4.3. ПРАВИЛО ПРЯМОУГОЛЬНИКА

При приведении матрицы к ступенчатому виду могут возникнуть некоторые проблемы с элементарным преобразованием «сложение двух строк (двух уравнений),всеэлементы,однойизкоторыхпредварительноумноженыначисло α ». Одной из этих проблем является подбор числа α , а второй — арифметические действия при дробном значении этого числа α .

Th Алгоритм перехода к новой расширенной матрице

Пусть ключевой элемент выбран. Тогда переход к очередной расширен-

ной матрице можно выполнять следующим образом:

1)переписываем ключевую строку, разделив ее на ключевой элемент;

2)в ключевом столбце обнуляем все элементы, кроме самого ключевого;

3)остальные элементы находим по правилу «прямоугольника».

Сформулируем правило прямоугольника.

Def Правило прямоугольника

Используя ключевой и «перечисляемый» элементы (как диагональ)

строим прямоугольник. Далее из произведения ключевого и перечисляемого элементов вычитаем произведения двух других элементов и делим полученный результат на ключевой элемент.

Пример 4.8. Решить систему линейных уравнений

2x + 5y + 4z = 25,

3x + 4y + 8z = 31,5x + 3y + 4z = 22.

Решение. Перейдем к расширенная матрице:

46

Пусть a11 =2 — ключевой элемент (его обозначим жирным шрифтом)

Тогда ключевым столбцом является первый столбец, а ключевой строкой — первая строка. Используя первые два пункта алгоритма перехода к новой расширенной матрицы, получаем

Остальные элементы (они обозначены символом ) вычислим по правилу прямоугольника.

Для элемента a22 =4 : «прямоугольник» образуют ключевой элемент a11 =2, «перечисляемый» элемент a22 =3 и два элемента a21 =3 и a12 =5.

Применяя правило «прямоугольника», получим

Для элемента a23 =8 : «прямоугольник» образуют ключевой элемент a11 =2, «перечисляемый» элемент a23 =8 и два элемента a21 =3 и a13 = 4 .

47

Применяя правило «прямоугольника», получим

a11 =2, «перечисляемый» элемент b2 =31 и два элемента a21 =3 и b1 =25.

Применяя правило «прямоугольника», получим

a11 =2, «перечисляемый» элемент a32 =3 и два элемента a31 =5 и a12 =5.

a11 =2, «перечисляемый» элемент a33 = 4 и два элемента a31 =5 и a13 = 4 .

48

Применяя правило «прямоугольника», получим

a33 = 2 4−5 4 = 8−20 = −6.

2 2

Для элемента b3 =22: «прямоугольник» образуют ключевой элемент a11 =2, «перечисляемый» элемент b3 =22 и два элемента a31 =5 и b1 =25.

Применяя правило «прямоугольника», получим

Таким образом, расширенная матрица принимает вид

Очередной ключевой элемент, при приведении к ступенчатому виду, следует выбирать в тех строках и столбцах, которые не были ранее ключевыми. И еще следует обратить внимание, что при применении правила «прямоугольника» приходится делить на ключевой элемент. Поэтому в качестве ключевого следует выбирать тот элемент, на значение которого «удобно» делить.

В нашем случае имеются четыре элемента

a22 =−3,5; a23 =2; a32 =−9,5; a33 =−6,

которые могут быть ключевыми. Целесообразно в качестве ключевого выбрать элемент a23 = 2.

49

В данном случае достаточно применить элементарные преобразования (хотя можно и правило прямоугольника):

•от первой строки вычтем вторую строку;

•к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 3. В результате расширенная матрица принимает вид:

Выбор следующего ключевого элемента однозначен — a32 =−20. С элементами aij все очевидно. Нужно пересчитать только элементы

b1 =19 и b2 =−3,25.

Получаем:

b1 = −20 19−6 (−60) =19−6 3=1,

−20

b2 = −20 (−3,25)−−20(−1,75) (−60) = −3,25+1,75 3= 2.

В результате расширенная матрица принимает вид:

В итоге, получено: x =1, y =3, z =2. ●

50

4.4. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ БЕСКОНЕЧНОМИХКОЛИЧЕСТВЕ

Пусть в результате применения конечного числа преобразований расши-

ренная матрица A системы линейных уравнений была приведена к следующей ступенчатой матрице:

В этом случае система является неопределенной, т.е. система имеет бесконечно много решений.

Требуется найти все полученные решения. Для этого все неизвестные разбиваются на две группы: базисные и свободные неизвестные. При этом число базисных неизвестных определяется рангом r = rangA расширенной матрицы, а

число свободных неизвестных — разностью n −r .

Затембазисныенеизвестныенужновыразитьчерезсвободные(параметрические) неизвестные. Эту зависимость, в которой неизвестные принимают всевозможные произвольные значения, принято называть общим решением системы.

Def Множество всех решений системы линейных уравнений,выраженноече-

рез свободные неизвестные, называется общим решением.

Если свободным неизвестные придать некоторые частные значения, то общее решение переходит в так называемое частное решение.

Def Решение, полученное при фиксированных значениях свободных неиз-

вестных, называется частным решением системы.

Def Решение системы линейных уравнений, в котором все n −r свободных

неизвестных полагаются равными нулю, называется базисным.

51

Заметим, что базисное решение является частным решением.

Для нахождения базисных решений можно поступить достаточно, используя элементарные преобразования строк получить в расширенной матрице выделить единичную матрицу с точностью до перестановки столбцов (т.е. применить методполногоисключениянеизвестных).Неизвестные,соответствующиестолбцам, из которых можно составить единичную матрицу, будут являться базисными (основными), остальные — свободными.

