Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

б)Можетливящикебытьровно12фруктов,вескаждогоизкоторых равен 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь фрукт в ящике?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 240 г.

91.Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусе модели Б – больше 50, но меньше60.ЕсливсехдетейрассадитьвавтобусымоделиА,товсеместа будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?

б) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300.

в) Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А.

Ответ: а) да. Например, 220 = 5 44 = 4 55; б) 270; в) 17.

92.Издательство привезло на выставку несколько книг для продажи (каждую книгу в единственном экземпляре). Цена каждой книги – натуральное число рублей. Если цена книги меньше 100 руб., то на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 10 руб., из-за чего количество книг с биркой « выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 110 руб., средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 81 руб., а средняя цена книг без бирки – 226 руб. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 90 руб., а средняя цена книг без бирки – 210 руб. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Ответ: а) да; б) да; в) 20.

Указание. Решение аналогично решению задачи 31, отличие в литературном оформлении задачи.

111

3. Пусть x – действительное число.

Определение. Целой частью числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x . Обозначение: [x]. Целая часть удовлетво-

ряет неравенству[x] x [x] 1.

Определение. Дробной частью числа x называется разность x [x]. Обозначение:{x}. Дробная часть удовлетворяет неравенству

0 {x} 1.

Следовательно, x [x] {x}.

Пример 2. [2,7] 2, {2,7} 0,7; [ 2,7] 3, { 2,7} 0,3.

Задача. Сколько чисел, кратных 6, в первой сотне?

Решение. Количество искомых чисел равно 100 16.

6

4. Любое натуральное число a можно представить в виде

5. Каноническое представление натурального числа

a p1k1 p2k2 pnkn , ki 1, p1 p2 ... pn – простые числа.

Приведем ряд простых чисел, меньших 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Число K различных делителей натурального числа а, включая единицу и само число, дается равенством

K (1 k1)(1 k2)...(1 kn ).

Пример 3. Сколько различных делителей имеет число 12?

В самом деле, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 – всего 6 чисел. 6. Число разрядов n в десятичной записи натурального числа a опре-

деляется равенством n [lga] 1.

7. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Определение. Наибольшим общим делителем d двух натуральных

чисел n и m называется наибольшее целое число, на которое делятся оба числа.

113

Обозначение: d = НОД(n, m).

Если d 1, то числа n и m называются взаимно простыми. Свойства:

1.НОД (n, m) = НОД (m, n).

2.Если n m , то НОД(n, m) = НОД(n – m, m).

Пример 4. Сократима ли дробь 9 16n ? 4 7n

Решение

НОД (16n + 9, 7n + 4) = НОД (9n + 5, 7n + 4) = НОД (2n + 1, 7n + 4) =

=НОД (2n + 1, 5n + 3) = НОД (2n + 1, 3n + 2) = НОД (2n + 1, n + 1) =

=НОД (n, n + 1) = НОД (n, 1) = 1.

Числа взаимно простые, дробь несократима.

Пример 5. Определите сторону наибольшего квадрата и их количество, на которое можно разрезать прямоугольник размером 48 54.

Решение. A = НОД(48; 54) = 6 – искомая сторона.

K 486 546 8 9 72 – количество полученных квадратов.

Алгоритм Эвклида нахождения НОД(n,m):

n q1m r1, m q2r1 r2, r1 q3r2 r3,

.................

rk 1 qk 2rk .

НОД(n, m) = rk.

Пример 6. n = 112, m = 70.

Решение. Выполнив деления по алгоритму Эвклида, получим систему равенств

112 1 70 42,

70 1 42 28,42 1 28 14,

28 2 14, НОД(112; 70) = 14.

114

Определение. Наименьшим общим кратным q двух натуральных чисел n и m называется наименьшее целое число, которое делится на оба числа.

Обозначение: q = НОК(n, m). Справедлива теорема:

Произведение наибольшего делителя d на наименьшее общее кратное q двух натуральных чисел равно произведению этих чисел:

dq = НОД(n, m) НОК(n, m) = n m. Пример 7. НОД(8, 12) = 4, НОК(8, 12) = 24, 4 24 = 8 12 = 96.

Сравнения и их свойства

Определение. Если два целых числа a и b при делении на натуральное число m >1 дают один и тот же остаток r, так что

то они называются равноостаточными или сравнимыми по модулю m:

Основные свойства сравнений

1. Соотношение сравнимости:

а) рефлексивно, т. е. из a b следует a b (mod m) (равные числа сравнимы по любому модулю);

б) симметрично, т. е. из a b modm следует b a (modm);

в) транзитивно, т. е. из a b (modm), b c (modm) следует a c (modm) .

2.Сравнениясоднимитемжемодулемможнопочленноскладывать и вычитать, т. е. из a1 b1 (modm) и a2 b2 (modm) следует

a1 a2 b1 b2 (modm).

