1.ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ

1.1.ОДНО УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим линейное уравнение с одним неизвестным

Случай 1: a ≠ 0. Разделив обе части уравнения (1.1) на a , получим

x = ba .

Таким образом,уравнение(1.1), в котором a ≠ 0 имеет ровно одно решение. Случай 2: a =0,b ≠0. Так как в рассматриваемом уравнении (1.1) коэф-

фициент при неизвестным равен нулю (a = 0), а свободный коэффициент не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение примет вид

0 x =b.

Очевидно, что полученное уравнение корней не имеет.

Случай 3: a =0,b ≠0. Так как в рассматриваемом уравнении (1.1) равны нулю коэффициенты a и b, то уравнение примет вид

0 x =0.

Очевидно, что полученное уравнение имеет решение при любом значении переменной x , т.е. решений бесконечно много.

Подведем итог:

•уравнение (1.1) может иметь ровно одно решение (a ≠ 0);

•у уравнения (1.1) может не быть решений (a =0, b ≠0);

•уравнение (1.1) может иметь бесконечно много решений (a =0, b =0).

7

Пример 1.1. Для каждого значения параметра λ решить уравнение

(λ2 −9)x = 3 + λ .

Решение. Найдем значения параметра λ , при которых коэффициент при x равен нулю:

(λ2 −9)= 0,

(λ −3)(λ +3)= 0,

λ= ±3.

При (λ −3)(λ +3)≠ 0 можно найти x , разделив обе части уравнения на выражение (λ −3)(λ +3). Получим

При λ =3 уравнение примет вид

0 x =6,

т.е. левая часть уравнения равна нулю, а правая нет. Следовательно, уравнение при λ =3 решений не имеет.

При λ = −3 уравнение примет вид

0 x =0,

т.е. обе части уравнения равны нулю. Следовательно, уравнение при λ = −3 имеет бесконечно много решений.

Таким образом, получаем:

при λ ≠ ±3 — уравнение имеет единственное решение x = λ1−3 ;

при λ =3 — решений нет;

λ = −3 — решений бесконечно много. ●

8

1.2.РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. В общем случае эта система имеет вид:

Нам надо найти все пары чисел (x;y), про подстановки которых в каждое

из уравнений системы (1.2) получаются верные числовые равенства. Сначала выясним — сколько решений может иметь система (1.2).

Каждое из уравнений системы (1.2) описывает прямую на плоскости. Следовательно, количество решений определяется взаимным расположением двух прямых на плоскости.

Для математических объектов полезно приводить геометрическую интерпретацию, при условии ее существования. Для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными такая геометрическая интерпретация показана в табл. 1.

Таблица 1

Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений

9

Решимсистему (1.2)методомсложения.Дляэтогопервоеуравнениеумножим на b2 , второе на b1 , и вычтем из полученного первого уравнения получившееся второе уравнение:

Из первого уравнения, получаем

x = c1b2 −c2b1 . a1b2 −a2b1

Аналогично находим значение переменной y :

y = a1c2 − a2c1 . a1b2 − a2b1

Заметим, что выражение a1b2 −a2b1 можно представить в виде определителя второго порядка:

Аналогично представляем два других выражения:

10

Соотношения (1.4) принято назвать формулами Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (в общем случае формулы Крамера рассматриваются в 3.2).

Случай 2: ∆ = 0, но либо ∆x ≠ 0, либо ∆y ≠0. Система (1.3) примет вид

0 x = ∆x,

0 y = ∆y,

где либо ∆x ≠ 0, либо ∆y ≠0. Очевидно, что, хотя бы одно из полученных урав-

нений решений не имеет.

Таким образом, в этом случае система линейных уравнений (1.2) решений не имеет.

Случай 3: ∆ = 0, и ∆x =∆y =0. Система (1.3) примет вид

0 x =0,

0 y =0.

Очевидно, что в этом случае любая пара (x,y) является решением полу-

ченной системы.

Таким образом, в этом случае система линейных уравнений (1.2) решений

(∆ =0; ∆x = ∆y =0).

11