Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

30. Ответ. а) нет; б) нет; в) 11,75.

Решение

а) Сумма наибольших чисел не больше, чем 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + + 13 + 12 =105, а их среднее арифметическое не больше, чем 1057 15,

что меньше 18.

б)Пусть a1 a 2 ... a12 –упорядоченныеповозрастаниюнаписан-

ные числа.

Введём обозначения:

5

A ai – сумма пяти наименьших чисел; B a6 a 7 – сумма ше-

i 1

12

стогоиседьмогоповеличинечисла; C ai –суммапятинаибольших

i 8

чисел.

Получаем систему уравнений

Однако должно выполняться неравенство

C (a8 a9) (a10 a11) a12 B B 0,5B 2,5B .

Подставив числовые значения, получим противоречивое неравен-

ство 76 > 90.

в) По условию A + B = 56, B + C = 112. Среднее арифметическое всех чисел будет наименьшим, когда будет наименьшим сумма всех чисел:

A B C (A B) (B C) B 168 B min.

Значит, нужно найти наибольшее значение B.

61

Рассмотрим цепочку неравенств:

C 15 16 17 18 19 85.

Числа a1, a2, a3, a4, a5 подбираются с тем расчётом, чтобы

5

A ai C 56 85 56 29 .

i 1

На наборе чисел 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 условия задачи выполнены и B 13 14 27. Следовательно, наименьшее значение

среднего арифметического всех двенадцати чисел равно

A B C 29 27 85 141 11,75. 12 12 12

31. Ответ: а) да; б) да; в) 15.

Решение

а) Пусть тест писали 2 ученика, но оба не сдали тест. Пусть один ученик набрал 82 балла, (т. е. ему не хватило всего одного балла до сдачи теста).

62

Пусть другой ученик набрал m баллов. Средний балл составил

822 m .

После добавления 5 баллов средний балл не сдавшего тест ученика составил m + 5. Попробуем найти такое m, чтобы выполнялось неравенство

82 m m 5 m 72. 2

Поскольку m натуральное число, то можно взять m = 71. Выполним проверку:

82 71 76,5 71 5 76, 2

т. е. средний балл участника, не сдавшего тест, понизился.

б) Воспользуемся предыдущим примером и добавим ещё одного ученика, набравшего n 83 баллов, т. е. сдавшего тест.

Новый средний балл участников, сдавших тест, составил

(n 5) 87 n 92 . 2 2

Попробуем найти такое n , чтобы выполнялось неравенство

n 92 n n 92. 2

Возьмём, например n 100 . Выполним проверку.

Замечание. Можно привести и другие примеры. Например, k учеников набрали по 100 баллов, k учеников набрали по 82 балла, k учеников набрали по 71 баллу.

63

в) Пусть тест писали N n m учеников, из них n учеников сдали тест, а m – не сдали. Подсчитаем суммарный балл всех участников до и после описанной процедуры, предположив, что k учеников из m не сдавших тест перешли в разряд сдавших после добавления 5 баллов:

тест, составил (74 5)5 79, как и требуется в задаче. 5

32. Ответ: а) нет; б) да; в) 74 .

Решение

а) Пусть k1 k2 ... k7 – оценки экспертов в порядке возрастания. Обозначим A k1 k2 ... k7, B k2 ... k6 – сумма оценок, подсчитанная по старой и новой системам. Получаем равенство

7A B5 301 5A 7B 3035 ,

что невозможно в натуральных числах A, B .

64

б) Аналогично 7A B5 351 5A 7B 1.

Решение уравнения в натуральных числах можно записать в виде

A 3 7m,

B 2 5m, m N0.

Найдём максимальное и минимальное значения суммы оценок по старой и новой системам:

Amin 0 1 ... 5 6 21, Amax 4 5 ... 9 10 49 , 21 A 49; Bmin 1 2 ... 5 15, Bmax 5 6 ... 9 35 , 15 B 35 ,

Приведём пример, реализующий максимальное значение разности рейтингов: выставленные оценки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10.

33. Ответ: а) нет; б) нет; в) 10,5.

Решение

а) Если наименьшее число равно 3, то сумма шести наименьших чиселнеменьшечем3+4+5+6+7+8=33,аихсреднееарифметическое больше 5.

б)Пусть a1 a 2 ... a10 –упорядоченныеповозрастаниюнаписан- ные числа.

65

4

Обозначим A ai – сумма четырёх наименьших чисел,

i 1

10

B a5 a6 – сумма пятого и шестого по величине чисел, C ai –

i 7

сумма четырёх наибольших чисел. Тогда получаем систему уравнений

Но это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство

A a1 a2 a3 a4 2(a5 a6) 2B.

в) По условию A + B = 30, B + C = 90. Среднее арифметическое будет наибольшим, когда будет наибольшей сумма всех чисел:

А + В + С = (А + В) + (В + С) – В = 120 – В.

Значит, нужно найти наименьшее значение В. Имеем оценки: a1 4 a5, a2 4 a6, a3 2 a5, a4 2 a6 ,

a1 a2 a3 a4 12 2(a5 a6), A 12 2B.

Значит, 3В ≥ А + В + 12 = 30 + 12 = 42, В ≥ 14.

Если B 14 , то, поскольку a5 6, a4 5,...,a1 2 , получим, что

A 14 .

Противоречие, поскольку 30 = A + B ≤ 28. Следовательно, В ≥ 15. Покажем, что число В может равняться 15. Например, если на доске написаны числа 2, 3,4,6,7, 8, 9,10,11,45,тоусловия задачи выполнены

и В = 15.

