4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

4.1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯНЕИЗВЕСТНЫХ

Универсальным методом решения системы линейных уравнений является метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса).

Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод был известен задолго до него. Первое его описание имеется

вкитайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н.э. и I в. н.э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных в X–II вв. до н.э.

Метод последовательных исключений (метод Гаусса) при его реализации совместно с теоремой Кронекера-Капелли становится особенно привлекательным и эффективным в силу того, что:

•позволяет исследовать систему линейных уравнений на совместность;

•он позволяет находить как единственное решение, так и все решения

вслучае их бесконечного числа;

•существенно менее трудоемок, чем метод определителей (метод Крамера).

Метод последовательных исключений (метод Гаусса) решения системы линейных уравнений состоит в преобразовании её в эквивалентную систему, имеющую удобный для анализа вид.

Def Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы (2.1)

(системы линейных уравнений (2.4)) называются:

•произведение всех элементов строки (обеих частей уравнения) число α ≠ 0;

•сложение двух строк (двух уравнений);

•сложение двух строк (двух уравнений), все элементы, одной из которых предварительно умножены на число α ;

•перестановка местами двух строк (двух уравнений).

Метод Гаусса основан на следующих теоремах.

Th Для любой системы линейных уравнений существует равносильная ей

система линейных уравнений.

32

Th Конечное число последовательно выполненных элементарных преобра-

зований приводит систему линейных уравнений к равносильной ей системе.

Решение системы линейных уравнений (2.1) методом последовательного исключения неизвестных представляет собой преобразование расширенной матрицы к ступенчатому или треугольному виду.

Сформулируем вспомогательные определения.

Def Ключевым (главным, ведущим, опорным) элементом называется произ-

вольный ненулевой элемент.

Def Ключевой строкой называется строка, в которой расположен ключевой

элемент.

Def Ключевым столбцом называется столбец, в котором расположен ключе-

вой элемент.

Перейдем к описанию алгоритма метода последовательного исключения неизвестных.

Предположим, что в расширенной матрице

элемент a11 ≠0 (если это не так, то перестановкой строк местами добьемся того, чтобы a11 ≠0).

Шаг 1. Элемент a11 ≠0 объявляем ключевым. В ключевом столбце (в

нашем случае — это первый столбец), используя элементарные преобразования строк, обнулим все элементы кроме ключевого.

33

Для этого: от второй строки вычтем первую строку, умноженную на выражение a21 a11 ; от третьей строки вычтем первую строку,умноженную на a31 a11

и т.д.

В итоге расширенная матрица примет вид

Шаг 2 и последующие шаги. Те же действия, что и на предыдущих шагах, но примененные к матрице, из которой нужно исключить ключевые строки и ключевые столбцы предыдущих шагов.

Если в процессе преобразования расширенной матрицы получим строку

вида

(0 0 0 0),

т.е.строкуизоднихнулей,тотакуюстрокувычеркиваем(отбрасываем).Всамом деле, такой строке соответствует уравнение

0 x1 +0 x2 + +0 xn =0,

отбрасывание, которого не влияет на решение системы линейных уравнений. Случай 1. Пусть в процессе преобразования расширенной матрицы полу-

чим строку вида

где с ≠ 0. В этом случае система линейных уравнений решений не имеет, так как данной строке соответствует уравнение

0 x1 +0 x2 + +0 xn =с,

которое решений не имеет.

34

Случай 2. Расширенная матрица A в результате применения конечного числа преобразований приведена к следующей ступенчатой матрице:

у которой число строк совпало с количеством переменных. Очевидно, что полученная система имеет единственное решение, в силу того, что определитель матрицы коэффициентов не равен нулю. В самом деле

00 ann

Случай 3. Расширенная матрица A в результате применения конечного числа преобразований приведена к следующей ступенчатой матрице:

у которой число строк меньше количества переменных. Очевидно, что полученная система имеет бесконечно много решений.

Переход от исходной расширенной матрицы к равносильной ей ступенчатой матрицы называется прямым ходом метода исключения неизвестных, а нахождение переменных из системы, соответствующей ступенчатой мат-

рицы — обратным ходом.

Нахождение всех решений для полученной системы будет рассмотрено ниже.

35

Пример 4.1. Используя метод последовательного исключения неизвестных, найти решение СЛУ

2x + 3y = 8,

3x + 2y = 7.

Решение. Перейдем к расширенной матрице:

От второй строки вычтем первую строку, умноженную на 32. В результате расширенная матрица принимает вид:

Очевидно, что данная система имеет единственное решение. Для нахождения этого единственного решения можно применить так называемый «обратный ход».

Второй строке соответствует уравнение

−52 y = −5 ,

из которого получаем, что

y =2.

Первой строке соответствует уравнение

2x +3y =8,

из которого, с учетом y =2, получаем, что

x=1.

Витоге, получено: x =1, y =2. ●

36

Пример 4.2. Используя метод последовательного исключения неизвестных, найти решение СЛУ

Решение. Перейдем к расширенная матрице:

Проделаем следующие преобразования:

•от второй строки вычтем первую строку;

•от третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2. В результате расширенная матрица принимает вид:

Поменяем местами вторую и третью строки. Расширенная матрица принимает вид:

Ктретьейстрокеприбавимвторуюстроку,умноженнуюна2.Расширенная матрица принимает вид:

37

Очевидно, что данная система имеет единственное решение. Для нахождения этого единственного решения можно применить так называемый «обратный ход».

