Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
О. Ю. БРЕДНИХИНА, А. М. ИВЛЕВА
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В ДВУХ ЧАСТЯХ
ЧАСТЬ 1
Учебно-методическое пособие
НОВОСИБИРСК
2025
1
УДК 512.64(075.8) Б877
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент А. И. Стукачев канд. физ.-мат. наук, доцент Т. И. Семенко
Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики
иутверждена Редакционно-издательским советом университета
вкачестве учебно-методического пособия
|
Бреднихина О. Ю. |
|
Б877 |
Линейная алгебра: учебно-методическое пособие в 2 ч. / |
|
|
О. Ю. Бреднихина, А. М. Ивлева. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, |
|
|
2025 – |
. |
ISBN 978-5-7782-5366-7 Ч. 1: – 2025. – 80 с. ISBN 978-5-7782-5367-4
Учебно-методическое пособие адресовано студентам первого курса и преподавателям факультета бизнеса для изучения дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», а также может быть использовано студентами и преподавателями других факультетов НГТУ для изучения этой дисциплины.
Для всех специальностей первого курса факультета бизнеса по дисциплине – «Линейная алгебра».
|
УДК 512.64(075.8) |
ISBN 978-5-7782-5367-4 (Ч. 1) |
© Бреднихина О. Ю., Ивлева А. М., 2025 |
ISBN 978-5-7782-5366-7 |
© Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2025 |
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Студенты, особенно первого курса, часто сталкиваются с трудностями при изучении математических дисциплин, в силу большой сложности предмета по сравнению со школьной программой. Поэтому цель настоящего пособия – помочь студентам первого курса НГТУ в изучении одной из математических дисциплин – линейной алгебры и аналитической геометрии. С одной стороны, пособие содержит изложение некоторых теоретических разделов материала по учебной программе и примеры задач с решениями по этим разделам. С другой стороны, приводится система мотивации студентов к изучению предмета путем введения на занятиях рейтинговой системы оценки, что стимулирует обучающихся к самостоятельному овладению материалом, а следовательно, и более высокому качеству обучения. Пособие содержит задания студентам, которые они должны разобрать самостоятельно, тем самым закрепив знания теоретических материалов.
3
ГЛАВА 1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Настоящая работа может быть полезна и студентам, и преподавателям.
КАК РАБОТАТЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
В процессе преподавания могут возникать различные вопросы:
1.Как распределить подачу материала в расчасовке: 18 лекций, 9 практических занятий, которые выделены на факультете бизнеса для преподавания дисциплины «Линейная алгебра»?
2.Как сделать так, чтобы студенты сами хотели осваивать новый материал?
3.Какоцениватьихработу, чтобыонимоглиполучатьбольшебаллов?
4.Как бороться со списыванием?
5.Как преодолеть нежелание части студентов участвовать в освоении нового материала?
Возможно, настоящая работа поможет начинающим преподавателям, которые, имея прекрасные знания предмета, но не имея опыта преподавания, сталкиваются с различными проблемами. Обычно
вНГТУ на изучение предмета «Линейная алгебра» отводится 18 лекций и 18 практических занятий, а на факультете бизнеса – 18 лекций и 9 практических занятий. Как в таком случае распределить материал?
Возможно, это поможет и преподавателям, привыкшим работать
врасчасовке 18/18. На факультете бизнеса рекомендуется пройти 18 тем на 18 лекциях и эти же 18 тем на 9 практических занятиях. Такая расчасовка 18/9 вызывает много проблем в подаче материала и получении студентами баллов для рейтинговой системы оценки учебного процесса.
4
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛА
Лекция 1. Введение. Определители. Лекция 2. Множества. Комплексные числа. Лекция 3. Многочлены.
Лекция 4. Матрицы. Обратная матрица.
Лекция5. Контрольнаяработа№1. Определители, комплексныечисла. Лекция 6. Ранг матрицы. Определенные системы.
Лекция 7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
Лекция8. Однородные системы. Фундаментальнаясистемарешений. Лекция 9. Контрольная работа № 2. Матрицы. Системы линейных
уравнений.
