ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание № 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
|
6x |
+ |
x |
+ |
4x |
=6, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1) |
4x1 |
+ 3x2 |
+ 2x3 |
=9, |
|||
|
5x |
+ |
x |
+ |
4x |
=5. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
5x + |
7x + |
7x =5, |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
3) |
5x1 |
+ 3x2 |
+ 7x3 |
=1, |
|||
|
x |
+ |
4x |
+ |
2x |
=3. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ |
3x |
+ |
x |
=6, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
5) |
2x1 |
+ x2 |
+ 3x3 |
=3, |
|||
|
2x |
+ |
x |
+ |
x |
=1. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ |
2x |
+ |
4x |
= 2, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
7) |
2x1 |
+ x2 |
+ 4x3 |
=0, |
|||
|
6x + 9x |
+ 4x = 4. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
6x + 2x + 4x =0, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
9) |
5x1 |
+ 2x2 |
+ 8x3 |
=5, |
|||
|
4x + 4x + 6x =6. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ |
2x |
+ |
3x |
= 4, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
11) |
6x1 |
+ |
6x2 |
+ |
5x3 |
=5, |
|
|
8x + |
8x |
+ |
3x =3. |
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4x + 6x + 2x =3, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
13) |
x1 |
+ |
8x2 |
+ |
2x3 |
=8, |
|
|
7x + 3x |
+ 8x =0. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2x + 3x |
+ 2x = 2, |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
2) |
6x1 |
+ 4x2 |
+ 4x3 |
=3, |
|||
|
2x |
+ |
4x |
+ |
x |
= 4. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3x + 5x + 2x =6, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4) |
9x1 |
+ x2 |
+ 4x3 |
=3, |
|||
|
x |
+ |
5x |
+ |
2x |
=6. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
|
|
+ |
3x |
= 4, |
|
6) |
|
1 |
|
x2 |
+ |
3 |
=3, |
|
|
|
4x3 |
||||
|
6x + 9x + 4x |
=1. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
9x + 6x + 4x =5, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
8) |
9x1 |
+ x2 |
+ 3x3 |
=1, |
|||
|
3x + 7x + 4x = 4. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ |
3x |
+ |
2x |
=3, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
10) |
5x1 |
+ |
4x2 |
+ |
8x3 |
=3, |
|
|
4x |
+ 7x |
+ 2x |
= 4. |
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
7x |
+ |
x |
+ |
7x |
=1, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
12) |
4x1 |
− |
2x2 |
+ |
7x3 |
=1, |
|
|
2x |
+ |
8x |
+ |
3x |
=9. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
8x |
+ |
x |
+ |
x |
= 2, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
14) |
8x1 |
+ |
6x2 |
+ |
9x3 |
=5, |
|
|
4x |
+ 2x |
+ 6x |
=5. |
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
81
|
6x + 8x + 5x =9, |
|
8x + 7x |
+ 7x = 4, |
|||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
15) |
2x1 |
+ |
8x2 |
+ |
9x3 |
=1, |
16) |
8x1 |
+ |
x2 |
+ |
5x3 |
=0, |
||
|
x |
+ 9x + 7x =3. |
|
6x + 7x |
+ x |
=9. |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
8x + |
7x |
+ 6x |
=3, |
|
4x + 2x + x |
= 4, |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
17) |
9x1 |
+ |
3x2 |
+ |
5x3 |
= 2, |
18) |
9x1 |
+ |
8x2 |
+ |
8x3 |
=1, |
||
|
4x + |
7x |
+ 4x |
=3. |
|
6x + 6x + 5x = 2. |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
6x + 2x + 7x =3, |
|
8x + 2x + 5x =5, |
||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
19) |
x1 |
+ |
2x2 |
+ |
4x3 |
=1, |
20) |
x1 |
+ |
5x2 |
+ |
x3 |
=5, |
||
|
8x + x |
+ 6x = 4. |
|
x |
+ 2x + x |
= 2. |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