Третьей строке соответствует уравнение

−21z = −21,

из которого получаем, что

z =1.

Второй строке соответствует уравнение

−y −8z =−10,

из которого, с учетом z =1, получаем, что

y =2.

Первой строке соответствует уравнение

x + 4z =5,

из которого, с учетом z =1, получаем, что

x=1.

Витоге, получено: x =1, y =2, z =1. ●

Пример 4.3. Решить СЛУ методом последовательного исключения неизвестных

x + 2y + 2z = 3,2x + y + 3z = 2,4x + 5y + 7z = 6.

38

Решение. Перейдем к расширенной матрице:

Проделаем следующие преобразования:

•от второй строки вычтем первую строку, умноженную на 2;

•от третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 4. В результате расширенная матрица принимает вид:

Вычитая из второй строки первую, получим

Отсюда следует, что система несовместна (т.е. система не имеет решений), поскольку имеется строка

(0 0 0 −9).

В итоге, получено, что система решений не имеет ●

Пример 4.4. Решить СЛУ методом последовательного исключения неизвестных

39

Решение. Перейдем к расширенная матрице:

Проделаем следующие преобразования:

•от второй строки вычтем первую строку, умноженную на 3;

•от третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 5. В результате расширенная матрица принимает вид:

Вычитая от третьей строки вторую строку, получаем расширенную матрицу, содержащую нулевую строку

Отбрасываянулевуюстроку,получаемследующуюрасширеннуюматрицу

Очевидно, что в данном случае система содержит бесконечно много решений. О том, как найти все эти решения будет рассказано ниже. ●

4.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОЛНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ

Метод последовательного исключения неизвестных недостаточно удобен тем,чтовступенчатойматрицезначение xn ,найденноеизn-гоуравнения,нужно

40

подставлять в (n – 1)-е уравнение для нахождения значения xn−1, затем нужно подставлять значения xn и xn−1 в (n – 2)-е уравнение для нахождения значения

xn−2 и т.д.

Иногда удобнее применить метод полного исключения неизвестных. Суть этого метода — получение столбцов, из которых можно составить единичную матрицу.

В отличии от метода последовательногоисключениянеизвестныхвметоде полного исключения неизвестных переменная xk ключевой строки должна исключаться не только из последующих строк, но и из предыдущих.

Пример 4.5. Решить систему линейных уравнений методом полного исключения неизвестных

4x + 3y = 11,

3x + 2y = 8.

Решение. Перейдем к расширенной матрице:

Из первой строки вычтем вторую строку. В результате расширенная матрица принимает вид:

Пусть a11 =1 — ключевой элемент (его обозначим жирным шрифтом)

От второй строки вычтем первую строку, умноженную на 3. В результате расширенная матрица принимает вид:

41

Очевидно, что данная система имеет единственное решение.

К первой строке прибавляем вторую строку, расширенная матрица принимает вид:

Умножив вторую строку на (−1), получаем:

Пример 4.6. Решить систему линейных уравнений методом полного исключения неизвестных

Решение. Перейдем к расширенной матрице:

Пусть a11 =1 — ключевой элемент (его обозначим жирным шрифтом).

42

Добьемся, того чтобы в нуль обратились все элементы ключевого (первого)столбца,заисключениемсамогоключевогоэлемента a11 =1.Дляэтогопроделаем следующие преобразования:

•к второй строке прибавим первую строку, умножив ее предварительно на 3;

•от третьей строки вычтем первую строку, умножив ее предварительно на 4. В результате расширенная матрица принимает вид:

Разделим вторую строку на 5, получим:

Пусть a22 =1 — ключевой элемент (его обозначим жирным шрифтом)

Добьемся, того чтобы в нуль обратились все элементы ключевого (первого)столбца,заисключениемсамогоключевого элемента a22 =1.Дляэтогопроделаем следующие преобразования:

•от первой строки вычтем вторую строку;

•к третьей строке прибавим вторую строку, умножив ее предварительно на 7.

Врезультате расширенная матрица принимает вид:

43

Разделим третью строку на 6, получим:

Прибавив к первой строке третью строку, получим:

Решение. Перейдем к расширенной матрице:

Проделаем следующие преобразования:

•первую строку разделим на 3;

•к второй строке прибавим первую строку, умноженную на 13;

•к третьей строке прибавим первую строку.

Врезультате расширенная матрица принимает вид:

44

Проделаем следующие преобразования:

•вторую строку разделим на 133;

•к первой строке прибавим вторую строку, умножив ее предварительно на −131 33 = −131 ;

•к третьей строке прибавим вторую строку, умножив ее предварительно на −1363 = −1813 .

В результате расширенная матрица принимает вид:

Разделив третью строку на 4913, получим

Проделаем следующие преобразования:

•от первой строки вычтем третью строку, умножив ее 213;

•от второй строки вычтем третью строку, умножив ее 713. В итоге, получаем

В итоге, получено: x =1, y =−1, z =−1. ●

45