Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

895 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Решение

AB BC (3p 4q) ( p 5q) 3p p 4q p 15 p q 20q q

3 p p 4 p q 15 p q 20q q 3p p 19 p q 20q q

						19 1 1 sin								19.
													2
		p p				p		p	sin 0 0 p p
		p p				p		p	sin 0 0 p p							0,
	(3 p 4q)2			9 p p 24								q 16q 2			9 2 24 0 16 1 5,
AB	(3 p 4q)2			9 p p 24							p	q 16q 2			9 2 24 0 16 1 5,
			19					5h		, h			19	3,8.
					2					, h			5	3,8.
					2		2						5

Пример 4.4 (3) [1]

Вектор c

перпендикулярен векторам a,

, угол между которыми

равен .

3 . Вычислить

abc

Решение

sin

6 3

cos (a

, c )

9 3 1 27.

Пример 4.3 (6а) [1]

Даны вершины пирамиды OABC . Вычислить объем пирамиды, площадь грани ABC , высоту пирамиды, опущенную на эту грань, ес-

ли: A (5, 2, 0), B (2, 5, 0), C (1, 2, 4), O (0, 0, 0).

Решение

OA (5, 2, 0),

OB (2, 5, 0), Vпир 16Vпар,

				OC	(1, 2, 4),
5	2	0	25 4 16 100 16 84,
5	2	0
2	5	0
1	2	4
			V				84	14,
			V					14,
				пир		6

AB (2 5, 5 2, 0) ( 3, 3, 0),

						AC		( 4, 0, 4).

			i		j		k			3	0		3	0		3	3
			i		j		k
		3		3		0
AB	AC
AB	AC								i			j			k
		4		0		4				0	4		4	4		4	0
		4		0		4

12i 12 j 12k .


SABC	1		144 144 144						432		12		3	6 3.
SABC	2		144 144 144						2			2		6 3.
	2								2			2
V		1	hS		,	14	h	6 3,	h	14 3				7 3	.
пир		3		ABC			3			6	3			3

Пример 4.3 (8) [1]

Найти объем тетраэдра, расположенного в первом октанте, постро-

енного на векторах OA, OB, OC , если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого из них равна двум.

Решение

									Y
B						C						A
B									2			A
									2	2
			O						Y	2
			O										X
									O	2			X
									O

X				A
X
					0,			2,	2 ,
				OC	0,			2,	2 ,
							2,	0,	2 ,
				OB			2,	0,	2 ,
							2,	2, 0 ,
				OA			2,	2, 0 ,
	1		2	2			1	2 2 2 2			4 2		2 2
		0	2	2
V		2 0			2									.
V	6	2 0			2		6			6			3	.
тетр	6	2	2	0			6			6			3
		2	2	0

Пример 4.3 (10) [1]

Объем тетраэдраравен 5. Вершины A (2, 1, –1), B (3, 0, 1), C (2, –1, 3).

Найти вершину D , если она лежит на оси OY . Решение

		D(0, y, 0) .
	(2, 1 y, –1),		(3, –y, 1),		(2, –1 y, 3),
DA	(2, 1 y, –1),	DB	(3, –y, 1),	DC	(2, –1 y, 3),

2	1 y	1
2	1 y	1
3	y	1	6 y 2(1 y) 3( 1 y)
2	1 y	3
	2y 2( 1		y) 3 3(1 y) 4 y 2,

16 (4 y 2) 5 16 (4y 2) 5 4y 2 30 y1 8, y2 7,

D1(0, 8, 0) , D2 (0, –7, 0).

Домашнее задание: 4.2: 7, 10, 11, 8б; 4.3: 6б, 7, 9, 10.

ГЛАВА 8 ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Теоретические материалы по этой теме изложены в [3]. Разделы 2–4.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Решения задач даны без объяснений. Задача студентов – объяснить их у доски. Перед практическим занятием следует прочитать соответствующий раздел из [3] и разобрать похожие примеры, которые даны там с объяснениями.

Пример 5.2 (1а) [1]

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M и пер-

пендикулярной к плоскостям P1,								P2 . M (–1, –1, 2), P1 : x 2y z 4 0 ,
P2 : x 2y 2z 4 0.
Решение
n1 (1, –2, 1),				n2 (1, 2, –2),				n3 n1,				n3 n2 n3 n1 n2 ,

	i		j		k		2 1			1	1			1	2
	i		j		k
n	1	2		1												2		3		4		,
													k								k
						i			j				k				i		j		k
3	1	2		2			2 2			1	2			1	2
							2 2			1	2			1	2

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0, n3 (2, 3, 4) , M (–1, –1, 2),

2(x 1) 3( y 1) 4(z 2) 0,

2x 2 3y 3 4z 8 0, 2x 3y 4z 3 0.

