- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ
- •1.1. ОДНО УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
- •1.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •2.2. ФОРМЫ ЗАПИСИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •2.3. КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА
- •4.3. ПРАВИЛО ПРЯМОУГОЛЬНИКА
- •5. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
- •ЛИТЕРАТУРА
М. Н. Михин, С. П. Курдина
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Часть 2. Системы линейных уравнений
Учебное пособие
2-е издание, переработанное и дополненное
Москва Ай Пи Ар Медиа
2026
УДК 512
ББК 22.1 М69
Авторы:
Михин М. Н. — канд. физ.-мат. наук, доц., зав. кафедрой математических и естественно-научных дисциплин филиала РГГУ в г. Домодедово;
Курдина С. П. — канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель кафедры ФН-2 прикладная математика МГТУ имени Н. Э. Баумана
Рецензенты:
Еремин В. В. — канд. экон. наук, ведущий науч. сотр. Центра мониторинга и оценки экономической безопасности,
Институт экономической политики и проблем экономической безопасности Финансового университета при Правительстве РФ;
Казаков К. Е. — канд. физ.-мат. наук, доц., ст. науч. сотр. Института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН
Михин, Михаил Николаевич.
М69 Линейная алгебра. Ч. 2. Системы линейных уравнений : учебное пособие /
М. Н. Михин, С. П. Курдина. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2026. — 99 с. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-4786-0 (ч. 2)
ISBN 978-5-4497-4736-5
В учебном пособии показаны виды систем линейных уравнений и методы их решения. Рассмотрены основные понятия теории систем линейных уравнений, методы решениясистемы линейныхиз n уравнений с n неизвестными. Излагается метод Гаусса для решения систем уравнений, а также решение однородных систем уравнений. Настоящее учебное пособие подготовлено на основе лекций, читаемых преподавателями кафедры математических и естественно-научных дисциплин филиала РГГУ в г. Домодедово.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования.
Учебное пособие предназначено для студентов всех направлений подготовки и специальностей, учебными планами которых предусмотрено изучение дисциплин «Линейная алгебра», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-4786-0 (ч. 2) |
© Михин М. Н., Курдина С. П., 2026 |
ISBN 978-5-4497-4736-5 |
© ОООКомпания«АйПи АрМедиа»,2026 |
Учебное издание
Михин Михаил Николаевич Курдина Светлана Павловна
Редактор М. В. Половникова
Технический редактор, компьютерная верстка М. В. Половникова
Обложка Я. А. Кирсанов, С. С. Сизиумова, фотобанк Freepik
Подписано к использованию 17.09.2025. Объем данных 7 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа» 8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sale@iprmedia.ru
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................. |
5 |
1. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ.................................................................................. |
7 |
1.1. Одно уравнение с одним неизвестным.......................................................... |
7 |
1.2. Решение системы двух линейных уравнений |
|
с двумя неизвестными............................................................................................. |
9 |
2. Основные понятия теории |
|
систем линейных уравнений................................................................................ |
12 |
2.1. Основные определения.................................................................................. |
12 |
2.2. Формы записи систем линейных уравнений............................................... |
15 |
2.3. Критерий совместности системы линейных уравнений............................ |
18 |
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ |
|
ИЗ n УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ..................................................... |
20 |
3.1. Решение системы линейных уравнений |
|
методом обратной матрицы ................................................................................. |
20 |
3.2. Решение системы линейных уравнений |
|
методом определителей (методом крамера)....................................................... |
23 |
4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
МЕТОДОМ ГАУССА............................................................................................. |
32 |
4.1. Решение системы линейных уравнений методом |
|
последовательного исключения неизвестных.................................................... |
32 |
4.2. Решение системы линейных уравнений методом |
|
полного исключения неизвестных....................................................................... |
40 |
4.3. Правило прямоугольника.............................................................................. |
46 |
4.4. Нахождение всех решений системы линейных уравнений |
|
при бесконечном их количестве.......................................................................... |
51 |
5. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ....................... |
61 |
5.1. Критерий нетривиальной совместности |
|
однородной системы линейных уравнений........................................................ |
61 |
5.2. Фундаментальная система решений однородной системы |
|
линейных уравнений. Структура общего решения ........................................... |
63 |
5.3. Структура общего решения неоднородной системы |
|
линейных уравнений............................................................................................. |
77 |
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ...................................................................... |
81 |
ПРИЛОЖЕНИЕ....................................................................................................... |
90 |
ЛИТЕРАТУРА......................................................................................................... |
99 |
4
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие предназначено для студентов, впервые знакомящихся с учебным курсом «Линейная алгебра», и содержит стандартные задачи разделов: матрицы и определители.
Цель изучения дисциплины «Линейная алгебра» — обеспечение уровня математической грамотности студентов, достаточного для формирования навыков математической постановки и решения классических задач линейного программирования, моделирования процессов управления и экономики.
Задачи дисциплины:
•изучение основ линейной алгебры;
•выработка навыков решения типовых математических задач;
•формирование умения применять основные понятия и методы линейной алгебры для решения различных прикладных задач.
В результате изучения дисциплины «Линейная алгебра» студент должен достичь следующих результатов образования:
1) знания:
•на уровнепредставлений — основные понятия и инструменты линейной алгебры;
•на уровне воспроизведения — операции над матрицами; определители
иих свойства; системы линейных алгебраических уравнений;
•на уровне понимания — адекватной геометрической интерпретации классических экономических и управленческих моделей;
2) умения:
•теоретические — анализировать системы линейных уравнений, использовать математический язык и математическую символику при построении орга- низационно-управленческих моделей;
•практические — решать типовые математические задачи, использовать математический аппарат теории матриц, решать системы линейных уравнений;
3) навыки:
•оценки правильность решения и результата;
•работы с математическими текстами, оформления собственных математических текстов; применения современного математического инструментария для решения различных задач.
Универсальным методом решения системы линейных уравнений является метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса).
5
Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н.э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных в X–II вв. до н.э.
В1693 г. Г. Лейбниц и позднее в 1750 г. Г. Крамер при решении систем линейных уравнений пришли к понятию определителя, а сам термин«определитель» ввел в 1801 г. К. Гаусс. При этом стоит отметить, что определители матрица размера 2×2 встречаются у Кардано в XVI в.
Для того чтобы учебный материал легче усваивался он сопровождается большим числом примеров, которые рассматриваются на протяжении всего изложения учебного материала.
Вучебном пособии приняты следующие обозначения:
Def — определение; Th — теорема;
□ — начало доказательства теоремы (свойства); ■ — окончание доказательства теоремы (свойства); ● — окончание решения примера.
6