Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

895 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Пример 2.2 (1б) [1]

Решить методом Крамера:

x y 4z 6,

2x 3y 7z 16,

5x 2 y z 16.

Решение
	1		1	4				6		1	4
	1		1	4				6		1	4
	2		3	7	98,	x		16		3	7	294,
	5		2	1				16		2	1
		1	6	4					1	1	6
		1	6	4					1	1	6
y		2	16	7	98,		z		2	3	16		98,
		5	16	1					5	2	16
x			294	3 ,	y	98	1,		z 98 1.
x			98	3 ,	y	98	1,		z 98 1.
			98			98				98

Домашнее задание 2.1: 1б, 1в, 2г, 2и, 4б; 2.2: 1в, 1г, 2б.

ГЛАВА 3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ФОРМУЛЫ. ДЕЙСТВИЯ


Определение:	комплексным числом z	называется				выражение
z x iy , где x и	y – вещественные числа; i	– так называемая мни-
мая единица, которая обладает следующим свойством:						i2 1; x –
вещественная часть z (Re z), y – мнимая часть z (Im z).
Определение: модуль числа z (обозначается			z	или r ) есть длина
Определение: модуль числа z (обозначается			z	или r ) есть длина
отрезка, соединяющего точку z с началом координат					z	x2 y2 .
отрезка, соединяющего точку z с началом координат					z	x2 y2 .

Аргумент z (обозначается arg z) есть угол , на который нужно

повернуть положительное направление оси OX , чтобы оно совпало с лучом [0, z) .

Угол положительный – против часовой стрелки. Угол отрицательный – по часовой стрелке.

Arg z имеет бесконечно много значений, отличающихся на 2 k , k Z .

Значение –π < Arg z π называется главным значением аргумен-

та и обозначается arg z . Заметим, что z1 z2 r1 r2 ,						arg z1
arg z2 2 k .
Операция сопряжения
z x iy z x iy.
Нахождение аргумента
x	z	cos ,	y	z	sin .
x	z	cos ,	y	z	sin .

				y		0),
arctg					(x
arctg				x	(x
				x
				y
arctg				y		(x 0, y 0),
arctg				x		(x 0, y 0),
				x
				y
				y
arg z arctg					(x 0, y 0),
arg z arctg				x	(x 0, y 0),
				x
			(x 0,			y 0),
	2		(x 0,			y 0),
	2
			(x		0,	y 0).
		2	(x		0,	y 0).
		2

Различные формы записи комплексного числа z x iy – алгебраическая форма;

x r cos

z r (cos isin ) тригонометрическая форма;

y r sin

ei (cos isin ) – формула Эйлера;

z rei – показательная форма.

Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме выполняются по обычным правилам действия с алгебраическими выражениями (раскрытие скобок, приведение подобных

членов) с учетом равенства i2 1. Возведение в степень. Формула Муавра:

zn r(cos isin ) n rn (cos n isin n ).

Извлечение корня:

	2k	isin	2k	,
n z n r(cos sin ) n r cos	n		n

k = 0, 1, …, n – 1.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Решения задач даны без объяснений. Задача студентов – объяснить их у доски. Перед практическим занятием прочитать соответствующий раздел из [1, 2] и разобрать похожие примеры, которые даны там с объяснениями.

Пример 1.2 (1б) [1]

Выполнить операции. Предварительное замечание: in i4k m im , тогда

i5 2 2i11 1

{i5 i,

i4 1 i , i11 i4 2 3 i3 i
11		5		5		i 2	2	(i 2)(i 1)	2
i	i		i		i iii i}				.
i	i		i		i iii i}	i 1		(1 i)(1 i)	.
						i 1		(1 i)(1 i)

Числитель и знаменатель дроби домножили на сопряженное значение к знаменателю.


	1 3i 2					1	3i	2				1	2			1 3						3 2			2
															2						i		i
			2			2	2					2							2
																2						2
=		1		2 3i	9	( 1)			1		9			3	i		8			3	i 2			3		i.
	4							4					2											2
				2 2 4						4						4		2

Пример 1.2 (1в) [1]

Выполнить операции:

(1 3 i5 ) (8 i17 ) {i5 i,i17 i16i i,i4 1} (2 i)2

(1 3i)(8 i)	8 24i i 3i2
(2 i)2	4	4i i2

			8 23i 3	11		23i		(11	23i)(3 4i)
			4 4i 1		3	4i		(3 4i)(3 4i)
=	33 23 3i 44i 23 4i2						33 69i 44i 92			125 25i		5	i.
=	9	16						25			25	5	i.
	9	16						25			25

Пример 1.2 (2а) [1]

Представить комплексные числа в тригонометрической и показательной форме:

z 2, z 2 0i,

r		z			4 0 2,

arg z {x 0, y 0} arctg xy arctg 0 , z 2(cos i sin ) 2ei .

