2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Числа aij , называемые коэффициентами при неизвестных, нумеруются

двумя индексами: номером уравнения i (первый индекс) и номером неизвестного j (второй индекс).

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

Def Решениемсистемылинейныхуравненийназываетсяупорядоченнаясово-

купность значений неизвестных

x10,x20, ,xn0 ,

при подстановке, которой вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество. Любое конкретное решение СЛУ также называют ее частным решением.

12

Однородная СЛУ (2.3) всегда совместна, так как нулевой набор (0,0, ,0) значений ее неизвестных всегда является решением.

Def Совокупность всех решений системы линейных уравнений называется

общим решением.

Def Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных

называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Любыедвенесовместныесистемылинейныхуравненийсодинаковымчислом неизвестных считаются равносильными.

Решить систему линейных уравнений означает:

•установить, совместна она или несовместна, т.е. установить, имеет ли она решения;

•если она совместна (т.е. решение существует), установить, является она определенной или неопределенной (т.е. определить количество решений системы линейных уравнений);

•для определенной системы найти единственное ее решение;

•для неопределенной системы описать множество всех ее решений.

Пример 2.1.

1)Система линейных уравнений

x =1,

x =4

является несовместной, так как она не имеет решений. 2) Система линейных уравнений

имеет ровно одно решение, следовательно, она совместная и определенная.

14

3)Система линейных уравнений, состоящая из одного уравнения

x+ y =5,

является совместной, но неопределенной. Положив x =t , получаем y =5 −t . Множество решений данной системы бесконечно. Это множество можно

записать следующим образом {(t,5−t ) t R}. ●

2.2. ФОРМЫ ЗАПИСИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Def Представление системы линейных уравнений в виде (2.1) принято назы-

вать координатной (развернутой) записью системы линейных урав-

нений.

Вместо системы линейных уравнений

целесообразно использовать ее расширенную матрицу

которая состоит из основной матрицы коэффициентов при неизвестных системы уравнений (ее еще называют основной частью расширенной матрицы)

15

и столбца свободных членов. Расширенную матрицу можно рассматривать как краткую запись системы линейных уравнений.

Расширенная матрица полностью характеризует систему линейных уравнений. Это означает, что по этой матрице однозначно (при сохранении обозначений для неизвестных) восстанавливается сама система линейных уравнений.

Наряду с координатной записью системы линейных уравнений используются и другие представления систем линейных уравнений.

Если рассмотреть коэффициенты aij системы линейных уравнений при переменной xj какэлементысоответствующегостолбца,асамупеременную xj как

коэффициент,накоторый умножается столбец, то из(2.1)получимновуюформу записи СЛУ:

Def Соотношение (2.6),вкоторомстолбец B необходимопредставитьввиде

линейной комбинации столбцов a1,a2 , ,an принято называть векторной записью систем линейных уравнений.

Очевидно, что, используя умножение матриц, равенство (2.5), равносильное системе (2.1), можно представить в виде

или

16

где приняты следующие обозначения

Def Соотношение (2.8), представляющее собой матричное уравнение, при-

нято называть матричной записью систем линейных уравнений.

При этомоднородная система линейных уравнений в матричном видепримет вид

a1,a2 , ,an , т.е. представление (2.6);

• решение матричного уравнения AX = B являются различной формой записи одной и той же задачи.

В зависимости от формы записи задачи получают различные формы представления решения системы линейных уравнений. Очевидно, что существуют различные формы задания решения системы линейных уравнений, например

17