Задание № 2. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
|
3x |
+ |
5x |
+ |
2x |
=3, |
|
x |
+ 3x + x |
=6, |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1) |
2x1 |
+ x2 |
+ 6x3 |
= 2, |
2) |
2x1 |
+ x2 |
+ 3x3 |
=3, |
||||||
|
x |
+ |
5x |
+ |
2x |
=5. |
|
4x + 5x + 2x =8. |
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3x + x |
+ 8x |
=7, |
|
9x + 6x + 4x =5, |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
3) |
2x1 |
+ x2 |
+ 4x3 |
= 4, |
4) |
6x1 |
+ 2x2 |
+ 3x3 |
=1, |
||||||
|
6x + 9x |
+ 4x = 4. |
|
3x |
+ |
7x |
+ |
4x |
= 4. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ x |
+ x |
=1, |
|
x |
+ |
3x |
+ |
2x =3, |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
5) |
5x1 |
+ 2x2 |
+ 8x3 |
=5, |
6) |
5x1 |
+ 4x2 |
+ 8x3 |
=3, |
||||||
|
4x + 4x + 6x =6. |
|
2x + x |
+ |
2x =0. |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ 2x |
+ 3x |
=3, |
|
7x + x |
+ |
7x =8, |
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
7) |
6x1 |
+ 6x2 |
+ 5x3 |
= 4, |
8) |
4x1 |
− 2x2 |
+ 7x3 |
=8, |
||||||
|
x |
+ 2x |
+ 4x |
=5. |
|
x |
+ |
4x |
+ |
2x |
=7. |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
82
|
4x + 6x + 2x =3, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
9) |
x1 |
+ 8x2 |
+ 2x3 |
=8, |
|||
|
2x + 3x |
+ 8x =5. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2x |
+ |
7x |
+ |
2x |
=7, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
11) |
5x1 |
+ |
x2 |
+ |
5x3 |
=1, |
|
|
2x |
+ |
5x |
+ |
6x |
=1. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
8x − |
7x − |
2x =5, |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
13) |
9x1 |
+ |
3x2 |
+ |
5x3 |
= 2, |
|
|
4x + 7x + 4x =3. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3x |
+ |
2x |
+ |
x |
=9, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
15) |
3x1 |
+ |
x2 |
+ |
4x3 |
= 4, |
|
|
|
|
− |
2x2 |
+ |
x3 |
=1. |
|
3x1 |
||||||
|
8x + |
2x + |
5x =5, |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
17) |
x1 |
+ |
5x2 |
+ |
x3 |
=5, |
|
|
x |
− |
2x |
− |
x |
=0. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
5x + 2x + 5x = 2, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
19) |
x1 |
+ |
4x2 |
+ |
x3 |
= 4, |
|
|
x |
+ |
9x |
+ |
3x |
=7. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4x |
− |
x |
+ |
x |
=3, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
10) |
8x1 |
+ |
6x2 |
+ |
9x3 |
=5, |
|
|
4x + 2x + 6x =5. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
8x + 7x + 7x = 4, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
12) |
8x1 |
+ |
x2 |
+ |
5x3 |
=0, |
|
|
6x − 7x − 5x |
=1. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4x |
+ |
2x |
+ |
x |
=7, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
14) |
9x1 |
− |
8x2 |
+ |
8x3 |
=9, |
|
|
6x − 6x + 5x =5. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
6x + 2x + 7x =3, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
16) |
x1 |
+ |
2x2 |
+ |
4x3 |
=1, |
|
|
8x |
− |
x |
+ |
5x |
=1. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3x + 2x + 5x =5, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
18) |
x1 |
+ |
3x2 |
+ |
4x3 |
= 4, |
|
|
x |
+ |
x |
+ |
4x |
=0. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
7x + 4x + 4x =3, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
20) |
4x1 |
+ |
2x2 |
+ |
3x3 |
=0, |
|
|
8x |
+ |
x |
+ |
x |
=7. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
Задание № 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
|
3x + 3x |
+ x |
