Математика алгебра и начала математического анализа, геометрия. Ч.I. Практикум
.pdf
2. |
Значение |
|
1482 1402 равно … |
|
|
||||||||
|
a) 148 |
|
|
|
|
|
|
b) |
288 |
|
|
c) 60 |
d) 65 |
3. |
Дроби |
|
1 |
|
|
соответствует одночлен … |
|
||||||
10 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a) 10 |
|
|
|
|
|
|
b) 10 2 |
|
|
c) 10 12 |
d) 2 10 |
|
4. |
Значение выражения 5 101 |
4 10 2 5 10 3 равно … |
|
||||||||||
|
а) 900 |
|
|
|
|
|
|
b) 0,06 |
|
|
с) 0,09 |
d) 5,09 |
|
5. |
Значение выражения 2 5 5 |
2 1 |
5 равно … |
|
|||||||||
|
а) 160 |
|
|
|
|
|
|
b) 16 |
|
|
с) 32 |
d) 156 |
|
6. |
Значение частного |
4,5 102 |
равно ... |
|
|||||||||
9 104 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) 0,5 |
|
|
|
|
|
|
b) 0,05 |
|
|
с) 5 |
d) 50 |
|
7. |
Значение степени 3log9 4 равно … |
|
|||||||||||
|
а) 4 |
|
|
|
|
|
|
b) 64 |
|
|
с) 49 |
d) 2 |
|
8. |
Сумма og |
28140 log 285,6 равна … |
|
||||||||||
|
а) 2 |
|
|
|
|
|
|
b) 5,5 |
|
|
с) 198 |
d) 36 |
|
9. |
Разность og 3243 log3 9 равна … |
|
|||||||||||
|
а) 3 |
|
|
|
|
|
|
b) 9,5 |
|
|
с) 243 |
d) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
10. Значение выражения |
x x |
|
при x 4 равно … |
|
|||||||||
x 12 |
|
||||||||||||
|
а) 64 |
|
|
|
|
|
|
b) 16 |
|
|
с) 256 |
d) 7 |
|
11. Дробь |
44 |
после избавления от иррациональности в знаменателе рав- |
|||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||
носильна … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a) 44 2 |
|
|
|
|
|
|
b) 22 2 |
|
|
с) 4 |
d) 6 2 |
||
31
12. Дробь 452
2 после избавления от иррациональности в числителе равносильна …
|
a) 16 |
|
|
b) |
|
|
4 |
|
|
|
c) |
45 |
|
d) |
|
6 |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
В определении логарифма logb a число bудовлетворяет условиям … |
||||||||||||||||||
a) b 0,b 1 |
|
b) b 1 |
c) b 0,b 1 |
d) b 0 |
|||||||||||||||
2. |
Значение |
4522 4482 |
равно … |
|
|
|
|
||||||||||||
|
а) 825 |
|
|
|
b) |
392 |
|
с) 864 |
d) |
968 |
|||||||||
3. |
Дроби |
|
1 |
соответствует одночлен … |
|
|
|
|
|||||||||||
112 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a) 112 |
|
|
|
|
b) 11 2 |
|
c) 11 12 |
d) 211 |
||||||||||
4. |
Значение выражения 1,3 102 |
2,5 10 1 равно … |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) 325 |
|
|
|
b) 23,45 |
с) 130,25 |
d) 3,8 |
||||||||||||
5. |
Значение выражения 7 3 6 7 5 3 равно … |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) 160 |
|
|
|
|
|
|
b) 7 |
|
с) 16 |
d) 49 |
||||||||
6. |
Значение частного |
|
0,5 104 |
равно ... |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
8 103 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