Пример 1.2 (2б) [1]

Представить в тригонометрической и показательной форме: z 3i. Решение

z3i,

x 0, y 0,

			arg z				,
						2
	z			0 9			3,
	z			0 9			3,
z 3						isin				,
z 3		cos			2	isin			2	,
					2				2
z r ei 3ei
z r ei 3ei								2 .

Пример 1.2 (2д) [1]

Представить в показательной и тригонометрической форме:

				z					3						i			.
				z					2									.
									2			2
Решение
				z					3					i			,
				z					2								,
									2			2
x					3			,							y				1	,
x					2			,							y				2	,
					2														2
arg z arctg		1		2			arctg												3					5	,
arg z arctg		2					arctg															6		6	,
		2			3														3			6		6
	z					3				1						1 1,
						3				1
					4				4												5
					4				4									z 1ei
z cos		5			i sin						5
		5									5		,								6 .
		6											,								6 .
		6										6
Пример 1.2 (4б) [1]
Вычислить, используя формулу Муавра: 2																					2 2		6 i 24 .
Решение
		2 2 2 6 i 24 ,
zn rn cos n i sin n znein
r			8 4 6									32 4 2

			y							2	6
arg z arctg				{x 0, y 0}				arctg					arctg		3		,
arg z arctg				{x 0, y 0}				arctg					arctg		3		,
			x							2	2					3
			x							2	2					3
	24	4		2	24		24							5 24	60
	24				24		24								60
z						cos		sin		24		2		2	2 .
z						cos	3	sin	3	24		2		2	2 .
							3		3

Пример 1.2. (6г) [1]

Найти корни из комплексного числа: 3 z 3 64 i.

Решение
											2k									2k							,
		n z n r						cos				n			i		sin				n						,
												n									n
							z 64i{x 0, y 64},
										r 64,								,
																	2
															2k
													2		2k							2		2k
	3 64 i					3 64 cos							2				i sin					2						.
	3 64 i					3 64 cos									3		i sin							3				.
															3									3

													k 0
w	4		cos						i	sin							4			3			i		2			3 2i.


1																			2 2
							6								6				2 2
													k 1
							2																3
				2			2					2		2									3
w2 4	cos			2					isin			2				4			cos							isin				4i.
w2 4	cos				3				isin							4			cos			2 3				isin			2	4i.
					3								3									2 3							2

						k 2
				4						7		7
	4		2	4	isin	2	4	4		7	isin	7
w3		cos	2			2			cos
w3		cos		3			3		cos	2 3		2 3
				3			3			2 3		2 3

4	3	i	1	2 3	2i.


	2		2
	2		2

Домашнее задание 1.2: 1а, 1д, 2г, 3, 4а, 6б, 6в, 6е, 6з.

ГЛАВА 4

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

МАТРИЦЫ

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица эле-

		a	a
ментов A		11	1n	(a )	m n	,	где i – номер строки; j – номер
				ij	m n
	a		a
		m1	mn				m n – размерность матрицы.
столбца, aij		– элементы матрицы;					m n – размерность матрицы.

Линейные операции над матрицами

Пусть A (aij )m n .

Транспонирование: D AT , где D (dij )n m , dij a ji .

Такимобразом, транспортирование состоитв замене строкстолбцами. Сложение, вычитание матриц определено только для матриц оди-

наковой размерности: C A B , где C (cij )m n , где cij aij bij .

Умножение на число: C A , где C (cij )m n ,

cij aij .

Умножение матриц: произведением матрицы A (aij )m n на матрицу B (bij )n p называется матрица C (cij )m p , элементы которой

вычисляются по формуле cij ai1b1 j ai2b2 j ...... ainbnj ∑ aikbkj .

k 1

Короткоэтоправиломожносформулироватьсловами«строканастолбец».

Замечание 1: (m p)( p n) (m n) , иначе матрицы перемножать нельзя.

Замечание 2: в общем случае AB BA .

1 0

Единичной квадратной матрицей называется матрица E		.

	0 1

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Она обозначается символом Ø.

Свойства операций над матрицами

1.A B B A.

2.(A B) C A (B C).

3.(A B) A B.

4.(AB)C A(BC).

5.(A B)T AT BT .

6. (AB)T BT AT ,

( A)T AT .

7.(A B)C AC BC , A(B C) AB AC.

8.AE EA A.

Элементарные преобразования строк и столбцов

1.Перестановка строк.

2.Умножение какой-либо строки на число, не равное нулю.

3.Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на ка- кое-либо число.

То же самое для столбцов.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Определение. Квадратная матрица называется вырожденной (невырожденной ), если определитель матрицы равен (не равен) нулю.

Теорема. Если A – невырожденная матрица, то существует A 1 такая, что AA 1 A 1A E , где E – единичная матрица.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]