= 2, |
|
3x + 4x + 5x =3, |
||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1) |
3x1 |
+ 2x2 |
+ x3 |
=3, |
2) |
|
|
|
2x2 |
+ x3 |
=1, |
||
|
|
|
+ 7x2 |
+ 3x3 |
=8. |
|
|
|
+ 8x2 |
+ 7x3 |
=5. |
||
|
9x1 |
|
3x1 |
||||||||||
|
x |
+ 2x + 4x = 2, |
|
x |
+ |
3x |
+ |
4x |
=1, |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
3) |
x1 |
+ x2 |
+ 2x3 |
=3, |
4) |
4x1 |
+ 2x2 |
+ x3 |
=3, |
||||
|
|
|
+ 4x2 |
+ 8x3 |
=8. |
|
|
|
+ 7x2 |
+ 6x3 |
=7. |
||
|
3x1 |
|
9x1 |
||||||||||
83
|
x |
+ |
3x |
+ |
x |
=0, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
5) |
x1 |
+ 2x2 |
+ x3 |
= 2, |
|||
|
|
|
+ 7x2 |
+ 7x3 |
= 4. |
||
|
3x1 |
||||||
|
x |
+ |
4x |
+ |
4x |
= 2, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
7) |
2x1 |
+ x2 |
+ 2x3 |
=1, |
|||
|
5x + 6x + 8x = 4. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3x + 3x |
+ 2x =5, |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
9) |
2x1 |
+ 3x2 |
|
|
=0, |
||
|
7x + 9x + 2x =5. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4x + 4x + 3x |
=1, |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
11) |
2x1 |
− |
x2 |
− |
x3 |
= 4, |
|
|
8x |
+ |
2x |
+ |
x |
=9. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ |
3x |
+ |
4x |
= 2, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
13) |
x1 |
− |
x2 |
+ |
2x3 |
=3, |
|
|
|
|
+ x2 |
+ 8x3 |
=8. |
||
|
3x1 |
||||||
|
x |
+ |
2x |
+ |
x |
=3, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
15) |
3x1 |
− |
x2 |
+ |
2x3 |
=0, |
|
|
7x |
|
|
+ |
5x |
=3. |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
3x + 4x + 5x =3, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
17) |
|
|
− |
2x2 |
− |
x3 |
=1, |
|
|
|
|
|
+ |
3x3 |
=5. |
|
3x1 |
|
|
||||
|
x |
+ |
3x |
+ |
x |
=0, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
19) |
x1 |
− |
2x2 |
− |
3x3 |
= 2, |
|
|
|
|
− x2 |
− 5x3 |
= 4. |
||
|
3x1 |
||||||
|
x |
+ |
2x |
+ |
x |
=3, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
6) |
3x1 |
+ x2 |
+ 2x3 |
=1, |
|||
|
7x + 4x + 5x =5. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
|
|
+ |
x |
= 4, |
|
8) |
|
1 |
+ 2x2 |
|
3 |
=1, |
|
x1 |
+ 3x3 |
||||||
|
|
|
+ 4x2 |
+ 7x3 |
=6. |
||
|
3x1 |
||||||
|
4x |
+ 4x |
+ 3x |
=1, |
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
10) |
2x1 |
+ |
2x2 |
+ |
3x3 |
= 4, |
|
|
8x |
+ 8x |
+ 9x |
=9. |
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ |
3x |
+ |
4x |
=1, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
12) |
4x1 |
− |
2x2 |
− |
x3 |
=3, |
|
|
9x |
− |
x |
+ |
2x |
=7. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ |
2x |
+ |
3x |
=1, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
14) |
4x1 |
+ |
2x2 |
− |
x3 |
= 4, |
|
|
9x |
+ |
6x |
+ |
x |
=9. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3x + |
3x + |
2x =5, |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
16) |
2x1 |
− |
3x2 |
|
|
=1, |
|
|
7x |
− |
3x |
+ |
2x |
=7. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x |
+ |
4x |
+ |
4x |
= 2, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
18) |
2x1 |
− |
x2 |
− |
2x3 |
=1, |
|
|
5x |
+ |
2x |
|
|
= 4. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
− |
x |
= 4, |
|
20) |
|
1 |
+ |
2x2 |
− |
3 |
=1, |
x1 |
3x3 |
||||||
|
|
|
+ 4x2 |
− 7x3 |
=6. |
||
|
3x1 |
||||||
84
Задание № 4. Для однородной системы линейных уравнений необходимо:
•доказать, что система имеет нетривиальные решения;
•найти ее фундаментальную систему решений;
•с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и ка- кое-либо частное решение.
