2.3. КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Установить совместна она или несовместна система линейных уравнений (2.1) позволяет теорема Кронекера — Капелли.

Th Теорема Кронекера — Капелли

Система линейных уравнений (2.1)совместнатогдаитолькотогда,когда

ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных системы уравнений совпадают, т.е. при rang A = rang A .

□ Необходимость. Предположим, система (2.1) является совместной. Тогда существуют такие числа

x1 = x10,x2 = x20, ,xn = xn0 ,

которые уравнения системы (2.1) обращают в тождества:

C помощью полученных тождеств расширенную матрицу A соответствующую системе (2.1) можно записать в виде

18

Очевидно, что последний столбец представляет собой линейную комбинацию предыдущих столбцов, следовательно, rang A = rang A .

□ Достаточность. Пусть rang A = rang A . Тогда базисный минор матрицы

A являетсяибазиснымминоромрасширеннойматрицы A. В силу этого столбец из свободных членов является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы A , а коэффициенты этой линейной комбинации — решениями системы (2.1). Следовательно, система (2.1) является совместной. ■

Следствие 1. Если ранг этих матриц равен числу переменных

rang A = rang A = n ,

то система будет определенной, т.е. иметь единственное решение.

Следствие 2. Если ранг этих матриц меньше числа переменных

rang A = rang A < n,

то система не определена, т.е. имеет бесконечно много решений.

19

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ИЗ n УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ

Def Если количество уравнений совпадает с количеством переменных (не-

известных), то СЛУ называется квадратной (Крамеровской).

3.1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Рассмотримсистемулинейныхуравнений,укоторой числоуравненийсовпадает с количеством переменных:

AX = B ,

(которое является матричной записью системы линейных уравнений) можно решать с помощью обратной матрицы (см. 3.1.4). Умножая обе части уравнения слева на эту обратную матрицу A-1 , получаем

A-1A X = A-1B ,

EX = A-1B ,

X = A-1B .

Таким образом, решение системы линейных уравнений (3.1) можно найти с помощью обратной матрицы по формуле

20

Пример 3.1. Используяобратнуюматрицу,найтирешениесистемылинейных уравнений

3x + 4y = 15,

−x + y = 2.

Находим определитель исходной матрицы A

∆A = −31 14 =3 1−4 (−1)=7 ≠ 0.

Таким образом матрица является невырожденной. Найдем ее обратную матрицу:

Теперь находим матрицу X (решение системы линейных уравнений):

В итоге, получаем: x =1, y =3. ●

21

Пример 3.2. Используяобратнуюматрицу,найтирешениесистемылинейных уравнений

2x − 3y − 4z = 0,

x − 3y + 3z = 6,3x − 2y − 5z = −4.

Решение. Обозначим

Находим определитель исходной матрицы A

−3 (−2) (−4)−3 (−2) 2−1 (−3) (−5) = −26≠ 0.

Таким образом матрица является невырожденной. Найдем ее обратную матрицу:

22

Теперь находим матрицу X (решение системы линейных уравнений):

Витоге, получаем: x =−1, y =−2, z =1. ●

3.2.РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ (МЕТОДОМ КРАМЕРА)

Рассмотрим СЛУ, у которой число уравнений совпадает с количеством переменных:

23

Если матрица A коэффициентов при неизвестных является невырожденной, то решение единственно и находится по формуле (3.2), которая в развернутом виде принимает вид

Заметимследующее,что сумма A11b1 + A21b2 + + An1bn представляет собой

разложение по первой строке определителя, который получается из определителя ∆A путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов, т.е.

а отсюда можно сделать вывод, что

x1 = ∆∆A1 .

Аналогично: сумма A12b1 + A22b2 + + An2bn представляет собой разложе-

ние по второй строке определителя , который получается из определителя ∆A путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов, т.е.

24

и

x2 = ∆∆xA2 .

Окончательно получаем формулы Крамера для решения системы линейных уравнений

Th Правило Крамера

Пусть для системы линейных уравнений (3.1) главный определитель ∆A

ивсе вспомогательные определители ∆x1, ∆x2 , ,∆xn найдены. Тогда:

•если главный определитель ∆A ≠ 0, то решение единственно и находится по формулам (3.3);

•если главный определитель ∆A = 0и хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то решение не существует;

•если главный определитель ∆A = 0 и все вспомогательные определители не равен нулю, то решений бесконечно много.

Пример 3.3. Используя метод Крамера, найти решение системы

2x + 4y = 8,

−3x + y = −5.

Решение. Вычислим главный определитель системы

∆A = −23 14 = 2 1−4 (−3)=14≠ 0.

25

Так главный определитель не равен нулю, то решение единственно. Для нахождения решения, вычислим вспомогательные определители:

∆x = −85 14 =8 1−4 (−5)= 28, ∆y = −23 −85 = 2 (−5)−8 (−3)=14.

По формулам Крамера, получаем:

Пример 3.4. Используя метод Крамера, найти решение системы при различных значениях параметра a

Решение. Вычислим главный определитель системы

=a(a2 −1)−(a −1)+(1−a)= a(a −1)(a +1)−(a −1)−(a −1)=

=(a −1)(a2 + a −2)=(a −1)2 (a + 2).

Очевидно, что ∆A = 0 при a =1 или a = −2. В остальных случаях, т.е. при a (−∞;−2) (−2;1) (1;+∞)главный определитель ∆A ≠ 0.

Вычислим вспомогательные определители:

=(a2 −1)−(a −1)+(1−a)=(a −1)(a +1)−2(a −1)=

=(a −1)(a +1−2)=(a −1)2 ,

26

= a(a −1)−(a −1)=(a −1)(a −1)=(a −1)2 ,

= a(a −1)+(1−a)=(a −1)(a −1)=(a −1)2 .

При a (−∞;−2) (−2;1) (1;+∞) решение единственно. По формулам Крамера, получаем

При a = −2 решений нет, так как

∆A =(−2−1)2 (−2+2)=0, ∆x =(−2−1)2 =9≠ 0,

∆y =(−2−1)2 =9≠ 0.

При a =1 решений бесконечно много, так как

∆A =(1−1)2 (1+2)=0,

∆x =(2−1)2 =0, ∆y =(1−1)2 =0.

27

Таким образом, получаем:

при a (−∞;−2) (−2;1) (1;+∞) — решение единственно и имеет вид

x= a +1 2 , y = a +1 2 , z = a +1 2 ;

при a = −2 — решений нет;

a =1 — решений бесконечно много. ●

Пример 3.5. Используя метод Крамера, найти решение системы

Решение. Вычислим главный определитель системы

= 4−2 (−8)−(−1)= 21≠ 0.

Так главный определитель не равен нулю, то решение единственно. Для нахождения решения, вычислим вспомогательные определители:

=5−2 (−10)+ 4 (−1)= 21.

28

По формулам Крамера, получаем:

Пример 3.6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Решение. Вычислим главный определитель системы

ивычислим его, приведя его к ступенчатому виду. Для этого

•от второй строки вычтем первую строку;

•от третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2;

•от четвертой строки вычтем первую строку, умноженную на 3. Определитель принимает вид:

Далее

•к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 2;

•к четвертой строке прибавим вторую строку.

Определитель принимает вид:

29

Прибавляя к четвертой строке третью строку, умноженную на43, получим

Поскольку главный определитель ∆ отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Составим вспомогательные определители и вычислим их, как и главный определитель ∆:

30