее выполним перебор возможных значений k :

Дальнейшие значения k невозможны, поскольку m k 50 , а m 0. Приведём пример, реализующий полученную оценку Smax 1632 .

k 17, m 50 17 33, n m 935k 33 55 88.

Маша суммарно сделала S0 фотографий:

S0 33 34 35 ... 49 (33 49)17 697 . 2

Наташа суммарно сделала S фотографий:

S 88 89 90 ... 104 (88 104)17 1632. 2

Разность составила S S0 1632 697 935, как и было в условии задачи.

78

42. Ответ: а) нет; б) 16; в) 1280.

Решение

Рассмотрим моток верёвки длиной L см. Длина стандартного куска xi удовлетворяет неравенству 80 xi 85.

Поскольку моток разрезают без остатка, то L x1 ... xn .

Сложив полученные неравенства, получим условие того, что моток можно разрезать на n стандартных кусков:

В натуральных числах n система неравенств решений не имеет.

б) В данном случае при n = 16 имеем 80 16 < L < 85 16 (неравенства строгие, поскольку среди кусков имеются куски разной длины).

Пусть эту верёвку можно разрезать на n стандартных кусков, тогда

зать на 16 одинаковых стандартных кусков, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

в) Отрезки [80n, 85n] и [80(n + 1), 85(n + 1)], являющиеся решением неравенств 80n L 85n, 80(n 1) L 85(n 1), имеют общие точки

для всех n, при которых 80(n + 1) ≤ 85n, n ≥ 16 (рис. 4).

Значит, любую верёвку длиной L = 80 16 = 1280 см или более можно разрезать на стандартные куски.

79

Покажем что верёвку, длина L которой больше 85 15 = 1275 см, но меньше 80 16 = 1280 см, нельзя разрезать на n стандартных кусков ни для какого n.

Рис. 4

При n ≥16 получаем L < 80 16 ≤ 80n, что противоречит условию

80n ≤ L.

При n ≤15 получаем L > 85 15 ≥ 85n, что противоречит условию

L ≤ 85n.

Следовательно, искомое число равно 1280.

43. Ответ: а) нет; б) нет; в) 676 г.

Решение

а) Пусть в ящике находится k фруктов весом меньше 100 г и k фруктов весом больше 100 г. Тогда в ящике находится K = 76 – 2k фруктов весом 100 г. Из условий задачи получаем уравнение, выражающее суммарный вес всех фруктов:

85k 124k 100(76 2k) 100 76 9k 0 k 0.

80