|
x + 3x + x + x |
+ 2x =0, |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1) |
2x1 + x2 |
+ 3x3 + 5x4 + 5x5 =0, |
|||||
|
|
|
2x2 |
+ 9x3 + 2x4 |
+ 6x5 =0. |
||
|
|
|
|||||
|
2x + 4x + 2x + 2x + 3x =0, |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2) |
3x1 + 3x2 + 4x3 + x4 |
+ 4x5 =0, |
|||||
|
|
|
x2 |
+ 4x3 + x4 |
+ 3x5 |
=0. |
|
|
|
|
|||||
|
4x + 2x + 9x + 6x + 3x =0, |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3) |
x1 |
+ x2 |
+ 9x3 + 5x4 + 4x5 =0, |
||||
|
2x + 3x + 4x + x |
+ 5x =0. |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
2x + 4x + x + x |
+ 7x =0, |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4) |
6x1 |
+ x2 |
+ 9x3 |
+ 8x4 |
+ 7x5 =0, |
||
|
3x |
+ 2x |
+ 6x |
+ 2x |
+ 7x |
=0. |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
5x + 7x + x + 5x + 9x =0, |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5) |
4x1 + 9x2 |
+ 9x3 + 3x4 |
+ 5x5 =0, |
||||
|
x + 2x + 3x + 7x + 5x =0. |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
3x + 3x + 2x + 2x + 4x =0, |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6) |
8x1 + 7x2 + 4x3 + x4 |
+ 2x5 =0, |
|||||
|
|
|
+ 4x2 |
+ 2x3 + 5x4 |
+ 6x5 =0. |
||
|
3x1 |
||||||
|
5x + 3x + 3x + 3x + 8x =0, |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
7) |
2x1 + 8x2 + 9x3 + 3x4 + 4x5 =0, |
||||||
|
6x + 6x + 4x + 5x + x |
=0. |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
85
|
2x + 3x + 2x + x |
+ 8x =0, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
8) |
6x1 |
+ 3x2 + x3 |
+ 4x4 + x5 |
=0, |
|||||||
|
7x + 5x + 8x + 8x + 2x =0. |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
|
6x + 3x + 2x + x |
+ 9x =0, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
9) |
6x1 |
+ 8x2 + 8x3 + 2x4 + 3x5 =0, |
|||||||||
|
6x + 5x + x |
+ 4x + 8x =0. |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
|
6x + 8x |
|
|
+ 8x + 3x =0, |
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
10) |
2x1 |
+ |
x2 |
+ |
3x3 |
+ 5x4 |
+ |
5x5 |
=0, |
||
|
x + 8x + 3x + 4x + 8x =0. |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
|
4x + 5x + 7x + 3x + x =0, |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
11) |
3x1 |
+ |
2x2 |
+ |
6x3 |
+ 7x4 |
+ |
x5 |
=0, |
||
|
7x + 6x + 5x + 2x + 8x =0. |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
3x + x |
+ 2x + 6x + 4x =0, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
12) |
6x1 |
+ |
5x2 |
+ |
6x3 |
+ 8x4 |
+ |
8x5 |
=0, |
||
|
x + 8x + 3x + 7x + 7x =0. |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
x |
+ 3x |
+ 8x |
+ x |
+ 6x |
|
=0, |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
13) |
2x1 |
+ |
3x2 |
+ |
x3 |
+ 8x4 |
+ |
9x5 |
=0, |
||
|
6x + 7x + x + 7x + 2x =0. |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
5x + 7x + x |
+ 5x + 9x =0, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
14) |
4x1 |
− |
3x2 |
− |
2x3 |
+ 4x4 |
+ |
5x5 |
=0, |
||
|
x + 2x + 3x + 4x + x |
|
=0. |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
4x + 7x + 3x + x |
+ 3x =0, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