а) 0,5 |
|
|
|
b) 0,625 |
|
с) 0,125 |
d) 0,25 |
|||||||||||
7. |
Значение частного |
|
|
36 |
|
|
равно … |
|
|
|
|
||||||||
|
3log34 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) 36 |
|
|
|
|
|
|
b) 4 |
|
|
с) 12 |
|
d) 9 |
||||||
8. |
Сумма log18 216 log181,5 равна … |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) 2 |
|
|
|
|
|
b) 5,5 |
|
|
с) 198 |
d) 36 |
||||||||
9. |
Разность log654 log6 0,25 равна … |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) 3 |
|
|
|
b) 0,25 |
|
с) 54 |
|
d) 5 |
||||||||||
32
10. Значение выражения |
x 13 x 2 |
при x 7 равно … |
|
|
|
||||||||
|
x 18 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 64 |
|
|
|
|
b) 7 |
|
с) 16 |
d) 256 |
|||||
11. Дробь |
58 |
|
после избавления от иррациональности в знаменателе рав- |
||||||||||
2 |
|
||||||||||||
носильна … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) 58 2 |
|
|
|
b) 29 2 |
|
с) 4 |
d) 6 2 |
||||||
12. Дробь |
57 |
|
2 |
после избавления от иррациональности в числителе рав- |
|||||||||
2 |
|
||||||||||||
носильна … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) 16 |
|
|
|
b) |
4 |
|
c) |
57 |
|
d) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||
33
III. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Математические выражения и их тождественные преобразования составляют одну из содержательно-методических линий курса алгебры. Основная цель изучения этого материала состоит в развитии формально-оперативных умений до уровня, позволяющего их использовать при решении задач математики и смежных предметов.
Выражение, состоящее из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень, извлечения корня и скобок, называется алгебраическим.
Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменных.
Множество всех допустимых значений переменных называется областью определения.
Числовое значение, полученное при подстановке в алгебраическое выражение допустимых значений переменных, называется значением алгебраиче-
ского выражения.
Два выражения называются тождественно равными, если при допустимых длянихзначенияхпеременныхсоответственныезначенияэтихвыраженийравны.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением,
называют тождественным преобразованием выражения.
Целью тождественного преобразования может быть придание выражению вида,болееудобногодлячисленныхрасчетов илидальнейших преобразований.
Формула корней квадратного уравнения ax2 bx c 0
x1,2 b2a D , где D b2 4ac.
Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
Если |
x |
и |
x |
2 |
корни квадратного уравнения ax 2 |
bx c 0 |
, то при |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
всех |
