Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие
.pdfб) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия состоять из 12 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии?
17. Конечная возрастающая последовательность a1, a2,...,an со-
стоит из n 3 натуральных чисел, причём при всех k n 2 выполнено
равенство 3ak 2 5ak 1 2ak .
а) Приведите пример такой последовательности при n 4.
б) Может ли в такой последовательности при некотором n 3 вы-
полняться равенство an 3a2 2a1?
в) Какое наименьшее значение может принимать a1 , если an 667 ?
18.Вконечнойпоследовательности a1,a2,...,an ,состоящейизцелых
чисел, a1 = 1, an = 235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов? в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая после-
довательность?
19. Последовательность a1, a2,...,an состоит из n 3 натуральных
чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним членов).
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых члена?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 10?
20. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2014, а разность равна 13. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили
11
так же и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.
а) Найдите тысячное число получившейся последовательности.
б) Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.
в) Чему может равняться наибольшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?
21. Дано n различных натуральных чисел (не менее трёх), составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех членов прогрессии быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех членов прогрессии меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных n чисел равна 111.
22. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2618.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
23. Все члены возрастающих арифметических прогрессий a1, a2,… и b1, b2,… являются натуральными числами.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых a1b1 2a3b3 4a4b4 .
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых
2a1b1 a4b4 3a2b2 ?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение a2b2 , если 2a1b1 a4b4 210?
12
24. Несколько различных натуральных чисел, в десятичной записи которых отсутствуют цифры 1 и 9, составляют арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма членов такой прогрессии быть равной 298? б) Может ли в такой прогрессии быть 35 членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в прогрессии, если разность прогрессии не меньше 4, но не больше 8?
1.3. Проценты, доли, части
25. В результате опроса выяснилось, что примерно 58 % опрошенных респондентов предпочитают искусственную ёлку натуральной (число 58 получено в результате округления до целого числа). Из этого же опроса выяснилось, что примерно 42 % респондентов никогда не отмечали Новый год не дома.
а) Могло ли в опросе участвовать ровно 40 человек? б) Могло ли в опросе участвовать ровно 48 человек?
в) Какое наименьшее количество человек могло участвовать в этом опросе?
26. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали, по крайней мере, два ученика, а суммарно тест писал 51 ученик. Каждый писавший тест набрал натуральное число баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После того как один из учеников, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу
№2, средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10 %, средний балл в школе № 2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться единице?
в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10 %, средний балл в школе № 2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.
27. Каждый из группыучащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно,
что в театре мальчиков было не более 3 от общего числа учащихся 10
13
группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 5 от об12
щего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли в группе быть 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?
1.4. Среднее арифметическое чисел
28. На доске написаны числа a1,...,an , каждое из которых не меньше 50, но не больше 150. Каждое из чисел ai уменьшилось на ri %. При этом для каждого i (1 i n) либо ri равно 2, либо число ai уменьшилось на 2.
а) Может ли среднее арифметическое чисел r1,...,rn быть равным 5?
б) Может ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел r1,...,rn больше чем 2, а сумма чисел a1,...,an уменьшилась более чем
на 2n?
в) Пусть на доске написано 30 чисел, сумма которых уменьшилась на 40. Найдите наименьшее значение среднего арифметического r1,...,rn .
29. На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из этих чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными нулю, с доски стёрли.
а)Моглоли оказатьсятак,чтосреднееарифметическоечисел,оставшихся на доске, увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27.
Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27.
Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, оставшихся на доске.
14
30. На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18? б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел рав-
няться 11?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
31. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90; средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, составил 103, а не сдав- шихтест–79.Прикакомнаименьшемчислеучастниковтеставозможна такая ситуация?
32. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку – целое число баллов от нуля до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма – это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 301 ?
15
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 351 ?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
33. На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших их них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11? в)Найдитенаибольшеезначениесреднегоарифметическоговсехде-
сяти чисел.
34.Втечениеn днейнадоскезаписывалисьнатуральныечисла, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доске в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
35. Для 52 студентов профессор подготовил две контрольные работы. Любой студент может написать только одну из них или обе. Закаждуюконтрольнуюможнополучитьотнулядо30баллов.Средний балл за каждую из контрольных работ равен 17. Каждый студент называет наивысший из полученных им баллов профессору. Если студент написал одну работу, то он называет балл за неё.