Пример 4.9. Решить систему линейных уравнений

x1 + 4x4 =11,

x2 −5x4 = 6,x3 −7x4 =8.

Решение. Перейдем к расширенная матрице:

Очевидно, что полученная система имеет бесконечно много решений. Используя первый, второй и третий столбцы можно составить единичную матрицу. Поэтому соответствующие им переменные

x1 , x2 , x3

являются базисными, а переменная x4 является свободной. Выражая базисные переменные через свободную переменную x4 , получим:

x1 =11−4x4 ,

x2 =6+5x4 ,x3 =8+7x4.

Так как переменная x4 может принимать произвольное значение t , то множество решений системы (общее решение) можно записать в виде

52

x1 =11−4t,

x2 =6+5t,x3 =8+7t,x4 =t,

где t — произвольная постоянная.

Полученное решение можно записать в матричном виде:

В дальнейшем нам потребуется еще одна форма представления общего решения, а именно:

Полагая t = 0, найдем частное решение

а при t = 2 , найдем другое частное решение

и т.д. ●

53

Пример 4.10. Решить систему линейных уравнений

Решение. Перейдем к расширенной матрице:

Пусть a15 =1 — ключевой элемент. Добьемся, того чтобы в нуль обратились все элементы ключевого (пятого) столбца, за исключением самого ключевого элемента a11 =1. Для этого проделаем следующие преобразования:

•к второй строке прибавим первую строку;

•от третьей строки вычтем первую строку, умножив ее предварительно на 2;

•от четвертой строки вычтем первую строку.

Врезультате расширенная матрица принимает вид:

Пусть a24 =1 — ключевой элемент. Добьемся, того чтобы в нуль обратились все элементы ключевого (четвертого) столбца, заисключениемсамого ключевого элемента a24 =1. Для этого проделаем следующие преобразования:

•к первой строке прибавим вторую строку;

•к третьей строке прибавим вторую строку;

•от четвертой строки вычтем вторую строку.

54

В результате расширенная матрица принимает вид:

Используя четвертый и пятый столбец, можно образовать единичную матрицу, следовательно, в качестве базисных выбираем переменные x4 и x5 .

и выразим базисные неизвестные через свободные:

то множество решений системы (общее решение) можно записать в виде

x1 =u,x2 = v,x3 = w,

x4 =1−5u + w,x = 4−8u +v − w.5

где u,v,w — произвольные постоянные. ●

55

Пример 4.11. (оптимальный план перевозок). Пусть имеются два по-

ставщика A1 , A2 и три потребителя B1 , B2 и B3 . Запасы (возможности) поставщи-

ков составляют 40 и 60 единиц товара соответственно. Потребности (спрос) потребителей составляют 30, 20 и 50 единиц товара соответственно. Затраты на перевозкуединицыгрузаотпоставщика A1 докаждогоизпотребителейсоставляют

3, 5 и 2 у.е. соответственно. Затраты на перевозку единицы груза от поставщика A2 до каждого из потребителей составляют 4, 1 и 3 у.е. соответственно.

Минимальные затраты на перевозку равны 270 у.е. Найти оптимальный план перевозок машин, при условии, что возможности всех поставщиков были реализованы и запросы всех потребителей были удовлетворены.

Решение. Построим математическую модель данной задачи. Обозначим xij — объем перевозок от поставщика Ai до потребителя Bj .

Для удобства составления экономико-математической модели (и в дальнейшем для решения задачи) целесообразно воспользоваться вспомогательной таблицей:

Запросы потребителей описываются уравнениями

x11 +x21 =30, x12 +x22 =20, x13 + x23 =50.

Очевидно, что объемы перевозок не могут быть отрицательными, поэтому следует дополнительно предположить, что

xij ≥0, i =1,2; j =1,2,3.

56

Выполнение условия минимальности затрат на перевозки описываются уравнением

3x11 +5x12 +4x13 +4x21 + x22 +3x23 =270.

Для нахождения оптимального плана перевозок необходимо решить систему уравнений

x11 + x12 + x13 = 40,x21 + x22 + x23 =60,x11 +x21 =30,

x12 +x22 =20,

x13 + x23 =50,

3x11 +5x12 + 4x13 + 4x21 + x22 +3x23 = 270.

Перейдем к расширенной матрице:

•от первой строки вычтем третью строку;

•от шестой строки вычтем третью строку, умноженную на 3. В результате расширенная матрица принимает вид:

57

Проделаем следующие преобразования:

•от четвертой строки вычтем первую строку;

•от шестой строки вычтем первую строку, умноженную на 5. В результате расширенная матрица принимает вид:

Проделаем следующие преобразования:

•от второй строки вычтем четвертую строку;

•от шестой строки вычтем четвертую строку.

В результате расширенная матрица принимает вид:

Вычитая из пятой строки вторую строку, получим нулевую строку, которую можно удалить.

58

Проделаем следующие преобразования:

•от второй строки вычтем пятую строку, разделив ее предварительно на3;

•пятую строку разделим на 3.

Проделаем следующие преобразования:

•от первой строки вычтем вторую строку;

•к шестой строке прибавим вторую строку.

В результате расширенная матрица принимает вид:

Очевидно, что полученная система имеет бесконечно много решений. Используя первый, второй, третий, пятый и шестой столбцы можно составить единичную матрицу. Поэтому соответствующие им переменные

x11, x12 , x13 , x22 , x23

являются базисными, а переменная x21 является свободной. Выражая базисные

59

переменные через свободную переменную x21 , получим общее решение рассматриваемой системы линейных уравнений:

при t (−∞;+∞).

Условие неотрицательности переменных выполняется только при t = 0. Это следует из неравенств

60