5. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1. КРИТЕРИЙ НЕТРИВИАЛЬНОЙ СОВМЕСТНОСТИ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим теперь однородную систему линейных уравнений

или в матричном виде

x1

X = x2 — матрица-столбец неизвестных.

xn

Однородная система всегда совместна, поскольку система (5.1) заведомо имеет нулевое решение

которое также называют тривиальным.

61

При решении однородных систем наибольший интерес представляет задачаонахождениинетривиальныхрешений.Еслиоднороднаясистемалинейных уравнений — определенная, то ее единственным решением является тривиальное. Условия, при которых однородная система (5.1) является определенной или неопределенной, обеспечивают следующая теорема.

Th Однородная система линейных уравнений (5.1) имеет нетривиальное ре-

шение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы A был меньше числа неизвестных, т.е. rangA <n.

□ Обозначим rangA =r . Очевидно, что если rangA =r =n, то однородная

система линейных уравнений (5.1) имеет единственное решение. При этом это единственное решение, в силу правила Крамера, является нулевым (тривиальным)

x1 =0,x2 =0,...,xn =0.

Если же rangA =r <n, то однородная система линейных уравнений (5.1) имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальных. ■

Следствие 1. Правило Крамера для однородной системы линейных уравнений:

• если главный определитель однородной системы линейных уравнений не равен нулю, то эта система имеет единственное (тривиальное) решение

x1 =0,x2 =0,...,xn =0;

• если главный определитель однородной системы линейных уравнений равен нулю, то эта система имеет бесчисленное множество нетривиальных решений.

Следствие 2. Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными тогда и только тогда имеет нетривиальные решения, когда ее матрица коэффициентов при неизвестных была вырождена, т.е. det A =0.

□ Очевидно, что равенство нулю этого определителя означает, что rangA <n и система является неопределенной и, следовательно, имеет нетривиальные решения. ■

62

Следствие 3. Если в однородной системе линейных уравнений (5.1) число уравнений меньше числа неизвестных, то система обязательно имеет нетривиальные решения.

5.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ

Однородные системы линейных уравнений обладают важным свойством, которое не имеет места для неоднородных систем уравнений.

Th Любая линейная комбинация решений однородной системы линейных

уравнений (5.1) также является решением этой системы.

□ Пусть X1,X2 ,...,Xk — решения однородной системы линейных уравнений (5.1). Тогда

AX1 =0, AX2 =0,..., AXk =0.

Рассмотрим линейную комбинацию

X =α1X1 +α2 X2 + +αk Xk .

Тогда с учетом свойств матриц получим

AX = A(α1X1 +α2 X2 + +αk Xk )= =α1AX1 +α2 AX2 +...+αk AXk =0.

Таким образом, мы показали, что линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. ■

Th Если ранг матрицы A коэффициентов при неизвестных однородной си-

стемы линейных уравнений (5.1) равен r,т.е. rangA =r ,то системаимеет n −r линейно независимых решений.

63

□ Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор матрицы A сосредоточен в верхнем левом углу, т.е. первые r строк матрицы A линейно независимы. Тогда остальные строки матрицы A , согласно теореме о базисном миноре, являются линейными комбинациями базисных строк. Следовательно, множество решений системы не изменится, если отбросить все уравнения начиная с (r + 1)-го. Сделав это, получим систему

Выбраввкачествебазисныхнеизвестных x1,x2,...,xr ,найдемих выражение через свободные неизвестные xr+1,xr+2 ,...,xn :

Если свободным неизвестным xr+1,xr+2 ,...,xn придавать произвольные зна-

чения, то относительно базисных неизвестных получим квадратную СЛУ с невырожденной матрицей, решение которой существует и единственно.

Придадимтеперьсвободнымнеизвестнымследующиеn −r наборызначений:

Каждому набору значений соответствует единственное решение каждой «неоднородной» системы (5.3). Полученные решения запишем в виде (верхний индекс указывает на номер набора, для которого получено решение)

64

Осталось показать, что эти решения линейно независимы. Для этого из столбцов (5.4) составим матрицу

Определитель матрицы, расположенный в n −r последних строках, равен единице. Это означает, что ранг этой матрицы равен n −r , и, следовательно, n −r столбцов из (5.4) линейно независимы. ■

Def Совокупность решений (5.4) называется нормальной фундаментальной

системой решений однородной системы линейных уравнений (5.1).

Очевидно, что из нормальной фундаментальной системы (5.4) можно составить другие линейно независимые системы решений.

Def Любая система из n −r линейно независимых решений (5.1) называ-

ется ее фундаментальной системой.

65

Th С помощью нормальной фундаментальной системы решений (5.4) од-

нородной системы линейных уравнений (5.1) множество всех решений можно описать формулой

X =α1X1 +α2 X2 + +αn−r Xn−r .

Однородная система линейных уравнений (5.1) может иметь не только нормальные фундаментальные системы решений, но и другие фундаментальные системы решений.