а) Может ли среднее арифметическое названных баллов быть больше 17?
б)Можетлисреднееарифметическоеназванныхбалловравняться13, если обе контрольные работы написали ровно четыре студента?
16
в) Какое наименьшее количество студентов должно было написать обе контрольные работы, чтобы среднее арифметическое названных баллов могло равняться 13?
36. Каждый их 28 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую контрольную можно было получить целое число баллов от нуля до 20 включительно. Каждый студент называет наивысший из полученных им баллов (если студент писал одну работу, то он называет балл за неё). Средний балл за каждую из контрольных работ в отдельности составил 15. Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Может ли среднее арифметическое S названных баллов быть меньше 15?
б) Может ли среднее арифметическое S равняться 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
37. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой группе (для группы из одного числа среднее арифметическое чисел равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наибольшее возможное значение наименьшего из получаемых трёх значений средних арифметических.
38. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой группе (для группы из одного числа среднее арифметическое чисел равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх значений средних арифметических.
17
1.5. Разные задачи
39. В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют одно очко, за ничью – 0,5 очка, за проигрыш – 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие 5 мальчиков и 3 девочки?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников 9?
в) Сколько девочек могли принимать участие в турнире, если известно, что их в девять раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки?
40. Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 руб. Аня сделала все свои покупки, расплатившись закаждуюпокупку отдельнобезсдачитолько этимимонетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли все покупки состоять из блокнота за 56 руб. и ручки за 29 руб., если n 14?
б) Могли ли все покупки состоять из чашки чая за 10 руб., сырка за 15 руб. и пирожка за 20 руб., если n 19?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 руб. и n 24?
41. Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд.
Впервый день Маша сделала m фотографий, а Наташа – n фотографий.
Вкаждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 935 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать 5 дней? б) Могли ли они фотографировать 6 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?
18
42. Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 80 см, но не более 85 см (назовём такие куски стандартными).
а) Можно ли разрезать на стандартные куски моток длиной 700 см? б) Некоторый моток верёвки разрезали на 16 стандартных кусков, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было разрезать тот же кусок? в) Найдите такое наименьшее число L, что любой моток верёвки, длина которого больше L см, можно разрезать на стандартные куски.
43. В ящике находится 76 фруктов, вес каждого из которых в граммах – целое число. Известно, что в ящике имеется хотя бы два фрукта различного веса. Среднее арифметическое масс всех фруктов равно 100 г, среднее арифметическое масс всех фруктов, вес которых меньше 100 г, равен 85 г, среднее арифметическое масс всех фруктов, вес которых больше 100 г, равен 124 г.
а) Может ли в ящике быть поровну фруктов, вес которых больше 100 г, и фруктов, вес которых меньше 100 г?
б)Можетливящикебытьменее8фруктов,вескоторыхравен100г? в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в ящике?
44. Красный карандаш стоит 17 руб., синий – 13 руб. Нужно купить карандаши, имея всего 495 руб. и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.
а) Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша? б) Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?
в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?
45. Имеется набор гирек попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждойиздвухчашлежатгирьки содинаковыми суммарнымимассами. Известно, что какие бы две гирьки не положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу одну или несколько гирек так, что весы уравновесятся.
а) Может ли в наборе быть ровно 6 гирек, если в нём имеется гирька массой 7 г?
19
б) Может ли в наборе быть ровно 5 гирек?
в) Известно, что в наборе самая лёгкая гирька имеет массу 2 г. Какую наименьшую массу имеет самая тяжёлая гирька?
46. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 тыс. руб. (размер премии – целое число, кратное 1 тыс. руб.). Бухгалтеру поручают распределить премии, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1 тыс. руб. и 100 купюр по 5 тыс. руб.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 тыс. рублей, а остальное поделить поровну на 70 человек?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении премий?
47.Вротедвавзвода,впервомвзводесолдатменьше,чемвовтором, но больше, чем 46, а вместе солдат меньше, чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат (больше 8), при этом ни в одном ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б) Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?
в) Сколько в роте может быть солдат?
48. Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 30, но меньше 40, а в автобусе модели Б – больше 40, но меньше50.ЕсливсехдетейрассадитьвавтобусымоделиА,товсеместа будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.
а) Может ли потребоваться 5 автобусов модели А?
б) Найдите наименьшее возможное количество детей в группе, если известно, что их больше 150.
в) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе.
20