15) |
9x1 |
+ |
9x2 |
+ |
6x3 |
+ 9x4 |
+ |
5x5 |
=0, |
||
|
8x + 3x + 6x + x |
+ 8x =0. |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
|
5x + 7x + x |
+ 8x + 8x =0, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
16) |
7x1 |
+ |
4x2 |
+ |
7x3 |
+ 2x4 |
+ |
3x5 |
=0, |
||
|
3x + x |
+ x |
+ 2x + 5x =0. |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
86
|
x + 5x + 8x + x |
+ 5x =0, |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
17) |
x1 |
+ |
3x2 |
+ 3x3 |
+ 4x4 |
+ |
6x5 |
=0, |
||
|
|
|
+ 5x2 |
+ x3 |
+ 4x4 |
+ 6x5 =0. |
||||
|
5x1 |
|||||||||
|
x + 5x + 9x + 4x + 7x =0, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
18) |
x1 |
+ |
x2 |
+ 6x3 |
+ 5x4 |
+ |
4x5 |
=0, |
||
|
|
|
+ 5x2 |
+ 6x3 + 5x4 |
+ x5 |
|
=0. |
|||
|
9x1 |
|
||||||||
|
x + 2x + x + 9x + 3x =0, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
19) |
6x1 |
+ |
2x2 |
+ 8x3 |
+ 6x4 |
+ |
x5 |
|
=0, |
|
|
7x + 8x + x + 4x + 5x =0. |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
7x |
+ 7x |
+ 7x |
+ 6x |
+ 9x |
=0, |
||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
20) |
5x1 |
+ |
6x2 |
+ 3x3 |
+ 6x4 |
+ |
x5 |
|
=0, |
|
|
x |
+ 9x |
|
+ 7x |
+ 2x |
=0. |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
4 |
|
5 |
|
|
Задание № 5. Для неоднородной системы линейных уравнений необхо-
димо:
•найти ее общее и какое-либо частное решение;
•записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.
|
3x + 3x + 2x + 2x + x |
=6, |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1) |
8x1 |
+ 7x2 |
+ 4x3 |
+ x4 |
+ 2x5 |
=15, |
|
|
|
|
+ 4x2 |
+ 2x3 |
+ x4 |
+ 6x5 |
=7. |
|
3x1 |
||||||
|
5x + 3x + 3x + 3x + x |
= 4, |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2) |
2x1 + 8x2 |
+ 9x3 + 3x4 + 4x5 =7, |
|||||
|
6x + 6x + 4x + 5x + x |
=6. |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
6x + 3x + 2x + x |
+ x |
= 2, |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3) |
6x1 + 8x2 |
+ 8x3 + 2x4 + 3x5 |
=5, |
||||
|
6x + 5x + x |
+ 4x + 4x =8. |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
87
|
2x + 3x + 2x + x |
+ 8x =9, |
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
4) |
6x1 |
+ 3x2 + x3 |
+ 4x4 + x5 |
=5, |
|||||
|
7x + 5x + 8x + 6x + 2x =8. |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
x + 2x + x + 9x − 3x =6, |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
5) |
6x1 + 2x2 + 8x3 + 6x4 − x5 |
=5, |
|||||||
|
7x + 8x + x + 4x + 5x =9. |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
7x |
+ |
7x |
+ 7x |
− |
6x |
+ 9x |
=3, |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
6) |
5x1 + 6x2 + 3x3 + 6x4 + x5 |
=7, |
|||||||
|
x |
+ |
9x |
|
+ |
7x |
− 2x |
=5. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
4 |
5 |
|
|
3x + x |
+ 2x + 2x + 4x = 4, |
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
7) |
6x1 + 5x2 + 6x3 + x4 |
+ 8x5 =7, |
|||||||
|
x + 8x + 3x + 2x + 7x =3. |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
6x + 8x + 8x + 6x + 3x =9, |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
8) |
