Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие

11. Кривые второго порядка

Эллипс, гипербола, парабола. Виды кривых второго порядка (9 видов). Определение квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

ПРОВЕДЕНИЕ ЭКЗАМЕНА

На факультете бизнеса существует система оценки на экзамене по баллам:

от 0 до 49 – неудовлетворительно; от 50 до 72 – удовлетворительно; от 73 до 86 – хорошо; от 87 до 100 – отлично.

Используя методики проставления баллов, предложенные в настоящей работе, возможно набрать в течение семестра баллы для получения «автомата».

Экзамен рекомендуется проводить устно, так как в настоящее время есть много возможностей для списывания. Студент берет билет, готовится 1 час (можно это делать с литературой), а затем подходит к преподавателю и устно отвечает на вопросы билета.

Обычно с первых фраз ответа преподавателю становится понятно, разбирается студент в данных вопросах или нет.

Такая методика заставляет напрягать память и сообразительность. Студенту не обязательно решать задачи до числового результата. Он должен схематично рассказать ход решения и написать необходимые формулы.

Предлагаемый способ решает следующие проблемы:

1)уменьшает время приема экзамена;

2)исключает списывание;

3)позволяет преподавателю оценить истинные знания студента;

4)стимулирует студента выучить необходимый материал.

КАК РАБОТАТЬ СТУДЕНТАМ

Проблемы, возникающие у студентов

1.Как заработать больше баллов?

2.Как организовать свой процесс обучения?

11

Советы студентам, как лучше освоить учебный материал

1.Прочитать лекцию по изучаемой теме.

2.Самостоятельно разобрать материал по этой теме по учебным пособиям (указанным в разделе «Литература»).

3.Разобрать задачи с решениями, приведенными в этих пособиях.

4.Разобрать решения в разделах «Практические занятия 1–8».

5.Доклад у доски по выбранной задаче и ответы на вопросы студентов и преподавателя.

Как работать с практическими заданиями 1–8

Студентам на занятии, предшествующем занятию по данной теме, выдаются номера задач. Они должны попытаться разобрать решение задачи, начиная с первой. Задачи нумеруются в порядке возрастания сложности. Допустим, задано 1, ..., 6 задач. В начале занятия на доске выписываются последовательно номера задач. Студенты пишут свои фамилии напротив выбранных ими номеров. Если студент смог понять и решить всё, то он записывает на доске свою фамилию напротив шестой задачи. Если он смог решить только три задачи, то записывает фамилию напротив третьей задачи. Итак, в начале занятия на доске возникает список задач с фамилиями студентов.

Допустим, студент записался на решение шестой задачи. Он выходит к доске, объясняет ее товарищам и отвечает на все их вопросы.

Вслучае успешного доклада по шестой задаче студент показывает в тетради наличие всех задач с первой по пятую и отвечает на возможные вопросы преподавателя. В этом случае студент получает 6 баллов. Если в списке в начале занятия остались пустые места, то преподаватель может вызвать любого студента, записавшегося ниже по списку.

Вслучае отказа балл не ставится.

Как проставляются баллы за задачи

Первая задача – 1 балл. Вторая задача – 2 балла. Третья задача – 3 балла.

Четвертая задача – 4 балла. Пятая задача – 5 баллов. Шестая задача – 6 баллов.

12

Нередко занятие состоит из большего количества задач, чем 6. Поэтому баллы набираются достаточно быстро. Работая по этой системе, студент приобретает навык самостоятельного разбора нового материала, что может пригодиться ему в будущем.

Кроме того, баллами оцениваются интересные вопросы и умные замечания (по 1 баллу), что мотивирует студентов активнее включаться в обсуждение задач.

Предлагаемая методика основана на пошаговом освоении материала и на известном принципе: «Не понимаешь – попробуй объяснить это другому – поймешь сам».

Итак, предполагаемый рейтинг-план будет составлять:

1)контрольные работы – 60 баллов;

2)выход к доске с объяснениями задач – 50 баллов;

3)сдача теории – 80 баллов;

4)сдача экзамена – 40 баллов.

У студентов есть много возможностей набрать на выбор 100 баллов для получения максимальной оценки. Каждый студент выбирает наиболее удобную для себя систему набора баллов в зависимости от своих возможностей.

Врезультате такой методики большинство студентов вовлекаются

впроцесс обсуждения задачи, тогда как на лекции обычно происходит пассивное прослушивание материала. Студенты гораздо легче задают вопросы своим товарищам, выступающим у доски, чем преподавателям. Часто происходят оживленные обсуждения решения задач.

13

третьего порядка

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a31 a32 a33

a31a22a13 a12a21a33 a11a32a23.

Определение: минором Mij элемента aij называется определитель d,

получаемый из исходного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащие данный элемент aij .

Замечание: если исходный определитель порядка n, то минор имеет по-

рядок n – 1 (n 2).

Определение: алгебраическим дополнением Aij элемента aij

называется его минор Mij , умноженный на ( 1)i j .

Теорема. Разложение определителя по строке или столбцу. Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические дополнения не зависит от выбора строки (столбца) и равняется определителю матрицы.

Замечание: лучше брать ту строку (столбец), который содержит наибольшее количество нулей.

Свойства определителей

1.Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

2.Если одна из строк (столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3.Если у определителя 2 строки (столбца) поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный.

4.Если определитель имеет 2 пропорциональные строки (столбца), то он равен нулю.

5.Определение: транспонированной матрицей AT называется матрица, строки которой совпадают со столбцами матрицы A :

A | AT | .

15

6.Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на одно и то же число.

7.Если определитель имеет треугольный вид, то он равен произведению диагональных элементов.

8.Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде

вен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-й, прежние, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bij , а в другой –

из элементов cij .

МЕТОД КРАМЕРА

единственное решение. Ее решение может быть найдено с помощью следующих фоормул Крамера:

Замечание: метод Крамера применяется только для квадратных систем с определителем, не равным нулю.

16

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Все примеры и их нумерация взяты из [1] библиографического списка. Решения задач даны без объяснений. Задача студентов – объяснить их у доски. Перед практическим занятием следует прочитать соответствующий раздел из [1] и разобрать похожие примеры, которые даны там с объяснениями. Символом Si обозначается i строка.

Определители: свойства, вычисление

Пример 2.1 (2а) [1]

Вычислить определитель:

1 45 2 .

Решение

Пример 2.1 (2в) [1]

Вычислить определитель:

17

2( 12 6 8 4 9 16) 3(24 32 18 12 36 32)

4(12 12 8 6 24 8) (16 12 12 9 32 8)

2( 19) 3 30 4( 6) ( 17) 38 90 24 17 107 62 45.

18

Решение

При c = 0 следует, что третий столбец – нулевой. Значит, определитель равен нулю. При c 0 следует, что первый и третий столбцы пропорциональны. Значит, определитель равен нулю.

литель. Решение

Если 1 x равно единице, то первый и второй столбцы равны. Тогда определитель равен нулю. Если 2 x равно единице, то первый и третий столбцы равны, значит, определитель равен нулю. Если 3 x равно еденице, то первый и четвертый столбцы равны, значит, определитель равен нулю. Таким образом, решениями уравнения являются: x1 0, x2 1, x3 2.

Пример 2.1 (3 а) [1]

При каком существует единственное решение системы уравнений:

19

Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера

Пример 2.2. (1а) [1]

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

3x 5y 1,

2x 7 y 3.

Решение

3 5 21 10 11, 2 7

15

x 3 7 7 15 22,

31

y 2 3 9 2 11,

20