Лекция 10. Векторы. Скалярное произведение. Лекция 11. Векторное, смешанное произведения. Лекция 12. Плоскость и прямая в пространстве. Лекция 13. Прямая на плоскости.
Лекция 14. Кривые второго порядка.
Лекция 15. Контрольная работа № 3. Векторы, аналитическая геометрия в пространстве.
Лекция 16. Переписывание контрольных работ. Лекция 17. Подготовка к экзамену. Сдача теории Лекция 18. Обзорная лекция.
Контрольные работы проводятся в потоковых аудиториях на лекциях и оцениваются по 20 баллов каждая.
ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ
Контрольная работа 1
1. Вычислить определитель:
4 |
4 |
3 |
3 |
5 |
3 |
1 |
11 |
7 |
3 |
1 |
6 . |
2 1 0 1
2. Решить систему методом Крамера:
x1 2x2 x3 6,2x1 x2 x3 5,3x2 x3 5.
5
3. Записать в алгебраической форме:
2.
2 i
4.Записать в алгебраической и показательной форме:
|
1 i 44 |
||
|
|
. |
|
2i |
|||
|
|
||
5. Найти корни из комплексного числа, ответы записать в алгебраической форме и обозначить точками на комплексной плоскости:
6 27.
Для контрольной работы 2 предлагается на выбор два типа вариантов.
Первый вариант
1.Вычислить: Q(SD 2Q 1).
2.Решить систему AX K методом Гаусса, где X (x, y, z, u, v)T . Решение записать в векторной форме.
3.Найти ранг матрицы В.
4.Найти F 1 .
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
1 |
3 |
2 |
0 |
4 |
A 2 |
4 |
4 |
5 |
4 , |
Q 3 |
1 |
2 , |
S 1 |
0 , |
3 |
6 |
1 |
9 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 3 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
2 |
|
2 |
2 1 4 |
4 |
|
||||||
|
|
0 |
|
, |
|
3 |
3 |
2 1 |
3 |
|
, |
|||||
D |
|
2 |
|
, K |
|
B |
|
|||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
8 |
8 |
3 |
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6
Второй вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
1 |
3 |
|
|
1. Найти матрицу A |
, |
|
2 |
4 |
6 |
|
|
|
где A |
. |
|||||
|
|
|
|
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
10 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. Вычислить |
|
|
|
A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
7 |
|
0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Исследовать |
систему |
линейных |
уравнений на |
совместность |
||||||||||||||||||||||||||
и определенность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 2x 4x 13x 2x 8, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x1 2x2 6x3 x4 x5 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3x |
4x |
|
|
5x 2x 11x |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Решить систему линейных уравнений. Записать общее решение в |
||||||||||||||||||||||||||||||
векторной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 4x 7x 3x 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 3x2 6x3 2x4 7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4x 7x |
x |
x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
5 |
4 |
5 |
|||||
5. Вычислить A(B |
2A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
0 |
2 |
5 |
|
|||||||||||
|
) , где A 1 |
|
|
|
, B |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
4 |
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
Для контрольной работы 3 предлагается на выбор два типа вари- |
||||||||||||||||||||||||||||||
антов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Найти основание высоты пирамиды |
|
|
ABCD , опущенной из вер- |
|||||||||||||||||||||||||||
шины A , если A(2, 3, 2), B(1, 2, 4), C(5, 5, 5), D(2, 0, 1). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2. Найти площадь |
параллелограмма, |
построенного |
на |
векторах |
||||||||||||||||||||||||||
a 3p 2q |
и |
|
2 p 5q , если |
|
|
p |
|
2, |
|
q |
|
3, |
|
( p, q) . |
|
|
||||||||||||||
b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
3. Найти прb a , если a (3, 0, 1), b (4, 5, 3).
Ax 2 y 10z 3 0,
4. Найти значение A , если прямая пересека-
x 5y 7z 5 0.
ет ось ОХ.
5. Найти угол между высотами CD и BE треугольника ABC , если
A(2, 5, 1), |
B(1, 7, 7), C(3, 2, 4) . |
|
Второй вариант |
|
|
1. Даны |
точки A( 3, 1, 8), B(1, 3, 4), |
C(7, 12, 10), D(0, 5, 2) . |
Средствами векторной алгебры найти длину высоты DE пирамиды
ABCD .