x1 |
+ 8x2 + x3 |
+ 2x4 + x5 |
=3, |
|||||
|
8x + x |
+ 5x + 8x + x |
=9. |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
2x + |
6x + 4x + |
2x + x |
=1, |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
9) |
8x1 + 2x2 + 4x3 + 6x4 + 2x5 = 4, |
||||||||
|
5x + x |
+ 9x + x |
+ x |
=0. |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
6x + 8x |
|
+ x |
+ 3x =7, |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
4 |
5 |
|
10) |
2x1 |
+ |
x2 |
+ 3x3 |
+ |
x4 |
+ 5x5 |
=3, |
|
|
x + 8x + 3x + 2x + 8x =3. |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
x + |
5x + 9x + |
2x + 7x =7, |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
11) |
x1 |
+ |
x2 |
+ 6x3 |
+ |
2x4 |
+ 4x5 |
=3, |
|
|
|
|
|
5x2 |
+ 6x3 + x4 |
+ x5 |
=6. |
||
|
9x1 + |
||||||||
88
|
4x + 5x + 7x + 3x + x =5, |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
12) |
3x1 |
+ 2x2 + 6x3 |
+ 7x4 + x5 = 4, |
||||||||
7x |
+ |
6x |
+ |
5x |
+ |
2x |
− |
x |
=6. |
||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
4x + 7x + 3x + x |
+ 3x = 4, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
13) |
9x1 |
+ |
9x2 |
+ |
6x3 |
+ |
3x4 |
+ |
5x5 |
=8, |
|
|
8x + 3x + 6x + x |
+ 8x =9. |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
5x + 7x + x |
+ x |
+ 8x =9, |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
14) |
7x1 |
+ |
4x2 |
+ |
7x3 |
+ |
2x4 |
+ |
3x5 |
=5, |
|
|
3x + x |
+ x |
+ 2x + 5x =7. |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
2x |
+ |
4x |
+ |
8x |
+ |
2x |
+ |
3x |
=5, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
15) |
7x1 |
+ |
5x2 |
+ |
8x3 |
+ |
2x4 |
+ |
x5 |
=3, |
|
|
4x |
+ |
6x |
+ |
4x |
+ |
2x |
+ |
5x |
=7. |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
x + 3x + 8x + x |
+ 6x =7, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
16) |
2x1 |
+ |
3x2 |
+ |
x3 |
+ |
8x4 |
+ |
x5 |
=9, |
|
|
6x + 7x + x + 7x + 2x =9. |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
7x + 2x + 3x + 9x + x |
=3, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
17) |
4x1 |
+ |
2x2 |
+ |
2x3 |
+ |
x4 |
+ |
3x5 |
=5, |
|
|
7x + 5x + 8x + 5x + 2x =7. |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
x + 5x + 8x − x |
+ 5x = 4, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
18) |
x1 |
+ |
3x2 |
+ |
3x3 |
− |
4x4 |
+ |
6x5 |
= 2, |
|
|
|
|
+ 5x2 |
+ x3 |
− 4x4 |
+ 6x5 = 2. |
|||||
|
5x1 |
||||||||||
|
4x + x |
+ 9x + 7x + 4x =8, |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
19) |
7x1 |
+ |
2x2 |
+ |
2x3 |
+ |
8x4 |
+ |
2x5 |
=9, |
|
|
3x + x |
+ 9x + x |
+ 3x =6. |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
7x + 6x + 4x + 5x + 2x =9, |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
20) |
3x1 |
+ |
7x2 |
+ |
x3 |
+ |
4x4 |
+ |
7x5 |
=5, |
|
|
4x + 7x + 4x |
|
|
+ 7x = 4. |
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
5 |
|
89
ПРИЛОЖЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ EXCEL
Пример П.1. Используя обратную матрицу, найти решение системы линейных уравнений
2xx3x
−3y + 4z = 0,
−3y − 3z = −8,
−2y − z = −2.
