Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

Последовательно испытывая значения N = 41, 42, 43, находим, что

стоит из n 3 натуральных чисел, причём при всех k n 2 выполнено

равенство 4ak 2 7ak 1 3ak .

а) Приведите пример такой последовательности при n 4.

б) Может ли в такой последовательности при некотором n 3 вы-

полняться равенство an 4a2 3a1?

в) Какое наименьшее значение может принимать a1 , если an 527 ?

Ответ: а) 1, 65, 113, 149; б) нет; в) 2.

67. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7424.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ: а) нет; б) да; в) 989.

68. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 12 раз больше, либо в 12 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 8750.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ: а) нет; б) да; в) 1347.

69. Дана арифметическая прогрессия, в которой 100 чисел. Разность прогрессии равна 60.

101

а) Может ли в прогрессии быть ровно 8 чисел, кратных 11?

б) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть в прогрессии?

в) Какое наибольшее количество чисел, кратных 11, может быть в прогрессии?

Ответ: а) нет; б) 9; в) 10.

Указание

а) an a1 60(n 1) an a1 n 1. 60

Давая последовательно значения n = 1, 2, …11, получим остатки от

членов данной прогрессии ровно одно число будет делиться на 11. Поскольку 100 = 9 11 + 1, то по принципу Дирихле найдутся не менее девяти чисел, делящихся на 11. Значит, ровно 8 чисел быть не может.

б) Минимальное количество чисел, делящихся на 11, будет 9, если число а1 не делится на 11.

в) Максимальное количество чисел, делящихся на 11, будет 10, если само число а1 делится на 11. Можно проверить, что это будут числа

a11k 1 a1 60 11k, k 0,1,...,9.

70. Все члены возрастающих арифметических прогрессий a1, a2,… и b1, b2,… являются натуральными числами.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых a1b1

Ответ: а) да, (an ):1, 3, 5,...; (bn ):1, 4, 7,...; б) нет; в) 98.

102

3.3. Проценты, доли, части

71.Врезультатеопросашкольниковвыяснилось,чтопримерно56% опрошенных любят математику (число 56 получено в результате округления до целого числа). Из этого же опроса последовало, что примерно 33 % респондентов любят делать домашнюю работу по математике.

а) Могло ли в опросе участвовать ровно 20 человек? б) Могло ли в опросе участвовать ровно 36 человек?

в) Какое наименьшее количество человек могло участвовать в этом опросе?

Ответ: а) нет; б) да; в) 9.

72. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали, по крайней мере, два ученика, а суммарно тест писали 27 учеников. Каждый писавший тест набрал натуральное число баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После того как один из учеников, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 4 %, средний балл в школе № 2 также вырос на 4 %. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 17?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 4 %, средний балл в школе № 2 также вырос на 4 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 5.

73. Каждый из группыучащихся сходил вкино или втеатр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 1/3 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 7/19 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли в группе быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 26 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 26 учащихся?

103

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Ответ: а) да; б) 13; в) 1225.

74. Группа школьников отправилась в поход. Каждый из группы учащихсявзялссобойлибоудочку,либокорзинку.Приэтомвозможно, что кто-то мог взять и удочку, и корзинку. Известно, что девочек, взявших удочки, было не более 2/9 от общего числа школьников, взявших удочку,адевочек,взявшихкорзинки,былонеболее1/3отобщегочисла школьников, взявших корзинки.

а) Могло ли в группе быть 11девочек, если дополнительно известно, что всего было 26 школьников?

б) Какое наибольшее количество девочек могло быть среди школьников, если дополнительно известно, что всего в группе было 26 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять мальчики, если в группе может быть любое число школьников?

Ответ: а) да; б) 11; в) 1425.

75. У каждого ученика класса дома живёт кошка или собака, а у некоторых, возможно, и кошка, и собака. Известно, что мальчиков, имеющих собак, не более 1/4 от общего числа учеников, имеющих собак, а мальчиков, имеющих кошек, не более 5/11 от общего числа учеников, имеющих кошек.

а) Может ли быть в классе 11 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в классе 21 ученик?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в классе, если дополнительно известно, что всего в классе 21 ученик?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учеников без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Ответ: а) да; б) 11; в) 136 .

104

3.4. Среднее арифметическое чисел

76. На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 16.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 4? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел рав-

няться 10?

в) Пусть B – шестое по величине число, а S – среднее арифметическоевсеходиннадцатичисел.Найдитенаибольшеезначениевыражения

S B .

Ответ. а) нет; б) нет; в) 1124 .

77. На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.

а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел рав-

няться 10?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.

Ответ. а) нет; б) нет; в) 12311 .

78. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку – целое число баллов от 1 до 15 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма – это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 452 ?

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 352 ?

105

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Ответ: а) нет; б) да; в) 87 .

79. На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных и отрицательных из них равно 14 и –7 соответственно.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Ответ: а) 42; б) положительных; в) 24.