Пример 5.2 (3а) [1]

Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и со-

ставляющей с плоскостью P угол 60 . P :			2x y	5 z 0.
Решение		n1, n2 60 ,
		n1, n2 60 ,
n1 2, 1,	5 ,	n2 (A, B, 0) – объясните, почему?

n1 n2 n1 n2 cos60 ,

n1 n2 x1x2 y1y2 z1z2 ,

2, 1, 5 (A, B, 0) 2A B,

					2A B								n	n			1		,
																	1

													1	2		2
													1	2		2
n	10,		n					A2 B2 , можем считать, что
n	10,		n					A2 B2 , можем считать, что
1			2
		n				n		10 A2 B2 ,
		n				n		10 A2 B2 ,
		1				2
										1					2					2
		2A B										10 A						B			,
		2A B								2		10 A						B			,
										2
				A		2	B		2		10,
				A			B				10,

2A B 5 B 5 2A, 5A2 20A 15 0,

A2 4A 3 0,

	A1 3,	A2 1,
n2 (3, –1, 0),	n2 (1, 3, 0) – два решения.
P1 : 3x y 0,		P2 : x 3y 0.

Пример 5.2 (4а) [1]

Найти расстояние от точки M (4, 3, 0) до плоскости, проходящей через точки M1(1, 3, 0), M2 (4, –1, 2), M3(3, 0, –1).

Решение

x 1	y 3	z 0
x 1	y 3	z 0
4 1	1 3	2 0	0,
3 1	0 3	1 0

x 1	y 3	z	4(x 1) 4( y 3) 9z 8z 3( y 3) 6(x 1)
x 1	y 3	z
3	4	2
2	3	1
= 4x 4 4 y 12 9z 8z 3y 9 6x 6 2x y z 5 0,
		d	2 4 1 3 1 0 5		8 3 5	6	6.
			2 4 1 3 1 0 5

			4 1 1			6
			4 1 1	6		6

Пример 5.2 (6а) [1]

Составитьуравнениеплоскости, изображеннойнарисункев[1], гл. 5.2. Решение

		M1(0, 0, 0),			M2 (1, 0, 2), M3(0, 1, 0),
x 0	y 0	z 0	x	y z
x 0	y 0	z 0	x	y z
1 0	0 0	2 0	1	0	2	0 0 z (0 0 2x) z 2x 0,
0 0	1 0	0 0	0 1		0

1)через ось OY B 0;

2)через начало координат D 0.

Пример 5.2 (8а) [1]

Написать канонические уравнения прямой:

2x y 2z 3 0,

x 2y z 1 0.

Решение

n1 (2, –1, 2), n2 (1, 2, –1),

		i			j		k
		2 1				2				2		4		(		2		4		) 3		4		5		,
													k		k										k
									i		j		k		k		j		i		i		j		k
		1	2			1
	s (–3, 4, 5) – направляющий вектор искомой прямой.
	x x0			y y0				z z0				– канонические уравнения прямой.
	3											– канонические уравнения прямой.
	3		4			5
Пусть x0 0 , тогда
												y0 2z0 3 0,
												2 y		z 1 0,
													0	0

x 0, y						5	, z				7	.
x 0, y							, z					.
0			0		3		0				3
					3						3
									x				y	5	z	7
Канонические уравнения примут вид									x					3		3	.
Канонические уравнения примут вид									3				4		5		.
									3				4		5
Пример 5.2 (10) [1]
Найти расстояние между параллельными прямыми:
	x 2			y 1				z 3			,
1											,
1					2		2
		x 1		y 1				z 1		.
		1								.
		1			2		2

Решение

											M1
																	d
					M0

																		S
								Sпар d																		,
																			M0M1
																	S		M0M1						S

(M1,				l)			M0M1							S	,			M1(1, 1, –1), M0 (2, –1, –3),


										S
										S
												(–1, 2, 2), ,										(1, 2, 2),
						M0M1
						M0M1															S
	i		j		k				2				2					1		2				1			2
	i		j		k
1		2		2																								4		4		.
																							k								k
								i								j							k						j		k
1		2		2					2				2					1		2				1			2
1		2		2

16 16 4 2, S 1 4 4 9 3,

d 4 32 . Домашнее задание 5.2: 2, 5, 6в, 6г, 11, 12.

ГЛАВА 9 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Теоретические материалы по этой теме изложены в [3 раздел 1].

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Решения задач даны без объяснений. Задача студентов – объяснить их у доски. Перед практическим занятием необходимо прочитать соответствующий раздел из [3] и разобрать похожие примеры, которые даны там с объяснениями.

Прямая на плоскости

Пример 5.1 (1) [1]

Прямая проходит через точки M (x1, y1), N (x2 , y2 ) . Выразить уг-

ловой коэффициент этой прямой через координаты точек. Чему он бу-

дет равен, если M (1, –3), N (2, 4) ?

Решение
	x x1		y y1			,

	x	x	y	2	y
2		1			1

( y y0 ) k(x x0 ),

y y1 y2 y1 (x x1), x2 x1

k	y2 y1		,	k	4 3	7.
	x	x			2 1
2		1
				70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]