Решение. Обозначим
2 −3 |
4 |
|
x |
|
|
0 |
|||||
|
1 |
−3 |
−3 |
|
, |
|
|
, |
|
−8 |
|
A = |
|
X = y |
B = |
. |
|||||||
|
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
−1 |
|
z |
|
|
|
|||||
Значения матрицы коэффициентов при неизвестных поместим в ячейки А2:C4. Значения правой части СЛУ поместим в ячейки E2:E4 (рис. 2)
Рис. 2. Матрица коэффициентов при неизвестных и правая часть СЛУ
Ответ (значения переменных x, y и z) поместим в ячейки G2:G4. Выделим блок ячеек под результирующую матрицу G2:G4 и вызываем функцию МУМНОЖ. В появившемся окне «Аргументы функции» в поле «Массив1» вводим обратную матрицу A−1 для матрицы коэффициентов при неизвестных:
=МОБР(A2:C4).
90
В поле «Массив2» вводим правую часть СЛУ (диапазон матрицы B), т.е. диапазон E2:E4 (рис. 3)
Рис. 3. Совместное использование функций МУМНОЖ и МОБР
В результате в ячейках G2:G4 появится решение СЛУ (рис 33).
Рис. 4. Решение СЛУ
Пример П.2. Используя метод Крамера, найти решение системы
x + 2y − z = 4, |
|
|
+ 4z = 5, |
x |
|
|
= 0. |
2x − y |
|
91
Решение. Значения матрицы коэффициентов при неизвестных поместим в ячейки А2:C4. Значения правой части СЛУ поместим в ячейки E2:E4 (рис. 5)
Рис. 5. Матрица коэффициентов при неизвестных и правая часть СЛУ
Вычислим главный определитель системы. В ячейку D6 введем формулу для нахождения главного определителя:
=МОПРЕД(A2:C4).
Так главный определитель не равен нулю, то решение единственно. Создадим шаблон решения (рис. 6).
Рис. 6. Шаблон для решения СЛУ методом Крамера
92
Вдиапазоны A9:C11, A4:C16 и A19:C21 поместим матрицы для нахождения вспомогательных определителей. При заполнении этих диапазонов целесообразно использовать функции.
Вячейки F10, F15 и F20 поместим значения вспомогательных определителей. Для этого в эти ячейки введем функции:
F10 — =МОПРЕД(A9:C11);
F15 — =МОПРЕД(A14:C16);
F20 — =МОПРЕД(A19:C21).
Решениясистемылинейныхуравненийпоместимвячейки H10,H15 иH20. Для этого воспользуемся формулами Крамера как отношение вспомогательных определителей к главному определителю:
H10 — =F10/D6;
H15 — =F15/D6;
H20 — =F20/D6.
Все используемые формулы показаны н рис. 7:
Рис. 7. Введенные формулы для использования метода Крамера
Итоговоерешение системы линейных уравнений методом Крамерапримет вид (рис. 8).
93
Рис. 8. Решение СЛУ методом Крамера
Пример П.3. Решить систему линейных уравнений методом полного исключения неизвестных
5x + 3y =13,
3x − 2y = 4.
Решение. Исходная расширенная матрица и решение представлены на рисунке 9.
Рис. 9. Решение методом Гаусса системы
двух линейных уравнений с двумя переменными
94
Расширенная матрица представлена в ячейках A2: C3.
1 шаг. Выбираем ключевой элемент — a11 =5 , он расположен в ячейке A2. Первую строку разделим на ключевой элемент a11 =5 . Для этого в
ячейку A6 введем формулу: =A2/$A$2. Затем эту формулу скопируем ячейки B6
и C6.
От второй строки вычтем первую строкуумноженнуюна a21 
a11 . Для этого
в ячейку A7 введем формулу: =A3-A2*($A$3/$A$2). Затем эту формулу скопируем ячейки B7 и C7.
Результат вычислений расположен в ячейках A6:C7.
2 шаг. Выбираем ключевой элемент — a22 = −3,8, он расположен в ячейке B7.
Вторую строку разделим на ключевой элемент a22 = −3,8. Для этого в
ячейку B11 введем формулу: =B7/$B$7. Затем эту формулу скопируем ячейки
A11 и C11.
Отвторойстрокивычтемпервуюстрокуумноженнуюна a12 
a22 . Для этого
в ячейку B10 введем формулу: =B6-B7*($B$6/$B$7). Затем эту формулу скопируем ячейки A10 и C10.