80. На доске написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Сумма написанных чисел равна 210. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше единицы, с доски стёрли.

а)Моглоли оказатьсятак,чтосреднееарифметическоечисел,оставшихся на доске, больше 14?

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, оставшихся на доске.

Ответ: а) да. Например, 1,...,1, 37,...,37; б) нет; в) 18,5.

25 5

Решение

а) Стирали числа ni, удовлетворяющие неравенству n2i 1 1 ni 2 ni 1.

Пусть на доске написано k единиц. Новое среднее арифметическое равно

106

Возьмём k = 25. Сумма оставшихся пяти чисел равна 210 – 25 = 185 = = 5 37.

Искомый пример 1,...,1, 37,...,37.

Наибольшее значение среднего арифметического достигается при kmax = 25:

Amax 210 25 18,5. 2(30 25)

Полученное значение достигается на примере пункта а).

81. Каждый их 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или обе контрольные работы. За каждую контрольную можно было получить целое число баллов от нуля до 20 включительно. Каждый студент называет наивысший из полученных им баллов (если студент писал одну работу, то он называет балл за неё). Средний балл за каждую из контрольных работ равен 15. Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Может ли среднее арифметическое S названных баллов быть меньше 15?

б) Может ли среднее арифметическое S равняться 5?

107

в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?

Ответ: а) да; б) нет; в) 18514 .

3.5. Разные задачи

82. В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляется одно очко, за ничью – 0,5 очка, за проигрыш – 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие трое мальчиков и две девочки?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников десять?

в) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в семь раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в три раза больше очков, чем девочки?

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

83. Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 руб. Мила сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все покупки состоять из блокнота за 58 руб. и ручки за 26 руб., если n 19?

б) Могли ли все покупки состоять из чашки кофе за 15 руб., ватрушки за 25 руб. и шоколадного батончика за 30 руб., если n 31?

в) Какое наименьшее количество десятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Мила купила только альбом за 129 рублей и n 21?

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

84. Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых моглаиметьдостоинство2,5или10руб.Валясделалавсесвоипокупки, расплатившись закаждуюпокупкуотдельнобезсдачитолько этимимонетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

108

а) Могли ли все покупки состоять из блокнота за 59 руб. и ручки за 27 руб., если n 12?

б)Моглиливсепокупкисостоятьизстаканакиселяза10руб.,сырка за 15 руб. и булочки за 25 руб., если n 21?

в) Какое наименьшее количество десятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Валя купила только альбом за 93 руб. и n 15?

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

85. Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых моглаиметьдостоинство2,5или10руб.Танясделалавсесвоипокупки, расплатившись закаждуюпокупкуотдельнобезсдачитолько этимимонетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все покупки состоять из блокнота за 64 руб. и ручки за 31 руб., если n 16?

б) Могли ли все покупки состоять из стакана компота за 15 руб., ватрушки за 20 руб. и шоколадного батончика за 25 руб., если n 26?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Таня купила только альбом за 96 руб. и n 19?

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

86. Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд.

Впервый день Маша сделала m фотографий, а Наташа – n фотографий.

Вкаждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать 13 дней? б) Могли ли они фотографировать 12 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 35 фотографий?

Ответ: а) да; б) нет; в) 1711.

87. Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 168 см, но не более 175 см (назовём такие куски стандартными).

а) Можно ли разрезать на стандартные куски моток длиной 1000 см?

109

б) Некоторый моток верёвки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было разрезать тот же кусок?

в) Найдите такое наименьшее число L, что любой моток верёвки, длина которого больше L см, можно разрезать на стандартные куски.

Ответ: а) нет; б) 24; в) 4032.

88. Красный карандаш стоит 18 руб., синий – 14 руб. Нужно купить карандаши, имея всего 499 руб. и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на 6.

а) Можно ли купить при таких условиях 30 карандашей? б) Можно ли купить при таких условиях 33 карандаша?

в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

Ответ: а) да; б) нет; в) 31.

89. Имеется набор гирек попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждойиздвухчашлежатгирьки содинаковыми суммарнымимассами. Известно, что какие бы две гирьки ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу одну или несколько гирек так, что весы уравновесятся.

а) Может ли в наборе быть ровно 6 гирек, если в нём есть гирька массой 5 г?

б) Может ли в наборе быть ровно 5 гирек?

в) Известно, что в наборе самая лёгкая гирька имеет массу 1 г. Какую наименьшую массу может иметь самая тяжёлая гирька

набора?

Ответ: а) да; б) нет; в) 7.

90. В ящике находится 58 фруктов, вес каждого из которых в граммах – целое число. Известно, что в ящике имеются хотя бы два фрукта различного веса. Средняя масса всех фруктов равна 1000 г; средняя масса всех фруктов, вес которых меньше 1000 г, равна 976 г; средняя масса всех фруктов, вес которых больше 1000 г, равна 1036 г.

а) Может ли в ящике быть поровну фруктов, вес которых больше 1000 г, и фруктов, вес которых меньше 1000 г?

110