Значит, наибольшее значение среднего арифметического всех чисел равно

A B C 120 B 120 15 10,5. 10 10 10

34. Ответ: а) нет; б) да; в) 33.

66

Решение

а) Если сумма чисел равна 7, то в первый день записано не более семи чисел (например, семь единиц). Значит, если n 6 , то в седьмой

день на доске было записано одно число. Но это невозможно, так как это число должно быть больше суммы чисел, написанных в первый день, равной 7.

б) Пусть n = 3. В первый день записано число 1 и шесть чисел 2, во второй день − шесть чисел 3, в третий день − пять чисел 4. Отсюда сумма чисел, записанных в первый день, равна 1 + 2 6 = 13, во второй день – 3 6 = 18; втретий день – 4 5 = 20. Среднее арифметическое чисел,

записанных в первый день, равно 137 2. Среднее арифметическое всех

чисел равно 176 2,5 .

в) В шестой день записано хотя бы одно число. Допустим, что в шестой день записано не больше двух чисел. Значит, в первый день записано не менее шести чисел, а их сумма не меньше 6. Это невозможно, поскольку в шестой день сумма записанных чисел должна быть не меньше 11, а сумма двух чисел, каждое их которых меньше 6, не может быть больше 10.

Таким образом, в 6-й день записано не менее трех чисел; в 5-й день записано не менее четырех чисел; в 4-й – не менее пяти чисел; в 3-й – не менее шести чисел; во 2-й – не менее семи чисел; в 1-й – не менее восьми чисел.

Количество написанных чисел не меньше чем 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + + 3 = 33.

Приведём реализующий оценку пример.

Пусть в 1-й день записано восемь раз число 1; во 2-й день – 6 раз число 1 и один раз число 3; в 3-й – 1, 1, 1, 1, 3, 3; в 4-й – 1, 1, 3, 3, 3; в 5-й – 3, 3, 3, 3; в 6-й – 3, 5, 5.

Суммы чисел за все эти дни равны 8 < 9 < 10 < 11 < 12 < 13 удовлетворяют условию задачи. Количество чисел равно 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + + 3 = 33.

35. Ответ: а) да; б) нет; в) 16.

Решение

а) Пусть два студента написали обе контрольные на 4 балла, 25 студентов написали только первую контрольную (двое – на 30 баллов,

67

23 – на 17 баллов), 25 студентов написали только вторую контрольную работу с теми же результатами ( двое – на 30 баллов, 23 – на 17 баллов).

Результаты написания контрольных работ представлены в табл. 4.

б) Нет, не может. Предположим противное. Тогда сумма названных баллов равна 13 52 = 676. Всего написанных контрольных работ 56, и сумма названных за них баллов равна 56 17 = 952. При этом 952 – 676 = 276, т. е. 276 баллов из числа заработанных не было подано профессору. Эти 276 баллов могли заработать только те четверо студентов, которые писали обе контрольные работы. Каждый из них не назвал балл за одну контрольную, т. е. не более 30 баллов.

В сумме количество баллов, не поданных профессору, не превышает 4 30 = 120 < 276. Значит, наше предположение неверно.

в) Пусть n студентов написали обе контрольные работы, тогда всего было написано (52 + n) работ и общее число заработанных баллов равно

17(52 n) 884 17n.

68

Сумма баллов, поданных профессору, равна 52 13 = 676. Тогда неподанными остались (884 +17n) – 676 = 208 + 17n баллов. Эти баллы могли быть получены только теми студентами, которые написали обе контрольные работы.

Каждыйизэтихстудентовоставилнеподанныминеболее30баллов. Значит, всего остались неподанными не более 30n баллов. Получаем неравенство 208 17n 30n n 16.

Пример, реализующий полученную оценку n = 16, представлен в табл. 5.

Пусть 16 студентов написали обе контрольные на 30 баллов, 18 – только первую контрольную (трое – на 30 баллов, один – на 8 баллов, остальные 14 – на 0 баллов) и 18 написали только вторую контрольную с теми же результатами.

Результаты написания контрольных работ представлены в табл. 5.

Средний балл за каждую контрольную работу равен

как и было в условии задачи.

Средний балл среди названных баллов равен 67652 13, как и требовалось.

36. Ответ: а) да; б) нет; в) 18514 .

69

Решение

б) Допустим, что S = 5. Пусть n студентов написали обе контрольные, тогда всего было написано 28 + n работ и общее число заработан-

ных баллов равно 15(28 + n) = 420 + 15n.

Сумма названных баллов равна 28 5 = 140. Тогда не названными остались (420 + 15n) –140 = 280 + 15n баллов. Эти баллы могли быть получены только теми студентами, которые написали обе контрольные работы. Каждый из этих студентов оставил неназванными не более 20 баллов. Следовательно, всего остались неназванными не более 20n баллов. Получаем неравенство

280 15n 20n n 56,

что противоречит тому, что всего студентов 28.

в) Пусть a – сумма баллов тех студентов, которые писали только одну контрольную работу; b − сумма наибольших баллов тех студентов, которыеписалиобеконтрольныеработы;с−сумманаименьшихбаллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы.

Получаем систему

Приведём пример, реализующий полученную оценку S = 185/14. Пусть в неравенстве стоит знак равенства

570 c 185 c 200.

28 14

Поскольку 10 студентов, писавшие обе контрольные работы, набрали в сумме наименьшее число баллов, равное 200, то каждый набрал максимальное число баллов, равное 20, за одну контрольную работу. Значит, 18 оставшихся студентов набрали в сумме 570 – 400 = = 170 баллов.

70