Результат (корни уравнения) вычислены в ячейках C10:C11.
Пример П.4. Решить систему линейных уравнений методом полного исключения неизвестных
5x3x4x
+3y + 4z = 5,
−2y + 2z = 0,
+3y + 3z = 5.
Решение. Исходная расширенная матрица и 1 шаг решения представлены на рисунке 10.
Рис. 10. Исходная СЛУ, представленная в виде расширенной матрицы
95
1 шаг. Выбираем ключевой элемент — a11 =5 , он расположен в ячейке A2.
Обнулим в ключевом (первом) столбце все элементы кроме первого (в нашем случае первый элемент первого столбца объявлен ключевым). Для этого проделаем следующие действия:
● Первую строку разделим на ключевой элемент a11 =5 . Для этого в
ячейку A7введемформулу:=A2/$A$2.Затемэтуформулускопируемячейки B7,
C7 и D7.
● От второй строки вычтем первую строку умноженную на a21 
a11 . Для
этого в ячейку A8 введем формулу: =A3-A2*($A$3/$A$2). Затем эту формулу скопируем ячейки B8, C8 и D8.
● От третьей строки вычтем первую строку умноженную на a31 
a11 . Для
этого в ячейку A9 введем формулу: =A4-A2*($A$4/$A$2). Затем эту формулу скопируем ячейки B8, C8 и D8.
В результате расширенная матрица примет вид (рис. 11)
Рис. 11. Расширенная матрица на 1 шаге
2 шаг. Выбираем ключевой элемент — a32 =0,6 — расположен в
ячейке B9. Обнулим в ключевом (втором) столбце все элементы кроме третьего (внашемслучаетретий элементвторогостолбцаобъявленключевым).Для этого проделаем следующие действия:
● Третью строку разделим на ключевой элемент a32 =0,6. Для этого в
ячейку B14 введем формулу: =B9/$B$9. Затем эту формулу скопируем ячейки
A14, C14 и D14.
●От первой строки вычтем третью строку. Для этого в ячейку B12 введем формулу: =B7-B9. Затем эту формулу скопируем ячейки A12, C12 и D12.
●От второй строки вычтем третью строку умноженную на a22 
a32 . Для
этого в ячейку B13 введем формулу: =C8-C9*($B$8/$B$9). Затем эту формулу скопируем ячейки A12, C12 и D12.
В результате расширенная матрица примет вид (рис. 12)
96
Рис. 12. Расширенная матрица на 2 шаге
3 шаг. Выбираем ключевой элемент — a23 — расположен в ячейке C13.
Обнулим в ключевом (третьем) столбце все элементы кроме второго (в нашем случае второй элемент третьего столбца объявлен ключевым). Для этого проделаем следующие действия:
● Вторую строку разделим на ключевой элемент a23 . Для этого в
ячейку C18 введем формулу: =C13/$C$13. Затем эту формулу скопируем ячейки
A18, B18 и D18.
● От первой строки вычтем вторую строку, умноженную на a13 
a23 . Для
этого в ячейку C17 введем формулу: =C12-C13*($C$12/$C$13). Затем эту формулу скопируем ячейки A17, B17 и D17.
● От третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на a33 
a23 . Для
этого в ячейку C19 введем формулу: =C14-C13*($C$14/$C$13). Затем эту формулу скопируем ячейки A19, B19 и D19.
В результате расширенная матрица примет вид (рис. 13)
Рис. 13. Расширенная матрица на 3 шаге
Задача, вообще говоря, решена. Приведем основную матрицу коэффициентов при неизвестных (ячейки A17: C19). Для этого проделаем следующие действия:
● Первую строку оставим без изменения. Для этого в ячейку A22 введем формулу: =A17. Затем эту формулу скопируем ячейки B22, C22 и D22.
97
● Вторуюи третьюстроку меняемместами. Для этого в ячейкуA23введем формулу: =A19, а в ячейку A24 — формулу: =A18. Скопируем эти формулы в ячейки B23:D24.
Рис. 14. Итоговый результат
Результат (корни уравнения) вычислены в ячейках D22:D24 (рис. 14).
98