Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

895 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Что значит максимальная по включению? Это значит, что если присоединить еще один вектор, то система будет линейно зависимой.

Теорема. Два любых неколлинеарных вектора на плоскости, взятых в определенном порядке, образуют базис.

Теорема. Три любых некомпланарных вектора в пространстве, взятых в определенном порядке, образуют базис.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется произведение модулей этих векторов и косинуса угла между ними.

ab a b cos a, b a b cos .

Теорема. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 ),

a b a1i a2 j a3k b1i b2 j b3k a1b1 a2b2 a3b3,

так как

2 1.

Так как

a 2

2 ,

то

a a ,

т. е.

a2 a2

a1b1 a2b2 a3b3

cos a, b

a12

a22 a32

b12 b22

b32

Вычисление работы

Работа силы F, действующей на материальную точку при перемещении ее из начала в конец вектора S , вычисляется по формуле A F S . Это физический смысл скалярного произведения.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Решения задач даны без объяснений. Задача студентов – объяснить их у доски. Перед практическим занятием необходимо прочитать соответствующий раздел из [1] и разобрать похожие примеры, которые даны там с объяснениями.

Пример 3.1 (2а) [1]

Какой угол должен быть между векторами a и b , чтобы выполнялось условие a b a b ?

Решение

AB a, AD b , AC a b , DB a b.

Диагонали равны только в прямоугольнике, следовательно, a b.

Пример 3.1 (6а) [1]

В треугольнике AOB обозначим единичные векторы направлений OA и OB соответственно m и n, OM – медиана.

Сделать чертеж и выразить векторы OA, OB, AB, BA, OM через m и n . OA 2, OB 6.

Решение

O M

OA m 2, 2, OA 2m;

OB n 6, 6, OB 6n;

AB OB OA 6n 2m;

BA AB 2m 6n;

OM OB 12 AB OA 12 AB;

OM 6n 12 (6n 2m) 6n 3n m 3n m;

OM 2m 12 (6n 2m) 2m 3n m m 3n.

Пример 3.2 (4б) [1]

Доказать, что векторы e1, e2 , e3 образуют базис. Найти координаты вектора X в этом базисе:

e1 (1, 1, 1), e2 (1, 1, 2), e3 (1, 2, 3), X (6, 9, 14).

Решение

1	1	1	6
	1	2		9	,
1	1	2		9	,
	2	3
1	2	3	14

6,2 9,2 3 14.

	1	1	1				S								S			1		1		1		1( 1)2 3	1	1	1 0.
	1	1	1															1		1		1
	1 1		2	S	2				,	S				3				0 0				1
	1	2	3		2			1						3	1			0		1		2			0	1
																									0	1

Следовательно, векторы e1, e2 , e3 образуют базис.
												6			1	1			S2 S1, S3 S1
												6			1	1
												9			1 2
												14			2	3
					6			1		1					8 3 (6 6) 11 12 1.
					6			1		1
					3 0						1
					8			1		2
													1		6	1	S2 S1, S3 S1
													1		6	1
													1		9	2
													1		14	3
						1		6		1							1 1				3	1



						0 3							1		1( 1)						8	2	6 8 2.
						0		8		2
						0		8		2


					1		1					6				S ,				S		1	1	6	3( 1)2 3		1	1		3.
					1		1					6										1	1	6
					1 1							9		S	2			S	3			0	0	3
					1		2			14					2		1		3		1	0	1	8			0	1
																											0	1


												1,						2,					3 ,		X e1 2e2 3e3.
												1,						2,					3 ,		X e1 2e2 3e3.
		Пример 4.1 (4) [1]
		При каком											значении						параметра				α	векторы a						3		2
		При каком											значении						параметра				α	векторы a					i	3	j	2	k
и				2									ортогональны?
	b										k
	b		i			j					k
		Решение
					a				( , 3, 2)(1, 2, ) 6 2 0 6.
					a			b	( , 3, 2)(1, 2, ) 6 2 0 6.
		Пример 4.1 (7) [1]
		Вычислить работу															A ,									(3, – 2, 5) , если
		Вычислить работу															A ,	производимую силой F								(3, – 2, 5) , если

точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(2, 3, 5) в положение B(3, 2, 1) .

Решение

F (3, 2, 5), A(2, 3, 5), B(3, 2, 1).