x справедливо равенство ax 2 bx c a x x1 |
x x2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Формулы сокращенного умножения |
|
|
|
a 2 b 2 a b a b . |
|
|
|
||||||
a b 2 a2 2ab b2 . |
|
|
|
||||||
a b 2 a2 2ab b2 . |
|
|
|
||||||
a 3 b 3 a b a 2 ab b2 . |
|
|
|
||||||
a 3 b 3 a b a 2 ab b2 . |
|
|
|
||||||
a b 3 a3 3a2 b 3ab2 b3 . |
|
|
|
||||||
a |
b 3 a 3 3a 2b 3ab2 b3 . |
|
|
|
|||||
34
Тестовые задания
Вариант 1
1. Выражение, состоящее из чисел, переменных, знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень, извлечения корня и скобок называется …
а) алгебраическим |
|
с) тригонометрическим |
|||||
b) векторным |
|
|
d) линейным |
||||
2. |
При x 110 значение выражения |
5x 14 5x 14 |
25x2 8 равно … |
||||
|
а) 825 |
|
b) –395 |
с) –204 |
d) 539 |
||
3. |
Стандартным видом выражения x2 2 x y x y |
2 является … |
|||||
|
а) x 2 2x y |
b) x y 2 |
с) 2xy |
d) y 2 |
|||
4. |
Выражению 4x y |
2 y 2 5x y соответствует двучлен … |
|||||
|
а) x 2 2x y |
b)16x2 3x y |
с) x y 2 |
d) 2xy |
|||
5. |
Разложением x 2 6x 16 на линейные множители есть … |
||||||
|
а) x 1 x 8 |
|
|
с) x 8 x 2 |
|||
|
b) x 2 |
x 8 |
|
|
d) x 8 x 2 |
||
6. |
Тождественно равным для x 6 |
x 4 является трехчлен … |
|||||
|
а) x 2 2 x 24 |
|
|
с) x 2 8 x 9 |
|||
|
b)x 2 2 x 8 |
|
|
d) x 2 6x 16 |
|||
7. |
Если |
2a 7b 5 |
9, то значение выражения 61a 11b 50 равно … |
||||
|
|||||||
|
7 a 2b 5 |
|
|
|
|
||
|
а) –10 |
|
b) 10 |
с) 50 |
d) –11 |
||
8. |
Если p x 2x |
1, то сумма двучленов p x 7 |
p 13 x равна … |
||||
|
а) 15 |
|
b) 20 |
с) 13 |
d) –11 |
||
9. |
Значение выражения |
a 6 2 |
a 10 2 при 6 a 10 равно … |
||||
|
а) 4 |
|
b) –3 |
с) 6 |
d) 10 |
||
35
|
|
|
7 a 5 |
4 11 a 5 4 |
|
|
10. |
Значение выражения |
|
3a10 2 |
равно … |
||
|
а) 5a |
b) 3 |
|
с) 3 |
d) 4 |
|
11. |
Остаток от деления 33 x |
2 6 x 12 |
: x 4 |
есть … |
||
|
а) 2 |
b) 4 |
|
с) 20 |
d) –3 |
|
12. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?
а) 10 |
b) 20 |
с) 40 |
d) 25 |
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
1. |
Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет |
|||||
смысл, называются … |
|
|
|
|
||
а) допустимыми значениями переменных |
с) векторами |
|||||
b) квадратными |
|
|
|
d) линейными |
||
2.При x 120 значениевыражения x 5 |
4 |
x 5 16 |
x 2 8 x 48 равно… |
|||
|
а) 777 |
b) –395 |
|
|
с) 887 |
d) 539 |
3. |
Стандартным видом выражения x y |
2 2x y x2 |
является … |
|||
|
а) x 2 2x y |
b) x y 2 |
|
с) 2xy |
d) y 2 |
|
4. |
Выражению 25 x 5 2 3xy соответствует двучлен … |
|||||
|
а) x 2 10x y |
|
с) x 2 10x y |
|||
|
b) x 2 13x y |
|
d) x 2 10x y |
|
||
5. |
Разложением |
x 2 4x 3 на линейные множители есть … |