Th Теорема о структуре общего решения однородной системы линей-

ных уравнений

Если X1,X2 ,...,Xn−r — любая фундаментальная система решений одно-

родной системы линейных уравнений (5.1), то ее общее решение X представляет собой линейную комбинацию

X =α1X1 +α2 X2 + +αn−r Xn−r .

Пример 5.1. Найти фундаментальную систему и общее решение системы уравнений

Решение. Для однородных систем понятие расширенной матрицы A теряет смысл. Следовательно элементарные преобразования целесообразно проводить с матрицей A . Выпишем матрицу коэффициентов при неизвестных системы уравнений и проделаем указанные элементарные преобразования:

Вычитая от второй строки первую, умноженную на 3, получим

66

Этой матрице соответствует уравнение

x1 −2x2 =0.

Выберем в качестве базисной неизвестной x1 , тогда x2 — свободная переменная.Выражаябазиснуюпеременную x1 черезсвободнуюпеременную x2 , получим:

x1 =2x2 ,

т.е. решение системы имеет вид

Считая x2 произвольной постоянной α , можем записать

Заметим, что в данном случае фундаментальная система состоит из одного решения

X1 = 2 ,1

т.е. общее решение можно записать как

X =αX1.

где α — произвольная постоянная. ●

67

Пример 5.2. Найти фундаментальную систему и общее решение системы уравнений

Решение. Для однородных систем понятие расширенной матрицы A теряет смысл. Следовательно элементарные преобразования целесообразно проводить с матрицей A . Выпишем матрицу коэффициентов при неизвестных системы уравнений и проделаем указанные элементарные преобразования:

Пусть a11 =1 — ключевой элемент.Проделаем следующие преобразования:

•от второй строки вычтем первую строку, умножив на 2;

•от третьей строки вычтем первую строку;

•от четвертой строки вычтем первую строку, умножив ее на 3.

Врезультатематрицакоэффициентовпринеизвестныхсистемыуравнений принимает вид:

Пусть a23 =1 — ключевой элемент.Проделаем следующие преобразования:

•от первой строки вычтем вторую строку;

•от третьей строки вычтем вторую строку.

68

Врезультатематрицакоэффициентовпринеизвестныхсистемыуравнений принимает вид:

Разделим третью строку на 5, а четвертую строку на (−5).

Проделаем следующие преобразования:

•от первой строки вычтем третью строку, умножив ее на 8;

•ко второй строке прибавим третью строку, умножив ее на 6;

•от четвертой строки вычтем третью строку.

Врезультатематрицакоэффициентовпринеизвестныхсистемыуравнений принимает вид:

Нетрудно заметить, что минор 3-го порядка

1 0 0

00 1 = −1≠ 0

01 0

69

отличен от нуля. Следовательно rangA =3. Так как ранг матрицы A равен числу неизвестных, то система имеет только тривиальное решение

Таким образом, пример полностью решен. ●

Пример 5.3. Найти фундаментальную систему и общее решение системы уравнений

Решение.Как отмечалось ранеедля однородных систем линейных уравнений элементарные преобразования достаточно проводить с матрицей A . Выпишем матрицу коэффициентов при неизвестных системы уравнений и проделаем указанные элементарные преобразования:

Проделаем следующие преобразования:

•от второй строки вычтем первую строку;

•от третьей строки вычтем первую строку, умножив ее на 2. В результате получим:

70

Проделаем следующие преобразования:

•от первой строки вычтем вторую строку;

•от третьей строки вычтем вторую строку. В результате получим:

Нетрудно заметить, что минор 2-го порядка

10 10 =1≠ 0

отличен от нуля. Следовательно rangA =2. Так как ранг матрицы A меньше

числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений, среди которых обязательно имеются нетривиальные.

Выберем в качестве базисных переменных x1 и x2 , тогда x3 — свободная

переменная. Выражая базисные переменные через свободную переменную, получим:

x1 = x3, x2 =−2x3,

Считая x3 произвольной постоянной α , можем записать

71

Заметим, что в данном случае фундаментальная система состоит из одного решения

1 X1 = −12 ,

т.е. общее решение можно записать как

X =αX1.

где α — произвольная постоянная. ●

Пример 5.4. Дана однородная система линейных уравнений

Требуется:

а) доказать, что система имеет нетривиальные решения; б) найти ее фундаментальную систему решений;

в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и ка- кое-либо частное решение.

Решение. Выпишем матрицу коэффициентов при неизвестных системы уравнений и проделаем указанные элементарные преобразования:

Пусть a14 = 2 — ключевой элемент.Проделаем следующие преобразования:

•первую строку разделим на 2;

•от второй строки вычтем первую строку;

•от третьей строки вычтем первую строку, умножив ее на 3.

72

Врезультатематрицакоэффициентовпринеизвестныхсистемыуравнений принимает вид:

Пусть a23 =−1 — ключевой элемент.Проделаем следующиепреобразования:

•вторую строку разделим на (−1);

•к первой строке прибавим вторую строку;

•от третьей строки вычтем вторую строку.