A = F AB,

AB (3 2, 2 3, 1 5) (1, 1, 6),

А (3, 2, 5)(1, 1, 6) 3 1 ( 2)1 ( 5)( 6) 3 2 30 31.

Пример 4.1 (15а) [1]

Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a и b , если a 2, b 1, a, b 3 .

Решение


		d1 a b ,
d	d	d1 a b ,

d2 a b.

cos (d , d

)

a 2

a 2 2a

a 2 a 2 4;

b 2 b b cos0 b 2 1; a b a b cos 3 1 2 12 1;


cos (d , d	2	)			4 1			3		3	,
cos (d , d		)									,
1		4	2 1 4 2 1					7 3	7
		4	2 1 4 2 1					7 3	7
		d			arccos	3	.
			, d	2		3
			, d
		1				7
						7

Домашнее задание: 3.1: 1в, 2в, 3, 7а; 3.2: 4а; 4.1: 1, 6, 8, 14, 15б.

ГЛАВА 7 ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Определение. Упорядоченная тройка векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Определение. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c a b , удовлетворяющий условиям:

1.c a, c b;

2.c a b sin a,b

3.a, b , c обрадуют правую тройку.

Геометрический смысл

c – площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b ,

Sпар a b sin

Свойства векторного произведения

1.a b b a.

2.a b c a b (a c ).

3.( a) b a ( b ) a b .

Векторное произведение через координаты

a (a1, a2 , a3), b (b1, b2 , b3 ),

a a

b1 b3

b1 b2

(a2b3 b2a3)

(a1b3 b1a3 )

(a1b2 b1a2 ).

Теорема. Условие коллинеарности векторов.

Два вектора a,

коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Механический смысл векторного произведения

Он состоит в следующем: если F – вектор силы, а r – радиусвектор точки приложения силы, имеющий начало в точке A , mA (F) – момент силы F относительно точки A , то mA (F) r F .

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Определение. Смешанным произведением векторов a, b , c называется число abc a b c a b c .

Теорема. Смешанное произведение некомпланарных векторов a,b ,c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Знак произведения «+», если тройка векторов правая. Знак произведения «–», если тройка векторов левая. abc a b c cos a cos b c hSосн Vпар.

Теорема. Условие компланарности. Смешанное произведение векторов a, b , c равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны.

ПРАКТИЧЕКСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Пример 4.2 (5) [1]

Даны вершины треугольника A (1, –1, 2), B (5, –6, 2), C (1, 3, –1).

Вычислить длину высоты, опущенной из вершины В. Решение

		B
	A	C
	A	D
		D

					S			1											,						2S		,
								1		BD					AC						BD				2S
										BD					AC						BD
		2																							AC
		2																							AC
						( 4,											5, 0),					(0, 4, –3),
					BA	( 4,											5, 0),	AC				(0, 4, –3),

									i			j					k
							4				5				0					15				16				12			,
			BA	AC
																										k
																							i			k				j
							0				4					3
S	1	152 162 122											1				225 144 256												1	625		25	,
S	2	152 162 122															225 144 256												2	625		2	,
	2													2															2			2

(0, 4, –3),

0 16 9

25 5,

BD 2 25 5. 2 5

Пример 4.2 (6) [1]

Сила P (2, 2, 9) приложена к точке A (4, 2, –3). Определить вели-

чину и направляющие косинусы момента силы относительно точки

C (2, 4, 0).

Решение

									mA (				) r			,
									mA (			P	) r		P	,
		r				(4 2, 2 4, –3 0) (2, – 2, 3),
		r		CA		(4 2, 2 4, –3 0) (2, – 2, 3),

			i		j			k			2			3				2	3		2	2
			i		j			k
mA (		)	2	2			3
mA (	P	)	2	2			3			i							j			k
			2	2			9				2			9				2	9		2	2
			2	2			9

18i 6 j 4k 4k 18 j 6i 12i 24 j 8k ,

	mA (		)		144 64 576			784 28.
		P
cos	12			3	; cos	24	6	; cos	8	2	.
	28			7		28	7		28	7

Направляющие косинусы вектора равны координатам вектора, деленным на его модуль.

Пример 4.2 (8а) [1]

Зная две стороны треугольника ABC :

3 p 4q,

p 5q ,

вычислить длину его высоты CD , если:

( p, q)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]