||||
|
а) x 1 x 4 |
|
с) 7 x 1 x 3 |
|||
|
b) x 1 x 4 |
|
d) x 1 x 3 |
|
||
6. |
Тождественно равным для x 4 |
x 2 |
является трехчлен … |
|||
|
а) x 2 2x 8 |
|
с) x2 8x 9 |
|
||
|
b) x 2 2x 8 |
|
d) x 2 6x 16 |
|||
36
7. |
Если 2a 7b 5 |
8, то значение выражения 54 |
a 9 b 50 равно … |
||||
|
7a 2b 5 |
|
|
|
|
|
|
|
а) –10 |
b) 15 |
|
с) 50 |
|
d) –11 |
|
8. |
Если p x 2 x |
5, то сумма двучленов |
x 7 |
p |
15 x равна … |
||
|
а) 13 |
b) 15 |
|
с) 21 |
|
d) 17 |
|
9. |
Значение выражения a 7 2 a 10 |
2 , при 7 a 10 равно … |
|||||
|
а) 3 |
b) 5 |
|
с) –3 |
|
d) –4 |
|
10. Значение выражения |
7 a 4 |
5 65 a5 4 |
равно … |
|
|||
|
2a10 2 |
|
|||||
|
а) 5a |
b) 18 |
|
с) –3 |
|
d) 2 |
|
11. Остаток от деления 3 x |
6 x 17 : x 4 |
есть … |
|||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
а) 2 |
b) 9 |
|
с) 7 |
|
d) –3 |
|
12. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66ав-
томобилей. На сколько процентов завод выполнил план? |
|
||||
|
а) 10 |
b) 20 |
|
с) 90 |
d) 110 |
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
1. |
Значения переменных, при которых алгебраическое выражение …, на- |
||||
зываются допустимыми значениями переменных. |
|
||||
|
а) существует |
|
с) не существует |
|
|
|
b)не определено |
|
d)неверно |
|
|
2.При x 120 значениевыражения x 16 |
8 x 16 64 x |
2 3 x 2 равно… |
|||
|
а) 825 |
b) –395 |
|
с) –614 |
d) 539 |
3. |
Стандартным видом выражения 2 x 1 |
2 4 x 1 является … |
|||
|
а) x 2 |
b) 16 |
|
с) 2xy |
d) 4x 2 |
4. |
Выражению 2 x 1 |
2 x 1 4 x 2 |
1 соответствует двучлен … |
||
а) 8x 2 1 |
b) –2 |
|
с) 2 |
d) 1 4x |
|
37
5. Разложением x 2 2 x 3 на линейные множители является …
|
а) x 1 x 3 |
|
|
|
|
с) x 1 x 4 |
|
||||
|
b) 7 x 1 x 1 |
|
|
|
|
d) x 1 x 3 |
|
||||
6. |
Тождественно равным для |
x 8 |
x 2 |
является трехчлен … |
|||||||
|
а) x 2 6 x 16 |
|
|
|
|
с) x 2 6x 8 |
|
||||
|
b) x 2 2 x 8 |
|
|
|
|
d) x 2 8 x 9 |
|
||||
7. |
Если |
2a 7b 5 |
7, то значение выражения 8 |
a 7 b 50 равно … |
|||||||
|
|||||||||||
|
7 a 2b 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) –10 |
b) 20 |
|
|
с) 15 |
|
d) –11 |
||||
8. |
Если p x 2x 1, то сумма двучленов p x 3 |
p |
5 x равна … |
||||||||
|
а) 13 |
b) 21 |
|
|
с) 5 |
|
d) 17 |
||||
9. |
Значение выражения |
|
a |
5 2 |
a 9 |
|
2 при 5 a 9 равно … |
||||
|
а) 4 |
b) 3 |
|
|
с) 5 |
|
d) 9 |
||||
10. Значение выражения |
11 a 4 5 25 a 5 4 |
равно … |
|
||||||||
|
|
3a10 |
2 |
|
|||||||
|
а) 5a |
b) 4 |
|
|
с) –3 |
|
d) 2 |
||||
11. Остаток от деления 3 |
x |
26 x 14 |
: |
x 4 |
составляет … |
||||||
|
а) 2 |
b) 6 |
|
|
с) 7 |
|
d) –3 |
||||
12. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?