2. Упростить (3i 2 j )i ( j 2k ) (i 2 j )2 .
3. Найти расстояние от точки B(2, 3, 1) до прямой ℓ:
x 1 y 2 z . 1 1 2
4. При каком значении m вектор a (1, 3, 0) параллелен плоско-
сти mx 3y 2z 5 0 ?
Выбор варианта – на усмотрение преподавателя.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Занятие 1. Определители. Метод Крамера. Занятие 2. Комплексные числа.
Занятие 3. Матрицы. Обратная матрица. Ранг.
Занятие 4. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Занятие 5. Векторы. Скалярное произведение.
Занятие 6. Векторное и смешанное произведения векторов. Занятие 7. Плоскость и прямая в пространстве.
Занятие 8. Прямая на плоскости. Занятие 9. Сдача теории.
Для прохождения одной темы на практике всем студентам требуется две недели (практика один раз в две недели). Расписание складывается так, что не все группы успевают пройти завершающую тему, по-
8
этому последнее занятие всех групп отводится для устной сдачи теоретических материалов по всем темам программы, указанным в списке.
СДАЧА ТОРЕТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
Студент на выбор изучает любую тему и, подойдя к преподавателю с чистым листом и ручкой, рассказывает ее. Как оценивать этот рассказ?
Предлагается ставить по 3 балла за каждую часть теории, равную по объему одному теоретическому вопросу в экзаменационном билете. В результате этого теоретические знания лучше усваиваются студентами. Так как вся работа происходит в живом личном общении, исключается возможность списывания – преподаватель уверен в поставленной оценке, а у студентов возникает сильная мотивация выучить как можно больше материала.
СПИСОК ВОПРОСОВ ДЛЯ СДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
1. Определители. Метод Крамера
Определение квадратной матрицы. Сокращенная запись. Вычисление определителей 1, 2, 3 порядка. Определение минора и алгебраического дополнения. Теорема о разложении определителя по строке или столбцу. Свойства определителей. Метод Крамера.
2. Комплексные числа
Определение, изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Сопряжение. Три формы комплексного числа. Арифметические действия. Формула Муавра. Формула извлечения корня из комплексного числа.
3. Матрицы. Ранг матрицы
Определение матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства операций над матрицами (8 свойств). Элементарные преобразования. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Ступенчатый вид матрицы. Методы вычисления ранга матрицы (метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований).
4. Обратная матрица
Определение обратной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Нахождение обратной мат-
9
рицы (два способа). Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
5. Общая теория систем линейных уравнений
Исследование СЛУ (совместность, определенность, неопределенность). Классификация СЛУ. Теорема Кронекера–Капелли. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Общее решение в параметрической форме.
6. Однородные системы линейных уравнений
Определение однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений (ФСР). Структура общего решения систем линейных уравнений. Общее решение СЛУ в векторной форме.
7. Векторы. Скалярное произведение
Определение вектора, модуль, коллинеарность, компланарность. Линейные операции над векторами. Теорема 1 (условие коллинеарности). Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение: определение, свойства. Теорема 2 (условие ортогональности). Вычисление работы силы F.
8. Векторное и смешанное произведения векторов
Определение векторного произведения. Свойства векторного произведения. Теорема (условие коллинеарности векторов). Механический смысл векторного произведения. Геометрический смысл векторного произведения. Определение смешанного произведения. Геометрический смысл смешанного произведения.
9. Прямая на плоскости
Общее уравнение. Угол наклона прямой. Угловой коэффициент прямой. Вектор нормали. Направляющий вектор. Таблица видов уравнений прямой (9 уравнений). Таблица основных формул.
10. Плоскость и прямая в пространстве
Метод координат. Определение уравнения, соответствующего заданному множеству. Определение множества точек, удовлетворяющих заданному уравнению. Таблица уравнений плоскости (7 уравнений). Угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости. Уравнения прямой в пространстве (5 уравнений).
10