3. Слагаемое из одной части сравнения можно переносить в другую, если изменить его знак, т. е. если a b c (modm) , то a c b (modm).

4.Сравнениясоднимитемжемодулемможнопочленноперемножать,

т. е. из a1 b1 (modm) и a2 b2 (modm) следует a1a2 b1b2 (modm) .

115

5. Сравнение можно возводить в любую натуральную степень, т. е. из a b (modm) следует an bn (modm).

6. К любой части сравнения можно прибавить число, кратное модулю,

т. е. из a b (modm) и 0 mk (modm) следует a b mk (modm), где

k Z.

7. Обе части сравнения можно разделить на их общий множитель, если он взаимно прост с модулем, т. е. из ad b d (modm) и

НОД(d, m) = 1 следует a b (modm).

8. Обе части сравнения и модуль можно умножать на одно и то же натуральное число, т. е. из a b (modm) следует ak bk (mod mk).

9. Общий делитель одной части сравнения и модуля является также делителем второй части, т. е. из a b (modm) и a a1d, m m1d сле-

дует b 0 (mod d).

Решить сравнение (П3) – значит найти все значения x , которые ему удовлетворяют. Решение можно записать в виде

x x0 mt, t Z ,

где x0 – какое-либо частное решение сравнения.

Частное решение можно найти, например, методом подбора, методомпреобразованиякоэффициентов имодуля,используясвойства сравнений, и некоторыми другими приёмами.

Пример 9. Решить сравнения:

а) 5x 7 (mod8); б) 2x 3(mod4).

Решение

а) Давая значения x , равные остаткам от деления целого числа на 8, а именно 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, находим, что при x 3 сравнение справедливо.

Общее решение: x 3 8t, t Z.

116

б) Переносим 3 в левую часть сравнения 2x 3 0(mod4). Число

2x 3является нечётным и не может давать остаток 0 при делении на 4.

Значит, сравнение не имеет решений.

Пример 10. 7x 6 (mod15).

Решение 1. Прибавим в правой части число 15, кратное модулю (свойство 6):

7x 6 15 21(mod15).

Сократим обе части сравнения на 7, поскольку НОД(7, 15) = 1 (свойство 7):

x 3(mod15), x 3 15t, t Z.

Решение 2. Выполним замену x 3y , тогда 7 3y 6 (mod15). Сократим обе части и модуль на НОД (21, 6, 15) = 3 (свойство 8):

Решение неопределённых уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах

Требуетсярешитьуравнение ax by c вцелыхчислах.Можносчитать целые числа a, b, c попарно взаимно простыми.

Общее решение можно записать в виде

пара (x0, y0) – какое-либо частное решение уравнения. Частное реше-

ние можно найти подбором, припомощи сравнений, алгоритма Эвклида нахождения НОД(a, b) и т. д.

Пример 11. Решить уравнение 16x 7y 1 в целых числах.

Решение. В качестве модуля сравнения возьмём число 7. Это меньшее число из коэффициентов 16 и 7. Иными словами, переходим от уравнения к остаткам от деления на 7.

117

Получим сравнение 2x 1(mod7). Подбором (перебирая возможные остатки от деления числа на 7) находим частное решение x0 4,

значит, x 4 7m .

Подставим полученное значение x в уравнение и находим y:

16(4 7m) 7y 1 y 9 16m .

Общее решение:

x 4 7m,

y 9 16m, m Z.

Задача. Один мастер делает на длинной ленте пометки синим карандашом от ее начала через каждые 25 см. Другой мастер делает пометки красным карандашом через каждые 36 см. Может ли синяя пометка оказаться от красной на расстоянии 1 см?

Решение

Пусть синяя х и красная у пометки находятся на расстоянии 1 см. Задачасводитсякрешениюуравнения |25x 36y | 1 внатуральных

числах.

Воспользуемся алгоритмом Эвклида нахождения НОД(25; 36) и запишем систему равенств

Последовательно подставляя, получим

1 3 (11 3 3) 3 4 11 (25 11 2) 4 11 25 4 11 9 = =25 4 (36 25) 9= 25 13 36 9 = 1.

Значит, x0 13, y0 9 – искомые частные решения. Итак, 13-я синяя пометка и 9-я красная находятся на расстоянии 1 см друг от друга.

118

Задачи для самостоятельной работы

1.Доказать, что НОД(5a + 3b,13a + 8b) = НОД(a, b).

2.Решить уравнение 4x 3y 10 в натуральных числах.

3.Решить уравнение 5x 7y 1 в целых числах.

4.Решить уравнение 3x 8y 7 в натуральных числах.

5.Решить уравнение 3x 8y 37 в целых числах.

6.Решить уравнение 8x 3y 29 в натуральных числах.

119