а) 10 b) 20 с) 90 d) 85
Вариант 4
1. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют …
а) тождественным преобразованием выражения b) линейным преобразованием
с) векторным преобразованием d) квадратичным преобразованием
38
2.При x 130 значениевыражения 7x 7 |
7x 7 49 x2 3x 25 равно… |
|||||||||
|
а) 825 |
b) –395 |
|
|
с) 316 |
|
d) 539 |
|||
3. |
Стандартным видом выражения 5 x 1 |
2 10 x 1 является … |
||||||||
|
а) x2 |
b) 25x |
|
с) 2xy |
|
d) 25x 2 |
||||
4. |
Выражению x 1 |
2 x 2 |
2 x соответствует двучлен … |
|||||||
|
а) 2x 2 1 |
|
|
|
с) 2x 2 1 |
|
|
|||
|
b)1 4x |
|
|
|
d)1 4x |
|
|
|||
5. |
Разложением x 2 3 x 4 на линейные множители является … |
|||||||||
|
а) x 1 x 3 |
|
|
|
с) x 1 x 4 |
|
||||
|
b) 7 x 1 x 3 |
|
|
|
d) x 1 x 4 |
|
||||
6. |
Тождественно равным для x 8 |
x 2 |
является трехчлен … |
|||||||
|
а) x 2 6 x 16 |
|
|
|
с) x 2 2 x 8 |
|
||||
|
b) x2 2x 8 |
|
|
|
d) x 2 8 x 9 |
|
||||
7. |
Если 2 a 7 b 5 |
|
6, то значение выражения 40 |
a 5 b 50 равно … |
||||||
|
7 a 2 b 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) –10 |
b) 25 |
|
|
|
с) 20 |
|
d) –11 |
||
8. |
Если p x 2x 3, то сумма двучленов |
p x 5 |
|
p 3 x равна … |
||||||
|
а) 13 |
b) 5 |
|
|
|
с) –10 |
|
d) –7 |
||
9. |
Значение выражения |
a 11 2 |
a 7 2 при 7 |
a 11 равно … |
||||||
|
а) 4 |
b) 5 |
|
|
|
с) –3 |
|
d) 3 |
||
10. Значение выражения |
21 |
a 4 5 15 a5 4 |
равно … |
|
||||||
|
3a10 2 |
|
|
|
||||||
|
а) 5a |
b) 4 |
|
|
|
с) –3 |
|
d) 2 |
||
11. Остаток от деления x |
3 3x 2 6x 10 : x 4 составляет … |
|||||||||
|
а) 7 |
b) 2 |
|
|
|
с) 6 |
|
d) –3 |
||
12. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 8 кг олова и 32 кг меди?
а) 10 |
b) 20 |
с) 90 |
d) 80 |
39
Вариант 5
1. Два выражения называются …, если при допустимых для них значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
|
а) тождественно равными |
|
с) компланарными |
|||||
|
b) коллинеарными |
|
|
|
d) единичными |
|||
2.При x 110 значениевыражения |
x 11 |
2 x 11 |
4 x 2 2 x 35 равно … |
|||||
|
а) –400 |
b) 35 |
|
|
с) –306 |
d) –185 |
||
3. |
Стандартным видом выражения a 4 |
2 8a 16 является … |
||||||
|
а) 16a2 |
b)16a |
|
|
с) 8a |
d) a 2 |
||
4. |
Выражению x 2 |
2 x 2 |
x 2 |
соответствует двучлен … |
||||
|
а) 8 4x |
|
|
|
с) 2 4x2 |
|
||
|
b) x2 4 |
|
|
|
d) 1 4x |
|
||
5. |
Разложением x 2 6x 7 на линейные множители является … |
|||||||
|
а) x 1 x 8 |
|
|
|
с) x 1 x 7 |
|||
|
b) 7 x 1 x 8 |
|
|
|
d) x 1 x 7 |
|||
6. |
Тождественно равным для x 5 |
x 2 |
является трехчлен … |
|||||
|
а) x 2 3x 10 |
|
|
|
с) x 2 2x 8 |
|||
|
b) x 2 2x 8 |
|
|
|
d) x 2 3x 10 |
|||
7. |
Если 2 a 7b 5 |
5, то значение выражения 40 a 5b 50 равно … |
||||||
|
7 a 2b 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) –10 |
b) 30 |
|
|
с) 15 |
d) –11 |
||
8. |
Если p x 2 x 1, то сумма двучленов p x 3 |
p 7 x равна … |
||||||
|
а) –3 |
b) 21 |
|
|
с) 9 |
d) 17 |
||
9. |
Значение выражения a 4 2 |
a 10 2 при 4 a 10 равно … |
||||||
|
а) 6 |
b) –3 |
|
|
с) 3 |
d) 4 |
||
10. Значение выражения |
9 a4 |
5 35 a 5 4 |
равно … |
|
||||
|
2a10 |
2 |
|
|||||
|
а) 5а |
b) 11 |
|
|
с) –3 |
d) 2 |
||
40