Врезультатематрицакоэффициентовпринеизвестныхсистемыуравнений принимает вид:

Проделаем следующие преобразования:

•от первой строки вычтем третью строку, умножив ее на 6;

•ко второй строке прибавим третью строку, умножив ее на 5.

Врезультатематрицакоэффициентовпринеизвестныхсистемыуравнений принимает вид:

Нетрудно заметить, что минор 3-го порядка

73

отличен от нуля. Следовательно rangA =3. Так как ранг матрицы A меньше

числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений, среди которых обязательно имеются нетривиальные.

Выберем в качестве базисных переменных x2 , x3 и x4 , тогда x1 и x5 — свободные переменные. Выражая базисные переменные через свободные, получим:

x2 =0, x3 =3x1,

x4 = −4x1 − 32 x5 ,

и решение запишется в виде

Это решение можно представить через фундаментальную систему решений, которую можно найти, приняв x1 =1,x2 =0; x1 =0,x2 =1.

Врезультатеполучимследующуюнормальнуюфундаментальнуюсистему

74

А общее решение можно записать в виде

где α и β — произвольные постоянные.

Положив, например, α =1 и β = 2 получим частное решение

Таким образом, пример полностью решен. ●

Пример 5.5. Известно, что совокупность столбцов

является фундаментальной системой решений некоторой однородной системы линейных уравнений.

Требуется:

а) определить из скольких уравнений может состоять эта система; б) привести пример такой системы, состоящей из трех уравнений.

Решение. Выпишем матрицу коэффициентов при неизвестных системы. a) Так как столбцы X1 и X2 имеют четыре строки, то число неизвестных

системы равно 4, т.е. n = 4. Число решений фундаментальной системы решений равно двум, следовательно n −r = 2 . Учитывая, что n = 4, получаем,

75

r =rangA =2. Таким образом, однородная система линейных уравнений должна

состоятьнеменее чем из двух уравнений и ранг ее матрицы должен быть равен2. б) Достаточно найти два линейных уравнения, удовлетворяющих условию задачи. А третье уравнение системы можно составить как линейную комбинацию первых двух уравнений. Обозначим a1,a2 ,a3,a4 — коэффициенты искомых

уравнений. Эти коэффициенты должны удовлетворять следующей однородной системе уравнений

Полагая a2 =1, a4 =0, имеем a1 =a3 =0; а полагая a2 =0, a4 =1, находим a1 =a3 =0. Таким образом получим фундаментальную систему решений

Поэтому однородная систему из двух уравнений, для которых X1 и X2 являются фундаментальной системой решений, имеет вид

Вкачестве третьего уравнения возьмем сумму первых двух уравений.

Итак получаем

Таким образом, пример полностью решен. ●

76

5.3. СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вернемся к неоднородной системе линейных уравнений

где

Если в этой системе все свободные члены заменить нулями, то полученная однородная система линейных уравнений

называется приведенной системой для системы (5.5).

Между решениями систем (5.5) и (5.6) существует тесная взаимосвязь.

Th Сумма решений данной неоднородной системы (5.5) и приведенной си-

стемы (5.6) есть решение данной неоднородной системы (5.5).

□ Обозначим X0 — частное решение системы (5.5), а X — решение си-

стемы (5.6).

Рассмотрим их сумму

Y = X + X0 .

Подставим эту сумму в (5.5), найдем

AY = A(X + X0 )= AX + AX0 =0+ B = B. ■

77

Th Разность двух решений неоднородной системы линейных уравне-

ний (5.5) есть решение ее приведенной системы (5.6).

□ Пусть X1 и X2 — решения неоднородной системы (5.5).Тогда справедливы равенства

Вычтя из второго равенства (5.7) второе, получим

A(X2 − X1 )= AX2 − AX1 = B − B =0. ■

Th Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линей-

ных уравнений

Если X0 — частное решение линейной неоднородной системы линейных уравнений (5.5)и X1,X2 ,...,Xn−r — любая фундаментальнаясистема приведенной системы (5.6), то их суммаявляется общимрешением неоднородной системы линейных уравнений.

□ Доказательство теоремы следует непосредственно из выше доказанных теорем. ■

Пример 5.6. Найти общее решение системы

пользуясь фундаментальным решением приведенной системы.

Решение. Приведённая система рассматриваемой неоднородной системы линейных уравнений имеет вид:

78

Исходя из результатов примера 5.4, ее нормальная фундаментальная система имеет вид:

Решим данную систему методом Крамера. Вычислим главный определитель системы

вспомогательные определители:

79

По формулам Крамера, получаем:

Частное решение X0 имеет вид

0−1 X0 = 1 .120

Теперь, согласно теореме о структуре общего решения неоднородной системы линейных уравнений, общее решение системы запишется как линейная комбинация

X = X0 +αX1 +βX2

или в развернутой форме

где α, β — произвольные постоянные. ●

80